高考数学百大经典例题——不等式性质

高考数学百大经典例题——不等式性质

典型例题一 例1 比较与的大小，其中．‎ 解：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ 说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①；‎ ‎②；③．‎ 典型例题二 例2 比较与的大小，其中 解：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ 当时，；‎ 当时，‎ 说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．‎ 典型例题三 例3 ，比较与（）的大小．‎ 分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．‎ 解：∵=（）[来源:学科网]‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ 则有时，（）恒成立．‎ 说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．‎ 典型例题四 例4 设，比较与的大小．‎ 解：作差，‎ ‎1）当时，即，‎ ‎∴ ；‎ ‎2）当，即时，，‎ ‎∴；‎ ‎3）当但，即或时，，‎ ‎∴．‎ 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．‎ 典型例题五 例5 比较与的大小 分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。‎ 解：‎ 说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．‎ 典型例题六 例6　设，且，比较：与的大小。‎ 分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。‎ 解：‎ 当时，，‎ 当时，‎ 即，‎ 又，‎ 说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.‎ 典型例题七 例7 实数满足条件：①；②；③‎ ‎，则有( )‎ A．　　　　 B． ‎ C．　　　　 D．‎ ‎（天津市2001年南开中学期末试题）[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．‎ 解：∵，∴与同侧 ‎∵，∴与异侧 ‎∵‎ ‎∴把标在数轴上，只有下面一种情况 由此得出，∴此题选D．‎ 说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．‎ 典型例题八 例8　已知①；②，求：的取值范围．‎ 分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围．‎ 解：设：‎ 由①+②×2得：‎ ‎：．‎ 说明：此题的一种典型错误做法，如下：‎ ‎，即：‎ ‎：‎ 此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．‎ 避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．‎ ‎[来源:学科网]‎ 典型例题九 例9　判断下列各命题的真假，并说明理由．‎ ‎（1）若，则 ‎（2）若，则 ‎（3）若，则 ‎（4）若，则 ‎（5）若，则 ‎（6）若，则 分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．‎ 解：（1），是真命题．‎ ‎（2）可用赋值法：，有，是假命题．‎ 也可这样说明：，[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎∵　，只能确定，‎ 但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：‎ ‎（3）与（2）类似，由，从而是假命题．‎ ‎（4）取特殊值：‎ 有，∴　是假命题．‎ 定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即 ‎（5），　∴是真命题．‎ ‎（6）定理4成立的条件为必须是正数．‎ 举反例：‎ ‎，则有 说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．‎ 典型例题十 例10　求证：‎ 分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．‎ 证明：利用不等式的性质，得 典型例题十一 例11　若，则下面不等式中成立的一个是（　　　）‎ ‎（A）　　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　　　　（D）‎ 解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）　正是异向不等式相减的结果．‎ 说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．‎ 典型例题十二 例12　若，则下面各式中恒成立的是（　　　）．‎ ‎（A）　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　（D）‎ 分析　本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A．‎ 典型例题十三 例13 若，则一定成立的不等式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．‎ 故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立．‎ 说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立．‎ 典型例题十四 例14　已知：，求证：．[来源:Z,xx,k.Com]‎ 分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．‎ 证明：‎ 又∴由同向加性可得：．‎ 说明：此题还可采用异向减性来处理：做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．‎ 典型例题十五 例15已知集合求：．‎ 分析：要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．‎ 解：‎ 说明：本题中的条件，意在明确集合中的元素为，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，的实数和的整数显然是有区别的．另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清．‎ 典型例题十六 例16 设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件．‎ 分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则成立的条件就是本身；而成立的条件则是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．‎ 解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件．‎ 由，得 由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件．‎ 再求，同时成立的充分条件．‎ 事实上，当时，必有，且，因而成立．从而是不等式，同时成立的充分条件．‎ 因此，两个不等式，同时成立的充要条件是．‎ 说明：本题结果表明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数．这与成立的条件，不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若，同时成立，则要研究从不等式和看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立．从而解决了本题．‎ 典型例题十七 例17　已知函数满足：则应满足（　　）‎ ‎（A）　　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　（D）‎ 分析：如果能用与将“线性”表示出：，就可利用不等式的基本性质，由、的取值范围，推出满足的条件．‎ 解：∵‎ ‎∴‎ 故 ‎　　　‎ 由不等式的基本性质，得 故选（C）.‎ 说明：（1）也可设，由代定系数法求得，．‎ ‎（2）下面的错误是值得引以为戒的∵‎ ‎　‎ 又　‎ ‎∴　‎ 故选（A）‎ 上述推理错误产生的原因是由于将条件 化为使、的取值范围扩大所致．事实上，作为点集 与之间的关系是，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误．‎