高考数学知识梳理复习题8 二项分布与超几何分布

高考数学知识梳理复习题8 二项分布与超几何分布

高考数学知识梳理复习题8第2讲 二项分布与超几何分布 ‎★ 知 识 梳理 ★‎ ‎1．条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。‎ 特别提醒： ①0P（B|A）1； ②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。‎ ‎2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。‎ 特别提醒：‎ ‎①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件 ‎②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）= P（A）·P（B）‎ 推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）= P（A1）·P（A2）·…·P(An)‎ ‎3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有____________结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.‎ 答案: 相互独立地进行, 两种 ‎4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：________________________‎ 答案:Pn（k）=CPk（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.‎ ‎5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．‎ 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ 由于恰好是二项展开式 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从____________，‎ 记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．‎ 答案:二项分布 ‎6. 两点分布： ‎ ‎ X 0 1 ‎ ‎ P 1－p p ‎ 特别提醒： 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.‎ ‎7. 超几何分布：‎ 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。‎ 称分布列 ‎ X 0 1 … m ‎ P … ‎ 为超几何分布列， 称X服从____________‎ 答案: 超几何分布。‎ ‎★ 重 难 点 突 破 ★‎ ‎1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布.‎ ‎ 2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题 ‎3.重难点：.‎ ‎(1) “互斥”与“独立”混同 问题1: 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?‎ 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件 A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： ‎ 点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．‎ 正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= ．‎ ‎（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．‎ 错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.‎ 点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。‎ 正确答案：P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=。‎ ‎★ 热 点 考 点 题 型 探 析★‎ 考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验 题型1. 条件概率 ‎[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：‎ ‎⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；‎ ‎⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率 ‎[解题思路]：‎ ‎⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？‎ ‎⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？‎ ‎⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？‎ 解析：设事件表示第次按对密码 ‎⑴‎ ‎⑵事件表示恰好按两次按对密码，则 ‎⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：‎ ‎【名师指引】‎ ‎⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ‎⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式 ‎【新题导练】‎ ‎2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 ‎ 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． ‎ 解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 ‎ ‎（1）因为100 件产品中有 70 件一等品， ‎ ‎(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 ‎ 方法二:‎ 题型2。相互独立事件和独立重复试验 ‎[例2] (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．‎ ‎ （Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；‎ ‎[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有次发生的区别 解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率P= ()3＝‎ ‎（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为P＝C32()2()＋C33()3＝ 答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为.‎ ‎【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定第次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为 ‎【新题导练】‎ ‎1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）‎ 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;‎ 解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ 至少有1人面试合格的概率是 ‎2．（山东卷18）‎ 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，‎ 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎（Ⅰ）求随机变量ε分布列； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).‎ 解: (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、‎ D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 ‎ 考点二: 两点分布与超几何分布 题型1: 两点分布与超几何分布的应用 ‎[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？‎ ‎[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.‎ 解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，‎ 因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。‎ ‎ [解题思路]：‎ ‎（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；‎ ‎（2）得到后自然会联想均值不等式求最值。‎ 解析：（1）的分布列如表：所以，‎ ‎ 所以时，有最大值。‎ ‎（2）由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。‎ ‎【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).‎ ‎【新题导练】‎ ‎1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？‎ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 ‎ ‎2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？‎ 解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。‎ 因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 考点三: 独立重复试验与二项分布 题型1: 独立重复试验与二项分布的应用 ‎[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=______________。（填计算式）‎ ‎ [解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。‎ 解析： ‎ ‎ [例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？‎ ‎ [解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法 解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次 记事件＝“射击一次，击中目标”，则．‎ ‎∵射击次相当于次独立重复试验， ∴事件至少发生1次的概率为．‎ 由题意，令，∴，∴，∴至少取5．‎ ‎【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。‎ ‎【新题导练】‎ ‎1. 广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理 某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。‎ 答案:‎ ‎2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)‎ 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.‎ ‎(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;‎ ‎(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?‎ 解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, ……1分.‎ 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分 ‎(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分 X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分 同理可得 ‎ 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分 要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,……13分.‎ 故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分 ‎★ 抢 分 频 道 ★‎ 基础巩固训练 ‎1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为 ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎2. (广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：A ‎3．(江苏省启东中学2008年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B ‎4．（2008福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案:B ‎5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）‎ ‎ ‎ 答案:A ‎6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 ．‎ 答案: ‎ 综合拔高训练 ‎7．广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理科数学试题 一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 ________．‎ 答案:‎ ‎8．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：‎ ‎（1）人都射中目标的概率；‎ ‎（2）人中恰有人射中目标的概率；‎ ‎（3）人至少有人射中目标的概率；‎ ‎（4）人至多有人射中目标的概率？‎ 解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，‎ ‎（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．‎ ‎（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：‎ ‎∴人中恰有人射中目标的概率是．‎ ‎（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为 ‎．‎ ‎（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，‎ ‎2个都未击中目标的概率是，‎ ‎∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．‎ ‎（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，‎ 故所求概率为：‎ ‎．‎ ‎（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，‎ 故所求概率为 ‎9．广东省佛山市三水中学2009届高三统考 (数学理)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？‎ ‎（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为，求随机变量的分布列 ‎17．解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为，‎ 选出的2人所使用版本相同的方法数为 =190+105+10+45=350，‎ ‎2人所使用版本相同的概率为 ‎（2），，‎ 随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎10．广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数的概率分布.‎ 解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 P(A)==，P(B)=. ‎ 因为事件A、B相互独立，‎ ‎∴甲、乙两人考试均合格的概率为 答：甲、乙两人考试均合格的概率为． ‎ ‎（Ⅱ）依题意，=0，1，2，3，………………7分 ‎， ，‎ ‎， ‎ 甲答对试题数ξ的概率分布如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P