第27讲 表面积与体积（一）

第27讲 表面积与体积（一）

第27讲 表面积与体积（一）‎ 一、知识要点 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。‎ 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：‎ ‎（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。‎ ‎（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。‎ ‎（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。‎ 二、精讲精练 ‎【例题1】从一个棱长‎10厘米的正方体木块上挖去一个长‎10厘米、宽‎2厘米、高‎2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？‎ 这是一道开放题，方法有多种：‎ ‎①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。‎ ‎②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。‎ 7‎ ‎③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。‎ 练习1：‎ ‎1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？‎ ‎2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？‎ ‎3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？‎ 7‎ ‎【例题2】把19个棱长为‎3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。‎ 要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。‎ 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。‎ ‎（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2‎ ‎=（81+72+90）×2‎ ‎=243×2‎ ‎=486（平方厘米）‎ 答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。‎ 练习2：‎ ‎1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。‎ 7‎ ‎2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？‎ 图27－7‎ ‎3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？‎ ‎【例题3】把两个长、宽、高分别是‎9厘米、‎7厘米、‎4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？‎ 把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。‎ ‎（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2‎ ‎=（63+36+28）×4—126‎ ‎=508—126‎ ‎=382（平方厘米）‎ 答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。‎ 练习3：‎ ‎1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？‎ 7‎ ‎2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。‎ ‎3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？‎ 图27-8‎ ‎【例题4】一个长方体，如果长增加‎2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加‎3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加‎4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。‎ 我们知道：体积=长×宽×高；由长增加‎2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加‎3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加‎4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即 ‎40÷2=20（平方厘米）‎ ‎90÷3=30（平方厘米）‎ ‎96÷4=24（平方厘米）‎ ‎（30+20+24）×2‎ ‎=74×2‎ ‎=148（平方厘米）‎ 答：原长方体的表面积是148平方厘米。‎ 7‎ 练习4：‎ ‎1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？‎ ‎2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？‎ ‎3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？‎ 图27－9‎ ‎【例题5】如图27-10所示，将高都是‎1米，底面半径分别为‎1.5米、‎1米和‎0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。‎ 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。‎ ‎3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1‎ ‎=3.14×（4.5+3+2+1）‎ ‎=3.14×10.5‎ ‎=32.97（平方米）‎ 答：这个物体的表面积是‎32.97平方米。‎ 7‎ 练习5：‎ ‎1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。‎ ‎2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？‎ ‎3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（π取3.14）。‎ 7‎ 7‎