六年级下册数学试题-奥数：分数应用题之经济和浓度问题（解析版）全国通用

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第九讲 分数应用题之经济和浓度问题 教学目标 经济问题和浓度问题与生活实际联系紧密，教师在讲授本科时，需要注意的几点有： 1. 联系生活实际，形象地表述问题. 强调本讲内容是小升初的出题方向. 2. 主要公式的推导和应用，公式中的各个量与试题中各个量的对应. 3. 解题过程中等量关系以及不变量的寻找. 4. 尽量避免使用方程解应用题，但方程作为一种数学工具和应试技巧不得不提. 通过本讲的学习，让学生掌握解决常见经济问题和浓度问题的常用方法. （仁华入学考试题）甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股 票转卖给了乙，获利 10%，而后来乙又将这手股票转给了甲，但乙损失了 10%， 最后甲按乙卖给了甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易 中 （填“盈利”或“亏损”） 元。 分析：首先研究每一笔交易，第一次，甲用 1000 元买了股票，第二次，甲以 1000×（1+10%）=1100 的 价格将股票卖给乙，第三次乙又以 1100×（1-10%）=990 的价格卖给了甲，第四次甲又以 990×90%=891 的价格将股票卖给了乙，计算出入甲帐户的现金流：X-1000+1100-990+891=X+1，所以甲盈利 1 元. 专题精讲 Ⅰ 经济问题 经济问题主要相关公式：  100% 成本 利润利润，利润率成本售价 100% 成本 成本-售价  ； 其它常用等量关系： 1售价=成本 （ +利润率）， 1  售价成本 利润率+ . 解题主要方法：1、抓不变量（一般情况下成本是不变量）.2、列方程解应用题. 想 挑 战 吗 ？ 【例 1】 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.2 元。从产地到商店的距离是 400 千米，运 费为每吨货物每运 1 千米收 1.5 元。如果在运输及销售过程中的损耗是 10%，那么商店要想实现 25% 的利润率，零售价应是每千克多少元？ 分析：以 1 千克苹果为例，收购价为 1.2 元，运费为 0.610004001.5  元，则成本为 1.2+0.6=1.8 元，要想实现 25%的利润率，应收入 25.2%)251(8.1  元；由于损耗，实际的销售重量为 9.0%)101(1  千克，所以实际零售价为每千克 5.29.025.2  元。 [前铺]某种商品的如果进货价提高了 20%，零售价提高 8%，那么该商品的利润率变为 12.5%，求原来这种 商品的利润率. 分析：设该商品现在的进货价为 a 元，那么该商品的零售价为 1.125a 元，原来这种商品的进货价为 a÷ （1+20%）=5a/6，原来该商品的零售价为 1.125a÷（1+8%） =25a/24，所以原来该商品的利润率为 （25a/24-5a/6）÷（5a/6）×100%=25%. 【例 2】 商店以 80 元一件的价格购进一批衬衫，售价为 100 元，由于售价太高，几天过去后还有 150 件 没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了 180 件，于是将最 后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利 2300 元.求商店一共进了多少件衬衫？ 分析：由题目条件，一共有 150 件衬衫以 90 元或 80 元售出，有 180 件衬衫以 100 元或 90 元售出，所以 以 100 元售出的衬衫比以 80 元售出的衬衫多 180-150=30 件，剔出 30 件以 100 元售出的衬衫，则以 100 元售出的衬衫和以 80 元售出的衬衫的数量相等，也就是说除了这 30 件衬衫，剩下的衬衫的平均价格为 90 元，平均每件利润为 10 元，如果将这 30 件衬衫 100 元衬衫也以 90 元每件出售，那么所有的衬衫的 平均价格为 90 元，平均利润为 10 元，商店获利减少 30×10=300 元，变成 2000 元，所以衬衫的总数有 2000÷10=200 件. [前铺]商店以每件 50 元的价格购进一批衬衫，售价为 70 元，当卖到只剩下 7 件的时候，商店以原售价 的 8 折售出，最后商店一共获利 702 元，那么商店一共进了多少件衬衫？ 分析：（法一）将最后 7 件衬衫按原价出售的话，商店应该获利 702+（70-70×0.8）×7=800（元），按原 售价卖每件获利 20 元，所以一共有 800÷20=40 件衬衫. (法二)除掉最后 7 件的利润，一共获利 702-（70×0.8-50）×7=660（元），所以按原价售出的衬衫一共 有 660÷（70-50）=33 件，所以一共购进 33+7=40 件衬衫. 【例 3】 某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的 70%卖出，这样所得利润就只有原计划的 3 1 。已知 这批苹果的进价是每千克 6 元 6 角，原计划可获利润 2700 元，那么这批苹果共有多少千克？ 分析：原价的 30%相当于原利润的 3 2 ，所以原利润相当于原价的 %453 2%30  ，则原价与原利润的比 值为 20：9，因此原利润为 4.5920 96.6  元；又原计划获利 2700 元，则这批苹果共有 5004.52700  千克。 [前铺]某电器厂销售一批电冰箱，每台售价 2400 元，预计获利 7.2 万元，但实际上由于制作成本提高了 6 1 ，所以利润减少了 25%。求这批电冰箱的台数。 分析：电冰箱的售价不变，因此减少的利润相当于增加的成本，也就是说原成本的 6 1 等于原利润的 25%， 从而原先成本与利润的比是 2:36 1:%25  ，所以原来每台电冰箱的利润是 96032 22400  元， 那么这批电冰箱共有 7.2×10000÷960=75 台. [巩固]某商家决定将一批苹果的价格提高 20%，这时所得的利润就有原来的两倍。已知这批苹果的进价是 每千克 6 元，按原计划可获利润 1200 元，那么这批苹果共有多少千克？ 分析：原价的 20%就等于原来的利润，所以原利润和原价的比值为 1：20%=5：1，所以原利润率为 1÷（5-1） ×100%=25%，，所以这批苹果的原价为 6×（1+25%）=7.5 元，利润为每千克 1.5 元，所以这批苹果 一共有 1200÷1.5=800 千克. 【例 4】 “新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额的 3％作为服务费，代客户购买物品收取 商品定价的 2％作为服务费.今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该 公司共扣取了客户服务费 264 元，客户恰好收支平衡.问所购置的新设备花费了多少元? 分析：“该客户恰好收支平衡”，这表明该客户出售物品的销售额的 1—3％=97％，恰好用来支付了设备 与代为购买设备的服务费，即等于所购置新设备的费用为(1+2％)=102％.从而求得出售商品所得与新设 备价格之比；再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，从而可解得新设备价格. 出售商品所得的 1—3％=97％等于新设备价格的 1+2％=102％.设新设备价格为“1”，则出售商品所得相 当于 102％÷97％= 97 102 .该公司的服务费为 97 102 ×3％+1×2％= 97 5 ，故而新设备花费了 264÷ 97 5 =5121.6(元). 【例 5】 张先生向商店订购某种商品 80 件，每件定价 100 元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价， 每减 1 元，我就多订 4 件。”商店经理算了一下，如果减价 5%，那么由于张先生多订购，仍可获得 与原来一样多的利润。问：这种商品的成本是多少？ 分析：减价 5%即减去 5%5100  元时，张先生应多定 2054  件，前后所订件数之比为 5:4)2080(:80  ；又前后所获得的总利润一样多，则每件商品的利润之比为 5:4。前后售价相差 5 元，则利润也相差 5 元，所以原来的利润应为 255 455  元，因此该商品的成本是 7525100  元。 [前铺]商店进了一批钢笔，用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔 的进货价是每支多少钱？ 分析：（法一）由于两种方式卖的钢笔的利润相同，而卖的支数不同，所卖的支数比为 20：15，所以两 种方式所卖钢笔的利润比为 15：20，即 3：4，而单支笔的利润差为 11-10=1（元），所以两种方式， 每支笔的利润分别为：1÷（4-3）×3=3 元和 1÷（4-3）×4=4 元，所以钢笔的进货价为 10-3=11-4=7 元 （法二）由于两种卖法的利润相等，所以两种卖法的销售额之差和两种卖法的成本之差相等所以 20 支钢 笔的成本和 15 支钢笔的成本的差为 10×20-11×15=35 元，当然：单支笔的成本价格是一样的，所 以每只钢笔的成本为（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。 对于某些较复杂的题，使用方程来解题是一个好办法。 用方程解应用题必须找到与题目条件关系紧密的关键量，并设未知数“x”，然后利用题目中所给出 的等量关系或隐含的等量关系构建方程. 【例 6】 体育用品商店用 3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球。零售时足球加价 9％，篮球加价 11％，全 部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？ 分析：设足球的进价为 a 元，则篮球为（3000-a）元。由利润值可列方程 a×9％＋（3000-a）×11％=298， 解得 a=1600，故每个足球的进价为 1600÷50=32（元），每个篮球的进价为（3000-a）÷40=35（元）。 [拓展]某商人用 2400 元进了一批货共计 30 件，卖得非常火，每天将价钱提高到前一天的 10%，但每天卖 出的货物还是和前一天一样多，最后商家一共获利润 910 元.求该商品第一天的售价. 分析：由已知，每件商品的进价为 80 元，设第一天的售价为 x 元.则可列方程： （1x-80）×10+（1.1x-80）×10+（1.21x-80）×10=910 解得 x=100 元. 【例 7】 某汽车工厂生产汽车，由于钢铁价格上升，汽车的成本也上升了 10%，于是工厂以原售价提高 5%的价格出售汽车，虽然如此，工厂每出售一辆汽车所得的利润的减少了 20%，钢铁价格上升之前 的利润率. 分析：由题目的条件可知，原来出售一辆汽车的利润的 20%等于汽车成本的 10%-汽车原售价的 5%，设每 辆原来的利润为 a，汽车的成本为 b，那么可列出方程： 20%a=10%b-（a+b）5% 解得 5a=b，所以 a/b=0.2，即利润率为 20%. Ⅱ 浓度问题 1．浓度问题相关公式： 溶液=溶质+溶剂，浓度= 100% 溶液 溶质  = 100% 溶剂溶质 溶质   . 2. 常用方法： 1）十字交叉法：（甲溶液浓度大于乙溶液浓度） 形象表达： A B 甲溶液质量 乙溶液质量 B A  甲溶液与混合溶液的浓度差 混合溶液与乙溶液的浓度差 2）有些教科书上将十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉 法实质上是相同的. 浓度三角的表示方法如下： 3）列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法。 [前铺]：十字交叉法的推导过程： 设甲乙两瓶溶液的质量分别为 A 和 B，浓度分别为 x%和 y%，将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为 z%，求 证：(x-z）：（z-y）=B：A 分析：甲溶液中溶质的质量为 Ax%，乙溶液中的溶质质量为 By%，则混和溶液中的溶质质量为 Ax%+ By%， 所以混合溶液的浓度为 Ax%+By% A+B ，所以 z= Ax+By A+B ，分别计算（x-z）和（z-x）， x-z= Ax+By Ax Bx Ax+By B(x y)x A+B A B A+B A B       ； z-x= Ax+By Ax By Ay+By A(x y)yA+B A B A+B A B       ； 可见（x-z）：（z-x）=B：A. 【例 8】 甲种酒精纯酒精含量为 72%，乙种酒精纯酒精含量为 58%，混合后纯酒精含量为 62%。如果每种 酒精取的数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25%。第一次混合时，甲乙两种酒精各 取了多少升？ 分析：甲、乙两种酒精各取 15 升混合后的浓度为（72%+58%）÷2=65%，第二次混合后的浓度为 63.25%， 则可知第一次混合后的体积与 30 升的比值为 )6225.63(:)25.6365(  = 5:7 ，则第一次混合和的 体 积 为 30÷5×7=42 升 。 又 知 ， 第 一 次 混 合 时 甲 、 乙 两 种 酒 精 的 体 积 之 比 为 5:2)6272(:)5862(  ，则第一次甲酒精取了 1225 242  升，乙酒精取了 3025 542  升。 【例 9】 有 A、B、C 三种盐水，按 A 与 B 数量之比为 2：1 混合，得到浓度为 13%的盐水；按 A 与 B 数量 之比为 1：2 混合，得到浓度为 14%的盐水。如果 A、B、C 数量之比为 1：1：3，混合成的盐水浓度 为 10.2%，问盐水 C 的浓度是多少？ 分析：A 与 B 按数量之比为 2：4 混合时，浓度仍为 14%，而这样的混合溶液也相当于 A 与 B 按数量之比 为 2：1 混合后再混入三份盐水，则 B 盐水浓度为 )3%136%14(  %15)14(  ，A 盐水的浓 度为 %122%153%14  ，再根据 A、B、C 三种溶液混合的情况那么 C 盐水的浓度为 %83]1%151%12)311(%2.10[(  。 [前铺]甲种酒精 4 千克，乙种酒精 6 千克，混合成的酒精含纯酒精 62%。如果甲种酒精和乙种酒精一样多， 混合成的酒精含纯酒精 61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？ 分析：（法一）不妨设甲、乙两种酒精各取 4 千克，则混合后的浓度为 61%，含纯酒精 4×2×61%=4.88 千克；又知，4 千克甲酒精与 6 千克乙酒精，混合后的浓度为 62%，含纯酒精（4+6）×62%=6.2 千克。 相差 6.2-4.88=1.32 千克，说明 6-4=2 千克甲酒精中含纯酒精 1.32 千克，则甲酒精中纯酒精的百分 比为 %66%100232.1  ，那么乙酒精中纯酒精百分比为 61%×2-66%=56%. （法二）甲、乙两种酒精各取 4 千克，则混合后的浓度为 61%，而这种混合溶液，再混上 2 千克的乙酒精 就能获得 62%的混合溶液，由于混合的质量比是 8：2=4：1，由十字交叉法，乙溶液的浓度为 62%+（62%-61%） ÷1×4=66%，又因为同样多的酒精溶液和水溶液能配成 61%的溶液，所以甲溶液浓度为 61%-（66%-61%） ÷1×1=56%. 【例 10】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 10%，盐浓度为 30%，乙溶液中的酒精浓度为 50%，盐浓 度为 10%。现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒 精浓度和盐浓度相等? 分析：一千克甲种溶液中含有酒精 0.1 千克，盐 0.3 千克，盐比酒精多 0.2 千克； 而一千克乙种溶液中含有酒精 0.5 千克，盐 0.1 千克，盐比酒精少 0.4 千克。 所以只需要 0.5 千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等. [拓展]有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 15%，盐浓度为 10%，乙溶液中的酒精浓度为 45%，盐浓度为 5%。 现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度 的 3 倍？ 分析：可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉（事实上这种情况不符合物理规律，但只是假设）， 那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中（事实上不可能）这时的处理后甲溶液盐浓度为 10%÷（15%+10%） =0.4，处理后乙溶液的盐浓度为 5%÷（45%+5%）=0.1，需要配置的溶液的盐浓度为 1÷（1+3）=0.25， 由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=1：1， 一千克原甲溶液中有 10%+15%=25%的处理后甲溶液，即 0.25 千克，所以另需要 0.25 千克的处理后乙 溶液，而每千克原乙溶液中含有 5%+45%=50%的处理后乙溶液，即 0.5 千克，所以只需要 0.5 千克的乙溶 液就能构成 0.25 千克的处理后乙溶液.所以需要 0.5 千克的乙溶液. 专题展望 经济问题和浓度问题在我们的生活中经常涉及，而比例和百分数作为数学工具，在处理这类应用题 中非常有效，在下一讲中，我们将继续深入对分数和百分数进行学习和研讨. 练习九 1. （例 3）某种商品的利润率为 25%，如果现在进货价提高了 20%，商店也随之将零售价提高 8%， 那么此时该商品的利润率是多少？ 分析：设原来该商品的进货价为 a 元，则原来的零售价为 1.25a，现在该商品的进货价为 1.2a，零售价 为 1.2a×1.08=1.35a，所以现在该商品的利润率为（1.35a÷1.2a-1）×100%=12.5%. 2. （例 8）某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品。二级品的进价比一级品便宜 20％。 按优质优价的原则，一级品按 20％的利润率定价，二级品按 15％的利润率定价，一级品篮球比 二级品篮球每个贵 14 元。一级品篮球的进价是每个多少元？ 分析： 设一级品的进价每个 x 元，则二级品的进价每个 0.8x 元。由一、二级品的定价可列方程 x×（1＋20％）-0.8x×（1＋15％）=14 解得 x=50，所以一级品篮球的进价是每个 50 元. 3. （例 7）某商品按照零售价 10 元卖出 20 件所得到的利润和按零售价 9 元卖出 30 件所得到的利 润相等，求该商品的进货价. 分析：该商品按照零售价 10 元所得利润和按照 11 元所得的利润之比为 30：20=3：2，所以按照第一种 方式得利润为（11-10）÷（3-2）×3=3 元，该商品的进货价位 10-3=7 元. 4. （例 10）有甲、乙、丙 3 瓶酒精溶液，浓度分别为 75%、60%和 45%，它们的重量比为 3：2：1。 如果把两瓶酒精混合后再按原重量分配到各自的瓶中，我们就称为一次操作。现在先对甲、乙 两瓶酒精进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精进行一次操作。最后对丙、甲两瓶酒精进行一次 操作，那么最后甲瓶酒精的浓度是多少？ 分析： 把甲、乙两瓶酒精进行一次操作后，浓度变为  )2%603%75( )23(  =69%；再把乙、丙 瓶酒精进行一次操作后，浓度变为 %61)12()1%452%69(  ；最后把丙、甲两瓶酒精进 行一次操作后，浓度变为 %67)13()1%613%69(  . 5. （例 12）有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 10%，盐浓度为 30%，乙溶液中的酒精浓度为 40%， 盐浓度为 0。现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶 液的酒精浓度和盐浓度相等? 分析：一千克甲溶液中含有酒精 0.1 千克，含有盐 0.3 千克，盐比酒精多 0.2 千克，所以还应该加入 0.2 千克的酒精，而这部分酒精由浓度为 40%的乙溶液提供，每千克乙溶液含有酒精 0.4 千克，所以添入 0.5 千克乙溶液就能使混合溶液中两种浓度相等. 成长故事 挖井 有两个和尚住在隔壁，所谓隔壁就是隔壁那座山，他们分别住在相邻的两座山上的庙里。这两座 山之间有一条溪，于是这两个和尚每天都会在同一时间下山去溪边挑水，久而久之他么变成为了好朋友。 就这样时间在每天挑水中不知不觉已经过了五年。突然有一天左边这座山的和尚没有下山挑水， 右边那座山的和尚心想：“他大概睡过头了。”便不以为意。 哪知道第二天左边这座山的和尚还是没有下山挑水，第三天也一样。过了一个星期还是一样， 直到过了一个月右边那座山的和尚终于受不了，他心想：“我的朋友可能生病了，我要过去拜访他，看 看能帮上什么忙。”于是他便爬上了左边这座山，去探望他的老朋友。 等他到了左边这座山的庙，看到他的老友之后大吃一惊，因为他的老友正在庙前打太极拳，一点 也不像一个月没喝水的人。他很好奇地问：“你已经一个月没有下山挑水了，难道你可以不用喝水吗？” 左边这座山的和尚说：“来来来，我带你去看。”于是他带着右边那座山的和尚走到庙的后院， 指着一口井说：“这五年来，我每天做完功课后都会抽空挖这口井，即使有时很忙，能挖多少就算多少。 如今终于让我挖出井水，我就不用再下山挑水，我可以有更多时间练我喜欢的太极拳。”