人教版五年级数学上册第七单元数学广角PPT

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数学广角 7 两端都栽的植树问题 人教版 五年级 数学 上册 间隔 5 个手指 有 4 个 间隔。 4 个手指有几个间隔？ 3 个手指呢？ 想一想 : 5 个 手指 中间 有 几个空？ 在数学上，我们把像这样的空叫做 间隔 。 学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。 同学们在 全长 100m 的小路一边植树，每 隔 5m 栽 一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？ 每 隔 5m 栽一棵，共栽 100÷5=20 （棵）。 对吗？检验一下。 例题 1 100m 太长了，可以先用简单的数试试。 我先看看 20m 可以栽几棵。 5 m 20 m 5 m 5 m 5 m 20÷5 = 4 （ 个）间隔 4+1 = 5 棵 树 5 m 25 m 5 m 5 m 5 m 5 m 再 看看 25m 可以栽几棵。 25÷5= 5 （个）间隔 5+1 = 6 棵 树 5 m 20 m 5 m 5 m 5 m 5 棵 5 m 25 m 5 m 5 m 5 m 5 m 6 棵 小组讨论： 你发现了什么规律？不画图，你知道 30m 、 35m 要栽几棵树吗？ 距离（米） 间隔数（个） 棵数（棵） 20 25 30 35 4 5 5 6 6 7 7 8 5 m 20 m 5 m 5 m 5 m 5 棵 5 m 25 m 5 m 5 m 5 m 5 m 6 棵 距离（米） 间隔数（个） 棵数（棵） 20 25 30 35 4 5 5 6 6 7 7 8 棵数 = 间隔数 +1 （两端都栽） 间隔数 = 路长 ÷ 株距 说一说： 你发现了什么规律？ 规范 解答 : 因为两端都要栽，所以栽树的棵数比间隔数 多 1 。 100m 共有 20 个间隔，两端都要栽，所以一共要栽 _____ 棵树。 21 100÷5 = 20 （个） 20 + 1 = 21 （棵） 答：一共要栽 21 棵树。 不封闭路线上两端都植树的 问题 总路线 长 ÷ 株距 = 间隔 数 棵数 = 间隔数 +1 在 一条 全长 2km 的 街道两旁安装路灯（两端 也要安装），每隔 50m 安一盏。一共要安装多少盏路灯？ 2000÷50 = 40 （个） 40 + 1 = 41 （盏） 41×2 = 82 （盏） 答：一共要 安装 82 盏 路灯。 21 路公共汽车行驶路线 全长 24km 相邻两站 之间的路程都是 3km 。一共设有多少个车站？ 24÷3 ＝ 8 （个） 8 ＋ 1 ＝ 9 （个） 答：一共 设有 9 个 车站。 总路线长 ÷ 间距 = 间隔数 车站数 = 间隔数 +1 一段 路长 720m ，在路的一边每隔 3m 栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？ 720÷3 = 240 （个 ） 240 + 1 = 241 （棵） 答 ：一共要 栽 241 棵 树。 在 某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站 共有 14 个 车站，每两个车站间的平均距离是 1200m 。这条马路有多长？ 1200 × （ 14-1 ） = 1200×13 = 15600 （ m ） 答：这条马路 有 15600 m 长。 总路线长 = 间距 × 间隔数 老师 从一楼办公室去某教室上课， 上 一层楼有 10 级 台阶，走 了 30 级 台阶，老师要去的这个教室在第几层？ 30÷10 ＝ 3 （个） 3 ＋ 1 ＝ 4 （层） 答：老师要去的这个教室在 第 4 层 。 这节课你们都学会了哪些知识？ 5 m 20 m 5 m 5 m 5 m 5 棵 植树问题（ 1 ） 总路线长 ÷ 株距 = 间隔数 棵数 = 间隔数 +1 100÷5 = 20 （个） 20 + 1 = 21 （棵） 植树问题 数学广角 7 两端都不栽的植树问题 在 一 条 21 m 长的小路一旁栽树，每 隔 3 m 栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 我们一起研究此类“植树问题”吧！ 21÷3+1=8 （棵） 两端都不 栽？ 大象馆和猴山 相距 60 m 。绿化队要在两馆间 的小路 两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树 之间的 距离 是 3 m 。一共要栽多少棵树？ 例题 2 两端都不栽，栽的棵数比间隔数 少 1 。 我们先画一个简单的线段图看看。 两端都 栽： 两端都不 栽： 60÷3 = 20 （ ） × 2 = （ ） 20 （ ） = （ ） 19 38 小路两旁都要栽树，所以 还要 × 2 。 - 1 19 大象馆和猴山 相距 60 m 。绿化队要在两馆间 的小路 两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树 之间的 距离 是 3 m 。一共要栽多少棵树？ 答：一共要 栽 38 棵树。 …… 1 2 3 4 5 19 …… 18 60 m 少的“ 1” 在哪呢？ 两头种 棵数＝间隔数＋ 1 棵数＝间隔数 － 1 100 米 60 米 小组讨论： 这两种情况，有什么相同？有什么不同？ 两头种 棵数＝间隔数＋ 1 100 米 棵数＝间隔数 － 1 60 米 棵数＝间隔数 35 米 小组讨论： 植树问题有哪几种情况？ 每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？ 在一条全长 2km 的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔 50m 安一盏。一共要安装多少盏路灯？ 2 km = 2000 m 间隔 数： 2000÷50 = 40 （个） 棵 数 : ( 40+1 )×2 = 82( 盏 ) 答：一共 要安装 82 盏路灯。 盏数 ＝间隔 数 +1 小明家门前有一 条 35 m 的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每 隔 5m 栽 一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？ 1 2 3 4 5 7 6 35 m 小明家门前有一 条 35 m 的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每 隔 5m 栽 一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？ 35÷5 = 7 （棵） 答：一共要栽 7 棵树。 棵数＝间隔数 5 － 1 = 4 （次） 4×8 = 32 （分） 答：锯完一共要 花 32 分钟 。 一 根木头 长 10 m ，要把它平均分成 5 段。每锯下一段 需要 8 分钟 。锯完一共要花多少分钟？ 规范 解答： 3× （ 18+1 ） = 57 （ m ） 答：这条小路 长 57 m 。 学校 门前有一条笔直的小路，在小路的一旁从一头到另一头每 隔 3 m 栽一棵树，两端都不栽，一共栽 了 18 棵 ，这条小路长多少米？ 两头都不植树：间隔数＝棵数 + 1 规范 解答： 42÷3=14 （处） 答 ：全程一共有 14 处这样的服务点。 11 月3日 ， 2019北京马拉松赛在北京天安门广场开跑 。马拉松比赛全程 约 42km 。平均 每 3km 设置一处饮水服务点（起点不设，终点设），全程一共有多少处这样的服务点？ 这节课你们都学会了哪些知识？ 两头种 100 米 60 米 35 米 植树问题（ 2 ） 棵数＝间隔数＋ 1 棵数＝间隔数 － 1 棵数＝间隔数 数学广角 7 封闭曲线上植树的问题 学校 开展校园文化建设，我们班的植树任务是在一 条 8m 长 的小路的一旁，每 隔 2m 栽 一棵树，可以怎么栽？ ①两端都 栽 ： 8 ÷ 2+1 ＝ 5 （棵） ②两端都不栽： 8 ÷ 2-1 ＝ 3 （棵） 学校 开展校园文化建设，我们班的植树任务是在一 条 8m 长 的小路的一旁，每 隔 2m 栽 一棵树，可以怎么栽？ 生活中，还有把树、花沿着各种封闭图形种植，这节课我们就来研究 封闭路线上的植树问题 。 张伯伯 准备在圆形池塘周围栽树。池塘的 周长是 120 m ， 如果每 隔 10 m 栽 1 棵，一共要栽多少棵树？ 10 m 10 m 10 m 张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长 是 120 m ， 如果每 隔 10 m 栽 1 棵，一共要栽多少棵树？ 10 m 10 m 10 m 封闭图形中的“植树问题” 例题 3 思考： 封闭 图形中的“植树问题” 如果周长是 40 米，要栽多少棵？ 4 个间隔栽 4 棵树 如果周长是 70 米，要栽多少棵？ 7 个间隔栽 7 棵树 如果周长是 80 米，要栽多少棵？ 8 个间隔栽 8 棵树 距离（米） 间隔数（个） 棵数（棵） 40 70 80 4 4 7 7 8 8 …… …… …… 在封闭路线上植树，间隔与树一一对应 ： 说一说： 你有什么发现？ 棵 数 = 间隔数 棵数 = 间隔数 如果把圆拉直成线段，你能发现什么？ 我发现间隔数与树一一对应。 相当于一端栽， 一端不栽。 规范 解答： 张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长 是 120 m ， 如果每 隔 10 m 栽 1 棵，一共要栽多少棵树？ 例题 3 120÷10 ＝ 12 （棵） 答：一共要 栽 12 棵 树。 棵数 ＝ 间隔 数 我们 将封闭图形 “化曲为直” 后 ，发现 封闭图形 和在不封闭图形 “一头种” 中棵数和间隔数的关系是 一样 的，都是 棵数等于间隔数 。 小结： 棵数＝间隔 数 － 1 60 米 棵数＝间隔数 35 米 两头种 棵数＝间隔数＋ 1 100 米 棵数＝间隔数 小组讨论： “植树问题”有 几种类型 ？ 每种类型中 棵数 和 间隔数 什么关系？ 圆形 滑冰场的一周全长 是 150 m 。 如果沿着这一圈每 隔 15 m 安装 一盏灯，一共需要装几盏灯？ 盏 数 ＝ 间隔 数 150÷15 ＝ 10 （盏） 答：一共需要 装 10 盏 灯。 15×3 ＝ 45 （ m ） 答 ：种 15 棵 树的距离 是 45 m 。 同学们 围绕圆形池塘栽树，每两棵树之间的距离是 3m ，种了 15 棵 树，池塘的周长是多少米？ 棵 数 ＝ 间隔 数 一 个长方形花坛 , 长 60m , 宽 40m , 要在花坛四周 摆上 月季花 , 每 隔 2m 摆 一盆 , 一共需要多少盆月季花 ? （ 60+40 ） ×2÷2 ＝ 100×2÷2 ＝ 100 （ 盆 ） 答： 一共 需要 100 盆月季花 。 盆 数 ＝ 间隔 数 60÷ 5 ＝ 12 （颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。 一 条项链长 60cm ，每 5cm 有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？ 为 庆祝建国 70 周年，五（ 1 ）班的25名同学在操场上围成一个圆圈进行快闪表演，每相邻两个同学之间的距离都是 2 m ，这个圆圈的周长是多少米？ 25× 2 ＝ 50 （ m ） 答：这个圆圈的周长 是 50 m 。 这节课你们都学会了哪些知识？ 植树问题（ 3 ） “化曲为直” 封闭图形相当于“一头种” 棵 数 = 间隔数 练习二十四 植树问题 7 “植树问题”有几种类型？ 每种类型中棵数和间隔数什么关系？ 棵数＝间隔数 － 1 60 米 棵数＝间隔数 35 米 两头种 棵数＝间隔数＋ 1 100 米 棵数 ＝ 间隔数 1. 5 路公共汽车行驶路线全长 12km ，相邻两站之间的路程都是 1km 。一共设有多少个车站？ 12÷1=12 （个） 12+1=13 （个） 答：一共设有 13 个车站。 不封闭路线两端都栽树的问题。 棵数 = 间隔数 + 1 32÷4=8 （个） 8-1=7 （ 盆 ） 答：一共 要放 7 盆植物 。 2. 一条走廊长 32m ，每隔 4m 摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？ 不封闭路线两端都不栽树的问题。 棵数 = 间隔数 - 1 60÷5=12 （颗） 答：这条项链上共有 12 颗水晶。 3. 一条项链长 60cm ，每隔 5cm 有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？ 封闭路线上的植树问题。 棵数 = 间隔数 4. 有一条长 1800m 的公路，在公路的一侧从头到尾每隔 6m 栽一棵树，一共需要准备多少棵树苗？ 答：一共需要准备 301 棵树苗。 1800÷6=300 （个） 300+1=301 （棵） 棵数 = 间隔数 + 1 5. 一根木料锯成 3 段要 8 分钟。如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成 7 段需要花多少分钟？ 3-1=2 （ 次 ） 8 ÷ 2=4 （分钟） 7-1=6 （ 次 ） 4 × 6=24 （分钟） 答：锯成 7 段需要花 24 分钟。 6. 为了保护公园里的一棵千年古树，园林局决定为它做一个圆形防护栏。如果护栏有 10 个间隔，一共需要打多少根木桩？ 答：一共需要打 10 根木桩。 这是 封闭路线 上植树的情况，植树的 数量 与 间隔 数 相 等。 所以，一共需要打 10 根 木桩。 7. 马路一边栽了 25 棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？ 25-1=24 （棵） 答：一共要栽 24 棵。 梧桐树 -1= 银杏树 8. 园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔 6m 种一棵，一共种了 36 棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 6× （ 36-1 ） =210 （ m ） 答：从第一棵到最后一棵的距离有 210m 。 不封闭路线两端都栽树的问题。 棵数 = 间隔数 + 1 9. 笔直的跑道一旁插着 51 面小旗，它们的间隔是 2m 。现在要改为只插 26 面小旗（两端的旗子不动），间隔应该改成多少米？ 跑道长度： （ 51-1 ） ×2=100 （ m ） 间隔长度： 100÷ （ 26-1 ） =4 （ m ） 答：间隔应该改成 4 m 。 10. 继共享单车之后，我国共享汽车也随之普及 ， 共享汽车 不仅省钱 ，而且有助于缓解交通堵塞，减少 空气污染。 某公司准备在一段长 900 米的商业街上 投放 一批 共享 汽车， 每 两 辆 车 之间要 隔 50 米 ，该 公司提出如下三种方案 ， 请 把下面 的方案和对应的算式连起来 。 有一端投放，另一端不投放 两端都不投放 两端都投放 900 ÷ 50 900 ÷ 50-1 900 ÷ 50+1 11. 一张桌子坐 6 人，两张桌子并起来坐 10 人，三张桌子并起来坐 14 人 …… 照这样， 10 张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有 38 人，需要并多少张桌子才能坐下？ （ 10-1 ） ×4+6=42 （人） （ 38-6 ） ÷4+1=9 （张） 答： 10 张桌子可以坐 42 人， 38 人需要并 9 张桌子才能坐下。 这节课你们都学会了哪些知识？ 两头不种 两头种 一头种 封闭图形 植树问题 棵数＝间隔数 － 1 棵数＝间隔数＋ 1 棵数＝间隔数 棵数＝间隔数