2020年中考数学专题复习：函数知识点总结

2020年中考数学专题复习：函数知识点总结

初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴， 取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标 系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分， 分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、 纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 ba  时，（a，b）和（b，a） 是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第二象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第三象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第四象限 0,0  yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 0 y ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 0 x ，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上  x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标 的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx  知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确 定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示， 这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫 做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 bkxy  （k，b 是常数，k  0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， kxy  （k 为常数，k 0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是经 过原点（0，0）的直线。 k 的符 号 b 的符 号 函数图像 图像特征 k>0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 b<0 y 0 x 图像经过一、三、四象限， y 随 x 的增大而增大。 k<0 k<0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限， y 随 x 的增大而减小 b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限， y 随 x 的增大而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数 kxy  有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，图像从左之右上升； （2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，图像从左之右下降。 5、一次函数的性质 一般地，一次函数 bkxy  有下列性质： （1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小 （3）当 b>0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上 （4）当 b<0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 kxy  （k  0）中的常数 k。确 定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数 k 和 b。解这类问 题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数 x ky  （k 是常数，k  0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以 写成 1 kxy 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也 是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它 的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标 轴。 3、 反比例函数的性质 反比 例函 数 )0(  kx ky k 的符 号 k>0 k<0 图像 y O x y O x 性质 ①x 的取值范围是 x  0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 x ky  中，只有一个待定系数， 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 若过反比例函数 )0(  kx ky 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的 矩形 PMON 的面积 S=PM PN= xyxy  。 kSkxyx ky  ,, 。 知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， ，特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 a bx 2 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线 画出对称轴 （2）求抛物线 cbxaxy  2 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到 点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次 函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对 对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点七、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2y ax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c的性质： 二次函数 的图像可由 2y ax 的图像上下平移得到（平移规律：上加 下减）。 3.  2y a x h的性质： 二次函数 的图像可由 的图像左右平移得到（平移规律：左加 右减）。 4.  2y a x h k   的性质： 知识点八、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2y ax bx c   （ a ，b ， c 为常数， 0a  ）； 2. 顶点式： 2()y a x h k   （ a ， h ， k 为常数， 0a  ）； 3. 两点式： 12( )( )y a x x x x   （ 0a  ， 1x ， 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成两点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 2 40b ac时，抛物线的解析式才可以用两 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a  向上  00， y 轴 0x  时，y 随 x 的增大而增大； 0x  时，y 随 x 的增大而减小； 0x  时， y 有最小值 0 ． 0a  向下  00， y 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  0 c， 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值c ． 向下  0 c， 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值c ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  0h， X=h xh 时， 随 的增大而增大；xh 时， 随 的增大而减小；xh 时， 有最小值 ． 向下  0h， X=h xh 时， 随 的增大而减小；xh 时， 随 的增大而增大；xh 时， 有最大值 ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  hk， X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 k ． 向下  hk， X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 k ． 点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情 况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 知识点十、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a bx 2 时， a bacy 4 4 2最值 。 如果自变量的取值范围是 21 xxx  ，那么，首先要看 a b 2 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，则当 x= a b 2 时， ；若不在此范围内，则 需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 2xx  时， cbxaxy  2 2 2最大 ，当 1xx  时， cbxaxy  1 2 1最小 ；如果在此范围内， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 时， cbxaxy  1 2 1最大 ，当 时， cbxaxy  2 2 2最小 。 知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 图像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x= a b 2 ， 顶点坐标是（ ， a bac 4 4 2 ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< 时， y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 即当 x> 时，y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小 值， a bacy 4 4 2最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是 x= ， 顶点坐标是（ ， ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， 即当 x> 时，y 随 x 的增大而 减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x= 时， y 有最大值， a bacy 4 4 2最大值 2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 一元二次方程 2 0ax bx c   是二次函数 2y ax bx c   当函数值 0y  时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： ① 当 2 40b ac    时，图象与 x 轴交于两点    1200A x B x， ， ， 12()xx ，其中的 12xx， 是 一 元 二 次 方 程  2 00ax bx c a    的 两 根 ． 这 两 点 间 的 距 离 2 21 4b acAB x x a    推导过程：若抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴两交点为    00 21 ，，， xBxA ，由于 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个根，故 a cxxa bxx  2121 ,     aa acb a c a bxxxxxxxxAB      444 22 21 2 21 2 2121 ② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 0a  时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ； 2' 当 0a  时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ． 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ac4b2  ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当  >0 时，图像与 x 轴有两个交点；当  =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点。 知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆） 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为    2 21 2 21 yyxx  A 0 B 2、二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ，确定其顶点坐标 hk， ； ② 保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到 hk， 处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2 y=ax 2+ky=ax2 ③平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成 八个字“左加右减，上加下减”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但 掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 3、直线斜率： 12 12tan xx yyk    4、设两条直线分别为， 1l ： 11y k x b 2l ： 22y k x b 若 12//ll，则有 1 2 1 2//l l k k且 12bb 。 若 1 2 1 2 1l l k k     知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 抛物线 cbxaxy  2 中， a b c,的作用 （1） a 决定开口方向及开口大小，这与 2axy  中的 完全一样. a >0 时，抛物线开口向上； a <0 时，抛物线开口向下； a 的绝对值越大，开口越小 （2）b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线 a bx 2 ，故：① 0b 时，对称轴为 y 轴；② 0a b （即 、 同号）时，对称轴 在 轴左侧；③ 0a b （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.（口诀左同 右异） （3）c 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 0x 时， cy  ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， c ）： ① 0c ，抛物线经过原点; ② 0c ,与 轴交于正半轴； ③ 0c ,与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 知识点十四、中考点击 考点分析： 内容 要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 Ⅰ 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 Ⅰ 3、一次函数的概念和图像 Ⅰ 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 Ⅱ 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 Ⅱ 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 Ⅱ 命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选 择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等， 一般占 3-6 分左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选 择、解答题及综合题的形式考查，占 6 分左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题 形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6 分；二次函数是初 中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对 实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数 图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴， 并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值． 分析近年中考，预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的 变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同 时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．