中考数学专题复习——一线三角三等角型

中考数学专题复习——一线三角三等角型

‎ “一线三等角”基本图形解决问题 三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。‎ 一、知识梳理：‎ ‎（1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，△EBM∽△MCF.‎ ‎ ‎ ‎（2）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ‎△ABD∽△DEC.‎ 如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF.‎ ‎（图1） （图2）‎ 二、【例题解析】‎ ‎【例1】(2014四川自贡）阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；‎ 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．‎ ‎【练习】‎ ‎1、 已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2=，点P是AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 .‎ ‎2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.‎ ‎3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式 ‎（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ ‎【例2】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.‎ ‎（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；‎ ‎（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.‎ 图1 图2 图3‎ 分析过程：（1）△EPF为等边三角形. ‎ ‎（2）设BP=x，则CP＝6－x.‎ 由题意可 △BEP的面积为. △CFP的面积为.△ABC的面积为.‎ 设四边形AEPF的面积为y.‎ ‎∴ =.‎ 自变量x的取值范围为3＜x＜6. ‎ ‎（3）可证△EBP∽△PCF.∴ .设BP=x，‎ 则 . 解得 .∴ PE的长为4或. ‎ ‎【练习】.如图，在△ABC中，AB=AC=‎5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；‎ ‎（1）求证：△ABP∽△PCM；‎ ‎（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．‎ A B P C M ‎（4) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．‎ ‎【例3】在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【练习】在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.‎ ‎(1)、当点D是边AB的中点时，求证：‎ ‎(2)、当，求的值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，B(1.0)，C(0，﹣3)．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；‎ ‎(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案：(1)y=x2+2x﹣3；(2)S有最大值，点P的坐标为（，）；‎ ‎(3)M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）.‎ 课后作业：‎ A B C D E F 1. 已知：如图，在△ABC中，，，点D在边AB上，，点E在边BC上．又点F在边AC上，且．‎ ‎(1) 求证：△FCE∽△EBD；‎ ‎(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使．‎ 如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．‎ C P E A B D 2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。‎ ‎（1）求证△BPD∽△CEP ‎（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。‎ C P E A B F 3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=‎ ‎（1）分别求、关于x的函数关系式 ‎（2）△PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。‎ C P E A B F 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，△PEF的面积为y ‎（1）写出图中的相似三角形不必证明；‎ ‎（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（3）若△PEF为等腰三角形，求PC的长。‎ 1. 已知在等腰三角形中，，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）设.‎ ‎①用含的代数式表示；‎ ‎②求关于的函数解析式，并写出的定义域.‎ 2. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．‎ ‎（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．‎ ‎①求证；△ABP∽△DPC ‎②求AP的长．‎ ‎（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ‎①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．‎ C D A B P 答案：‎ 1. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ‎∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵∴∠BED=∠EFC ‎∴△FCE∽△EBD ‎（2）∵BD=x，BE=，‎ ‎∵△FCE∽△EBD∴若∴∴‎ ‎∴∴BD不存在 2. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C C P E A B D H ‎∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD∽△DCE ‎（2）∵∠DPE=∠B90°‎ 若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中 ‎ ∴cos∠ABH=cos∠DPE=∴‎ C P E A B D H ‎∵PC=4 ∴‎ 若∠PED=90°在Rt△ABH和Rt△PDE中 ‎ ∴cos∠ABH=cos∠PED=∴‎ ‎∵PC=4 ∴（舍去）‎ C P E A B F H 综上所述，BD的长为 3. 解：（1）、 ‎ ‎（2）∵∠FPE=∠B90°‎ 若∠PFE=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中 C P E A B F H ‎ ∴cos∠ABH=cos∠FPE=∴∴∴‎ 若∠PEF=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中 ‎ ∴cos∠ABH=cos∠FPE=‎ ‎∴∴∴‎ 4. 解：（1）△PEB∽△EPC C P E A B F G H M ‎（2）∵PC=x∴，，‎ ‎ ∴‎ 即 ‎（3）当PE=PF时，△EPC≌△PEB，PC=BE=x，∴‎ 当PE=EF时，，cos∠EPH=cosB，∴‎ 当FE=PF时，， cos∠FPM=cosB，∴‎ 综上所述，PC的长分别为、、‎ 1. 解：（1）∵,∴∵‎ 又,∴∽ ‎ ‎（2）①∵∽，∴‎ ‎∵是的中点，，∴，又 ∵‎ ‎∴当点在线段的延长线上时，，∴ ‎ 当点在线段上时，，∴‎ ‎②过点作DG∥AB,交于点 ‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴当点在线段的延长线上时，∴，∴∴‎ 当点在线段上时，∴，∴ ∴ ‎