北京市通州区2019—2020学年第二学期高一年级期末考试数学试卷 （解析版）

北京市通州区2019—2020学年第二学期高一年级期末考试数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年北京市通州区高一第二学期期末数学试卷 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．复数2+i的共轭复数是（　　）‎ A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i ‎2．在下列各组向量中，互相垂直的是（　　）‎ A．＝（﹣1，2），＝（2，1） ‎ B．＝（0，1），＝（1，﹣2） ‎ C．＝（3，5），＝（6，10） ‎ D．＝（2，﹣3），＝（，﹣）‎ ‎3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则cosA＝（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎4．甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（　　）‎ A．4 B．‎40 ‎C．250 D．400‎ ‎6．若样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎7．用6根火柴最多可以组成（　　）‎ A．2个等边三角形 B．3等边三角形 ‎ C．4个等边三角形 D．5个等边三角形 ‎8．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，则“直线m⊥α”是“m⊥a，且m⊥b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；‎ ‎③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；‎ ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题：‎ ‎①若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；‎ ‎②若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；‎ ‎③若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为；‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值是．‎ 其中，所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①④ B．②④ C．①②④ D．②③④‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是　 　．‎ ‎12．棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是　 　．‎ ‎13．已知23名男生的平均身高是‎170.6cm，27名女生的平均身高是‎160.6cm，则这50名学生的平均身高为　 　．‎ ‎14．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是　 　，第75百分位数是　 　．‎ ‎15．为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知＝（2，0），||＝1．‎ ‎（Ⅰ）若与同向，求；‎ ‎（Ⅱ）若与的夹角为120°，求+．‎ ‎17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝13，c＝15．‎ ‎（Ⅰ）sinC＝能否成立？请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若A＝，求b．‎ ‎18．某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求x的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；‎ ‎（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．‎ ‎19．某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 跳绳个数 ‎179‎ ‎181‎ ‎170‎ ‎177‎ ‎183‎ 踢毽个数 ‎82‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎73‎ ‎80‎ ‎（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？‎ ‎（Ⅱ ‎）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；‎ ‎（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？‎ ‎20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；‎ ‎（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．‎ ‎21．在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．‎ ‎（Ⅰ）若点E，F分别是AB，BC的中点（如图），‎ ‎①求证：A1D⊥EF；‎ ‎②求三棱锥A1﹣EDF的体积；‎ ‎（Ⅱ）设BE＝x，BF＝y，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点A1？‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．复数2+i的共轭复数是（　　）‎ A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i ‎【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．‎ 解：复数2+i的共轭复数是2﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎2．在下列各组向量中，互相垂直的是（　　）‎ A．＝（﹣1，2），＝（2，1） ‎ B．＝（0，1），＝（1，﹣2） ‎ C．＝（3，5），＝（6，10） ‎ D．＝（2，﹣3），＝（，﹣）‎ ‎【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，得出结论．‎ 解：由两个向量垂直的性质，可得，两个向量、垂直，‎ 即满足 •＝0，‎ 对于选项A，•＝﹣1×2+2×1＝0，满足条件；‎ 对于选项B，•＝0×1+1×（﹣2）＝﹣2，不满足条件；‎ 对于选项C，•＝3×6+5×10＝68，不满足条件；‎ 对于选项D，•＝2×+（﹣3）×（﹣）＝，不满足条件；‎ 故选：A．‎ ‎3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则cosA＝（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【分析】由余弦定理且B＝60°得b2＝a2+c2﹣ac，再由b2＝ac，得a2+c2﹣ac＝ac，得a ‎＝c，得A＝B＝C＝60°，可求cosA的值．‎ 解：∵由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac，‎ 又b2＝ac，‎ ‎∴a2+c2﹣ac＝ac，‎ ‎∴（a﹣c）2＝0，‎ ‎∴a＝c，‎ ‎∴A＝B＝C＝60°，‎ ‎∴cosA＝．‎ 故选：B．‎ ‎4．甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝＝6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数＝2，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．‎ 解：甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，‎ 他们每人从中无放回地任取一把，‎ 基本事件总数n＝＝6，‎ 甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数＝2，‎ 则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率p＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎5．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（　　）‎ A．4 B．‎40 ‎C．250 D．400‎ ‎【分析】利用频率的定义求解．‎ 解：∵一个容量为1000的样本分成若干组，‎ 某组的频率为0.4，‎ ‎∴该组的频数为：1000×0.4＝400．‎ 故选：D．‎ ‎6．若样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解．‎ 解：由方差的性质可知，D（ax+b）＝a2D（x），‎ 因为样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，即方差为64，‎ 则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为4×，4＝256，即标准差为16‎ 故选：B．‎ ‎7．用6根火柴最多可以组成（　　）‎ A．2个等边三角形 B．3等边三角形 ‎ C．4个等边三角形 D．5个等边三角形 ‎【分析】用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥．‎ 解：要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，这时最多可以搭4个一样的三角形．图形如下：‎ 故选：C．‎ ‎8．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，则“直线m⊥α”是“m⊥a，且m⊥b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．‎ 解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，‎ 则“直线m⊥α”能推出“m⊥a，且m⊥b”，是充分条件，‎ 反之“m⊥a，且m⊥b”，则“直线m⊥α或m⊂α″，不是必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎9．关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；‎ ‎③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；‎ ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【分析】根据面面垂直的定义，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理判断每个命题的真假即可．‎ 解：如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；‎ 如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；‎ 如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，‎ 所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；‎ 根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，‎ ‎∴正确的命题个数为2．‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题：‎ ‎①若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；‎ ‎②若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；‎ ‎③若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为；‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值是．‎ 其中，所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①④ B．②④ C．①②④ D．②③④‎ ‎【分析】利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可．‎ 解：在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．‎ ‎①如果点E在C1，F在A1时．满足直线AF与直线CE共面，若直线AF与直线CE 是平行线，可得直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE不一定相交，①不正确；‎ ‎②因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交与一点，因为直线AF与直线CE相交，所以则交点一定在直线DD1上，所以②正确；‎ ‎③若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大值，应该是E，F与D1重合，‎ 此时直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为＝，所以③正确；‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值就是E，F与D1重合时取得，夹角是，所以④正确；‎ 故选：D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是　平行或异面　．‎ ‎【分析】可考虑无公共点的两直线a，b是否在同一个平面内，可得a，b的位置关系．‎ 解：空间中两直线a与b没有公共点，‎ 若a，b在同一个平面内，则a，b为平行直线；‎ 若a，b不同在任何一个平面内，则a，b为异面直线．‎ 故答案为：平行或异面．‎ ‎12．棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是　　．‎ ‎【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得∠AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解．‎ 解：如图，三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，取BC中点E，连结AE、ED，‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD各棱长均相等，‎ ‎∴AE⊥BC，ED⊥BC，‎ ‎∴∠AED是二面角A﹣BC﹣D的平面角，‎ 设棱长AB＝2，则AE＝ED＝，‎ ‎∴cos∠AED＝．‎ 即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．‎ 故答案为：．‎ ‎13．已知23名男生的平均身高是‎170.6cm，27名女生的平均身高是‎160.6cm，则这50名学生的平均身高为　‎165.2cm　．‎ ‎【分析】由已知结合已知数据直接可求．‎ 解：由题意可知，＝‎165.2cm，‎ 故答案为：165.2‎ ‎14．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是　5　，第75百分位数是　7　．‎ ‎【分析】先把样本数据从小到大排列，由10×50%＝5，得到该组数据的第50百分位数第5个数与第6个数的平均数；由10×75%＝7.5，得到第75百分位数第8个数．‎ 解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，‎ 从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，‎ ‎∵10×50%＝5，‎ ‎∴该组数据的第50百分位数是，‎ ‎∵10×75%＝7.5，‎ 第75百分位数是7．‎ 故答案为：5，7．‎ ‎15．为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为　4，6，7，8，10　．‎ ‎【分析】由已知结合平均数及方差公式，分析数据特点即可求解．‎ 解：设5个数据分别为a，b，c，d，e，由题意可得，a+b+c+d+e＝35，‎ ‎（a﹣7）2+（b﹣7）2+（c﹣7）2+（d﹣7）2+（e﹣7）2＝20，‎ 由于5个数的平方和为20，则必为0+1+1+9+9＝20，‎ 由|x﹣7|＝3可得x＝10或4，由|x﹣7|＝1可得x＝8或6，‎ 故样本数据为4，6，7，8，10．‎ 故答案为：4，6，7，8，10‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知＝（2，0），||＝1．‎ ‎（Ⅰ）若与同向，求；‎ ‎（Ⅱ）若与的夹角为120°，求+．‎ ‎【分析】（I）由已知根据向量共线定理即可求解；‎ ‎（II）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．‎ 解：（I）设＝（x，y），‎ 由题意可得，存在实数λ＞0，使得，‎ 即（x，y）＝λ（2，0）＝（2λ，0），‎ 所以x＝2λ，y＝0，‎ 由||＝1可得4λ2＝1，即λ＝或（舍），‎ 所以＝（1，0），‎ ‎（II）设＝（x，y），‎ 所以＝||||cos120°＝2×＝﹣1，‎ 又因为＝（2，0）•（x，y）＝2x，‎ 故2x＝﹣1即x＝﹣，‎ 因为||＝1，所以x2+y2＝1，‎ 故y＝±，‎ 当y＝，x＝﹣时，+＝（），‎ 当y＝﹣，x＝﹣时，+＝（）．‎ ‎17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝13，c＝15．‎ ‎（Ⅰ）sinC＝能否成立？请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若A＝，求b．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用反证法，结合三角形的性质即可判断；‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理即可求出．‎ 解：（Ⅰ）sinC＝不成立，‎ ‎∵sinC＝，‎ ‎∴C＝，‎ ‎∵a＜c，‎ ‎∴A＜C，‎ ‎∴B＞，这与△ABC为锐角三角形矛盾，‎ ‎（Ⅱ）A＝，‎ 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA ‎∴169＝b2+225﹣2×15b×，‎ 整理可得b2﹣15b+56＝0‎ 解得b＝8，或b＝7，‎ 当b＝7时，cosC＝＝＜0，‎ ‎∴C为钝角，与题意不符合，‎ ‎∴b＝8．‎ ‎18．某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求x的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；‎ ‎（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出x．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图的性质能求出得分落在[0，20]内的人数和得分落在（20，40]内的人数．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数．‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：‎ ‎（0.0050+0.0075+0.0125+0.0150）×20＝1，‎ 解得x＝0.0100．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图能求出：‎ 得分落在[0，20]内的人数为：20×0.0050×20＝2，‎ 得分落在（20，40]内的人数为：20×0.0075×20＝3．‎ ‎（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数为：‎ ‎0.0050×20×10+0.0075×20×30+0.0150×20×50+0.0125×20×70+0.0100×20×90＝56．‎ 设所有的参赛选手得分的中位数为a，‎ 则0.0050×20+0.0075×20+0.0150×（a﹣40）＝0.5，‎ 解得a≈56.67．‎ 所有参赛选手得分的众数近似为：＝50．‎ ‎19．某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 跳绳个数 ‎179‎ ‎181‎ ‎170‎ ‎177‎ ‎183‎ 踢毽个数 ‎82‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎73‎ ‎80‎ ‎（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；‎ ‎（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用抽样关系式的应用求出结果．‎ ‎（Ⅱ）利用古典概型的应用求出结果．‎ ‎（Ⅲ）利用平均值和方差的关系式的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）高一年级的学生人数为336×．‎ 高二年级的学生人数为．‎ ‎（Ⅱ）设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过‎75”‎为事件A，‎ 由表中的数据可知：高二年级选出的5名学生中每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人，所以从5人中任选一人，事件A发生的概率为，‎ 由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件A发生的概率为．‎ ‎（Ⅲ）由表中的数据可以估计：‎ 高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为．‎ 高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为＝20．‎ 高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为．‎ 高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为，‎ 由于，所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．‎ ‎20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；‎ ‎（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．‎ ‎（Ⅱ） 推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而 AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．‎ ‎（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 证明：（Ⅰ） 在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，‎ 所以AB∥CD．‎ 因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，‎ 所以CD∥平面ABFE．……‎ ‎（Ⅱ） 因为，AD＝2，‎ 所以AE2+DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE．‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．‎ 因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，‎ 所以AB⊥平面ADE．‎ 因为DE⊂平面ADE，所以 AB⊥DE．‎ 因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE．‎ 因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF．……‎ ‎（Ⅲ）在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE．‎ 证明如下：‎ 取CD的中点N，连接FN．‎ 由（Ⅰ）知，CD∥&平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，‎ 所以CD∥EF．‎ 因为，‎ 所以EF＝DN．‎ 所以四边形EDNF是平行四边形．‎ 所以FN∥DE．‎ 由（Ⅱ）知，DE⊥平面ABFE，‎ 所以FN⊥平面ABFE．………………………‎ ‎21．在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．‎ ‎（Ⅰ）若点E，F分别是AB，BC的中点（如图），‎ ‎①求证：A1D⊥EF；‎ ‎②求三棱锥A1﹣EDF的体积；‎ ‎（Ⅱ）设BE＝x，BF＝y，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点A1？‎ ‎【分析】（Ⅰ）①运用线面垂直的判定和性质，先证A1D⊥平面A1EF，即可得证；②判断△FA1E为直角三角形，求得面积，再判断A1D为棱锥的高，运用棱锥的体积公式，计算可得所求值；‎ ‎（Ⅱ）分别讨论：（1）当E，F不是端点，即0＜x＜2，0＜y＜2时，A，C两点重合于A1，A1，E，F有且只有共线和不共线两种情况．分别讨论，可得x，y的关系式；‎ ‎（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，可得x＝y＝0．‎ 解：（Ⅰ）①证明：由题意可得A1D⊥A‎1F，A1D⊥A1E，‎ 又A‎1F⊂平面A1EF，A1E⊂平面A1EF，A‎1F∩A1E＝A1，‎ 所以A1D⊥平面A1EF，‎ 因为EF⊂平面A1EF，‎ 所以A1D⊥EF；‎ ‎②由已知可得A1E＝A‎1F＝1，EF＝，‎ A1E2+A‎1F2＝EF2，‎ 所以∠FA1E＝90°，所以△FA1E的面积为S＝×1×1＝，‎ 由A1D⊥平面A1EF，又A1D＝2，‎ 所以三棱锥A1﹣EDF的体积V＝S•A1D＝××2＝；‎ ‎（Ⅱ）（1）当E，F不是端点，即0＜x＜2，0＜y＜2时，A，C两点重合于A1，‎ A1，E，F有且只有共线和不共线两种情况．‎ 若点A1，E，F共线，则AE+CF＝EF；‎ 若A1，E，F不共线，则AE+CF＞EF，且|AE﹣CF|＜EF，‎ 由|AE﹣CF|＜EF，可得|（2﹣x）﹣（2﹣y）|＜（0＜x＜2，0＜y＜2），‎ 从而xy＞0，这在取值范围内恒成立．‎ 所以只需考虑AE+CF＞EF，可得（2﹣x）+（2﹣y）≥（0＜x＜2，0＜y＜2），‎ 即4﹣（x+y）≥，‎ 两边平方可得16﹣8（x+y）+（x+y）2≥x2+y2，即16﹣8（x+y）+2xy≥0，‎ 即y（x﹣4）≥4（x﹣2），即y≤＝4+．‎ ‎（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，‎ 此时x＝y＝0，‎ 而根据题意，E不能与A重合，F也不能与C重合．‎ 综上可得，当x，y满足y≤4+（0＜x＜2，0＜y＜2），或x＝y＝0时，A，C两点才能重合于点A1．‎