2019-2020学年江西省吉安市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省吉安市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省吉安市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由集合的并运算，根据题意进行求解.‎ ‎【详解】‎ 因为 根据集合的并运算，容易知.‎ 即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合并集的求解，属基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，求解函数定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使得函数有意义，则 ‎，且，‎ 解得且，‎ 即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数的定义域求解，依据是被开方数是非负数，分母不能为零.‎ ‎3．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将每个数据与1或0进行比较，再综合结果即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，且 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式、对数式比较大小，一般地，我们将数据和1或0进行比较，从而区分大小关系.‎ ‎4．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角函数的定义进行求解，注意两解的情况.‎ ‎【详解】‎ 根据三角函数的定义，，‎ 由同角三角函数关系得：；‎ 当，代入解得 ‎；‎ 当，代入解得 ‎.‎ 综上所述，原式等于或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，属基础题.‎ ‎5．函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过二次函数的对称轴和区间的位置关系进行求解.‎ ‎【详解】‎ 因为的对称轴，‎ 要使得二次函数在是增函数，‎ 则，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数单调性求参数的范围，涉及的函数是二次函数.‎ ‎6．已知，，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先进行凑角，然后利用正切函数的差角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为 故 ‎ =‎ ‎ =1.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切的差角公式，涉及给值求值的题型.‎ ‎7．已知，设函数（）的最大值为，最小值为，那么（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分析函数的单调性，找到最值；再讨论与之间的关系，从而进行求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，是定义域上的增函数，‎ 故；‎ 又，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，属函数基础题.‎ ‎8．函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合函数图像，求得函数的解析式，再计算函数的函数值.‎ ‎【详解】‎ 由图可知函数的周期，‎ 故；‎ 又函数过点，求得：‎ 解得，又，‎ 故可得：，‎ 故，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数图像求解三角函数解析式，以及求三角函数值.‎ ‎9．定义在上的奇函数，对任意的，，都有，且，则不等式 的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，绘制函数的图像，从而求解不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为是奇函数，且在是增函数，又，‎ 故可绘制的草图如下所示：‎ ‎，等价于 当时，，由图可知此时，‎ 当时，，此时，‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，单调性，以及利用以上两点求解不等式，此类题数形结合可简化做题过程.‎ ‎10．在正方形中，设，，已知，，分别是，，的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据几何关系，结合向量的加减法，用和表示目标向量即可.‎ ‎【详解】‎ 由几何图形可知：‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减法，严格利用向量加减法的几何意义即可.‎ ‎11．函数（）的图象大致形状是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；‎ x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．‎ ‎12．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点的个数为（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】先讨论函数的性质，再根据函数性质画出草图；将零点的问题，转化为函数交点的问题，数形结合处理.‎ ‎【详解】‎ 因为， 又函数是奇函数，故而是以4为周期的函数；‎ 同时,故关于直线对称，‎ 又=0的根个数，即方程的根的个数，‎ 即函数与函数图像的交点的个数.‎ 根据其在上的解析式，以及，画出两个函数的图像如图所示：‎ ‎[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/2/24/2405975385448448/2406501181480960/EXPLANATION/e0ab4516c45c47d9b69857d97722b5d5.png]‎ 由图可知，两函数有5个交点，‎ 故在区间的零点个数为6.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性以及函数的零点个数的判断，属综合题.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，与的夹角为，则__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】先求向量的数量积，再求解模长即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故.‎ 故答案为：7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模长的求解，涉及数量积的运算.‎ ‎14．已知，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式以及倍角公式化简，再根据同角三角函数关系求得，代值计算即可.‎ ‎【详解】‎ 原式=‎ ‎ =‎ ‎ 又因为，且 故可得：，将其代入原式 即可得原式=.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系、诱导公式、倍角公式化简求值.‎ ‎15．在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立直角坐标系，应用坐标进行向量数量积的求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，建立如图直角坐标系，‎ 此时 设点 ‎ ‎ 故其最大值为1，最小值为0.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积的坐标运算，本题的重点是建立直角坐标系，用坐标求解问题.‎ ‎16．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽车的发展方向.一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量(辆)与创造的价值(万元)之间满足二次函数关系.已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40000辆时，创造的价值达到最大6000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是___________辆．‎ ‎【答案】30000或50000‎ ‎【解析】设出二次函数解析式，根据题意，待定系数求解，再代值计算即可.‎ ‎【详解】‎ 设二次函数关系为 则根据题意得：‎ ‎，解得 故 令，解得30000或 故答案为：30000或50000.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用，涉及二次函数的解析式求解，以及函数值得计算.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递减区间以及在区间上的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）递减区间是（），最小值是，最大值是0.‎ ‎【解析】（1）先利用三角恒等变换化简函数解析式，再求最小值；‎ ‎（2）将代入正弦函数的单调区间求解单调区间，通过计算的范围求值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（2）由（），‎ 得（），‎ 所以的单调递减区间是（）.‎ 当时，，‎ 则.‎ 故在区间上的最小值是，最大值是0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用恒等变换化简三角函数解析式，求解函数性质；涉及单调区间、最小正周期以及值域的求解，属三角函数综合基础题.‎ ‎18．定义在上的函数满足 ‎，且函数在上是减函数.‎ ‎（1）求，并证明函数是偶函数；‎ ‎（2）若，解不等式.‎ ‎【答案】（1），证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到与之间的关系，进而证明；‎ ‎（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则，‎ 得，‎ 再令，，可得，‎ 得，所以，‎ 令，可得，‎ 又该函数定义域关于原点对称，‎ 所以是偶函数，即证.‎ ‎（2）因为，又该函数为偶函数，所以.‎ 因为函数在上是减函数，且是偶函数 所以函数在上是增函数.又，‎ 所以，等价于或 解得或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.‎ ‎19．第七届世界军人运动会(7th CISM Military World Games) ，简称"武汉军运会”,于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，共设置射击、游泳、田径篮球等27个大项、329个小项.来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.会议期间，某公司欲采购海南某水果种植基地的水果，公司王总经理与该种植基地的负责人张老板商定一次性采购一种水果的采购价(千元/吨)与采购量(吨)之间的函数关系的图象如图中的折线所示(不包含端点，但包含端点).‎ ‎(1)求与之间的函数关系式；‎ ‎(2)已知该水果种植基地种植该水果的成本是8千元/吨，那么王总经理的采购量为多少时，该水果基地在这次买卖中所获得利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）采购量为12吨时，最大利润为72千元 ‎【解析】（1）根据图像，设出解析式，待定系数求解即可；‎ ‎（2）根据题意，分段求解利润的最大值，取两者中较大者即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，；‎ 当时，设满足的函数关系式为，‎ 则解得 所以.‎ 综上，‎ ‎（2）当时，‎ 该水果种植基地获得的利润，‎ 此时该水果种植基地获得的最大利润为64千元；‎ 当时，‎ 该水果种植基地获得的利润为，‎ 所以当时，利润取得最大值，最大值为72千元.‎ 因为72千元>64千元，‎ 所以当王总经理采购量为12吨时，该水果种植基地在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为72千元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用，涉及分段函数解析式的求解，以及二次函数最大值的求解.‎ ‎20．已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，且有一个零点为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，且，求的值；‎ ‎（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据题意，由周期和零点，求得函数对应的参数即可；‎ ‎（2）由求得，凑角，利用正弦和角公式计算即可；‎ ‎（3）将恒成立问题转化为最值问题，再求三角函数的最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，‎ 所以函数的最小正周期是8.‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ 因为函数有一个零点，‎ 所以，‎ 得（）.‎ 解得（）.‎ 由知，，‎ 所以；‎ ‎（2）由，得，‎ 即，‎ 由，得，‎ 所以.‎ 所以 ‎（3）由，得，‎ 所以当时，，‎ 若在上恒成立，‎ 则在上恒成立，‎ 则，即，‎ 解得.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数解析式的求解，以及给值求值问题，恒成立问题，涉及三角函数值域的求解，属三角综合经典题型.‎ ‎21．已知函数（）且函数是奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数的值或范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）根据函数为奇函数，利用进行求解；‎ ‎（2）利用函数的奇偶性、单调性求解不等式，将问题转化为恒成立问题求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数（）的定义域是，‎ 因为函数是奇函数，所以对任意恒成立.‎ 由，得，‎ 得，‎ 即，‎ 得，‎ 故对任意恒成立.‎ 所以，解得.‎ ‎（2）因为是定义在上的奇函数，所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为是奇函数，故 得，‎ 因为在上是增函数，且为奇函数，‎ 所以在上也为整函数.‎ 所以，‎ 即，‎ 因为，所以，即，‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 所以要使 对所有的均成立的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数的奇偶性求参数值，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式涉及恒成立问题，属函数综合题.‎