2018-2019学年湖南省邵阳市邵阳县高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省邵阳市邵阳县高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省邵阳市邵阳县高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A＝{x|1＜x+2≤4}，B＝{0≤x＜6}，则A∪B＝（　　）‎ A．{x|0≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|2＜x＜6}‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简集合，按照并集的定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查并集的运算，属于基础题.‎ ‎2．圆C：x2+y2-4x+8y+5=0的圆心坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标．‎ ‎【详解】‎ 圆C：x2+y2-4x+8y+5=0的标准方程为C：（x-2）2+（y+4）2=15，故圆心坐标为（2，-4）， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程与一般方程的转化，属于基础题．‎ ‎3．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0平行，则a＝（　　 ）‎ A． B． C．﹣1 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为∥，得到即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题知：，因为∥，所以.‎ 解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查两条直线的平行的位置关系，属于简单题.‎ ‎4．已知一个四边形的直观图是如图所示的正方形，则原四边形的面积为（　　）‎ A．4 B．4 C．8 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据斜二测画法原则，还原成直观图，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 原四边形为平行四边形，底边为，高为，‎ 面积为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查用斜二测画出的直观图与原图形的面积关系，属于基础题.‎ ‎5．已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（　　）‎ A． B．2π C． D．8π ‎【答案】B ‎【解析】圆柱轴截面是正方形，圆柱的高等于底面直径，即可求出体积.‎ ‎【详解】‎ 圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，‎ 则圆柱的底面半径为1，其体积为2π.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查圆柱的轴截面与其结构特征的关系，以及求体积，属于基础题.‎ ‎6．已知函数f（x），则f（f（3））＝（　　）‎ A．2 B．e+2 C．2e D．e2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求，根据的值，代入分段函数，即可求出函数值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的函数值，属于基础题.‎ ‎7．已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，则下列命题不正确的是（　　）‎ A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若m∥n，α∩β＝m，则n∥α，n∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β ‎【答案】B ‎【解析】根据空间垂直、平行逐项讨论，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 选项A:m⊥α，m∥n，可得n⊥α，n⊂β，则α⊥β，该选项正确；‎ 选项B:m∥n，α∩β＝m，直线n可能在α或β内，该选项不正确；‎ 选项C:是线面垂直的判定，故正确；‎ 选项D:是面面平行的判定，故正确.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查有关空间线面平行、垂直性质和判定定理，属于基础题.‎ ‎8．已知函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+2），且f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，则（　　）‎ A．f（1）＞f（﹣1）＞f（4） B．f（﹣1）＞f（1）＞f（4）‎ C．f（4）＞f（1）＞f（﹣1） D．f（1）＞f（4）＞f（﹣1）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对称性把自变量转化到区间（﹣∞，1]上，运用单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由f（x）＝f（﹣x+2），f（4）＝f（-2），‎ f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，‎ 所以f（1）＞f（﹣1）＞f（-2）＝f（4）.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查函数的对称性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.‎ ‎9．设， ，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数的性质求得，，根据对数函数的性质求得，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据指数函数的性质，可得，，‎ 由对数函数的性质，可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的运算性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎10．如图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则下面结论正确的是（　　）‎ A．A1B∥B1C B．平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1‎ C．平面CB1D1∥平面A1BD D．异面直线AD与CB1所成的角为30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正方体的顶点位置，可判断A1B、B1C是异面直线；平面CB1D1内不存在与平面A1B1C1D1‎ 垂直的直线，平面A1B1C1D1内不存在直线垂直平面CB1D1，平面CB1D1不垂直平面A1B1C1D1；根据面面平行的判断定理可证平面CB1D1∥平面A1BD；根据正方体边的平行关系，可得异面直线AD与CB1所成的角为45°，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 选项A:平面平面平面，‎ 是异面直线，该选项不正确；‎ 选项B:由正方体可知，平面，‎ 平面，‎ 同理平面，‎ 而平面内不存在与平行的直线，‎ 所以平面内不存在直线垂直平面CB1D1；‎ 同理平面CB1D1内不存在垂直平面A1B1C1D1的直线，‎ 所以平面CB1D1不垂直平面A1B1C1D1，故该选项不正确；‎ 选项C：由正方体可得，可证平面，‎ 同理可证平面，根据面面平行的判断定理 可得平面CB1D1∥平面A1BD，故该选项正确；‎ 选项D: ，异面直线AD与CB1所成的角为 而，故该选项不正确.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查线线、面面平行判定，以及面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于基础题.‎ ‎11．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数在区间上存在零点，根据零点的存在定理，列出不等式组，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数是定义域上的单调递增函数，‎ 又由函数在区间上存在零点，‎ 则满足，即，解得，‎ 即实数的取值范围为，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用问题，其中解答中根据函数的零点的存在定理，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎12．设体积为8的正三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，其中O在三棱锥P﹣ABC内部．若球O的半径为R，且球心O到底面ABC的距离为，则球O的半径R＝（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正三棱锥的结构特征，顶点P与底面ABC的外心M连线垂直底面，正三棱锥P﹣ABC外接球的球心O在高上，可得出正三棱锥P﹣ABC高为，再利用，把底面ABC的外接圆半径用表示，进而将底面正三角形面积求出，再结合正三棱锥的体积，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设底面ABC的外心M，则平面，‎ 外接球的球心为O在上，，‎ 平面，‎ ‎，设边长为，‎ 则，‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查正三棱锥外接球的半径，确定球心的位置是解题的关键，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．点到直线l：的距离为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用点到直线的距离公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 点到直线l：的距离：‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14．已知函数f（x）＝log3[2x2+（a+2）x+1]是偶函数，则f（a）＝_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据偶函数的定义，求出a的值，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝log3[2x2+（a+2）x+1]是偶函数，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求系数，属于基础题.‎ ‎15．过点A（﹣3，0）、B（3，0）、C（0，1）的圆的标准方程为_____．‎ ‎【答案】x2+（y+4）2＝25‎ ‎【解析】由题首先设出圆心坐标，根据半径相等得到的值，即可得到圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由对称性知：圆心在轴上，设圆心为.‎ ‎，‎ 化简得：，解得：.‎ 得到：圆心，.‎ 故圆的标准方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程求法，熟练掌握圆的几何性质是解题的关键，属于简单题.‎ ‎16．若xlog2≤﹣1，则函数f（x）＝4x﹣2x+1+1的最小值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由不等式，得到，令，则，求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，即：，‎ 所以.‎ 令，‎ 则，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数不等式和指数函数的值域问题，用换元法求值域是解决本题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A是函数f（x）＝ln（x+1）的定义域，B＝{x|x≥3m﹣2}．‎ ‎（1）当m＝1时，求A∪B；‎ ‎（2）若A∩B＝∅，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∪B＝{x|x＞﹣1}；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据f（x）解析式限制条件，求出定义域，即可求解；‎ ‎（2）A∩B＝∅，即可确定3m﹣2的位置，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解得，﹣1＜x≤3，‎ ‎∴f（x）的定义域A＝{x|﹣1＜x≤3}，‎ 且m＝1时，B＝{x|x≥1}，‎ ‎∴A∪B＝{x|x＞﹣1}；‎ ‎（2）∵A∩B＝∅，‎ ‎∴3m﹣2＞3，解得，‎ ‎∴m的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的定义域，以及集合间的关系，属于基础题.‎ ‎18．已知直线l经过点A（2，1），且与直线l1：2x﹣y+4＝0垂直．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（2，m）到直线l的距离为2，求m的值．‎ ‎【答案】（1）x+2y﹣4＝0；（2）m的值为6或﹣4．‎ ‎【解析】（1）首先根据设出直线，再带入即可.‎ ‎（2）列出点到直线的距离公式即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，直线与直线垂直，‎ 设直线的方程为，‎ 又由直线经过点，则有，‎ 解可得.‎ 故直线的方程为.‎ ‎（2）根据题意，由（1）的结论：直线的方程为，‎ 若点到直线的距离为，则有，‎ 变形可得：，解可得：或.‎ 故的值为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查两条直线垂直的位置关系，第二问考查点到直线的距离公式，属于简单题.‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，点E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，点P是MN上的一点．‎ ‎（1）证明：EP∥平面SBD；‎ ‎（2）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）．‎ ‎【解析】（1）根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD，即可证结论；‎ ‎（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接BD，EM，EN，‎ ‎∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，‎ ‎∵BD⊂平面SBD，EM⊄平面SBD，∴EM∥平面SBD，‎ ‎∵SD⊂平面SBD，MN⊄平面SBD，∴MN∥平面SBD，‎ 又EM⊂平面EMN，MN⊂平面EMN，MN∩EM＝M，‎ ‎∴平面EMN∥平面SBD，而EP⊂平面EMN，‎ 则EP∥平面SBD；‎ ‎（2）解：在四棱锥S﹣ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，‎ SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，‎ 又E为BC的中点，连接SE，‎ 则SE为四棱锥的斜高，可得，‎ ‎∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的判定以及性质，考查正四棱锥的表面积，属于基础题.‎ ‎20．已知函数f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．‎ ‎（1）若f（x）在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求a的值；‎ ‎（2）若a＞1，求不等式f（2x）＞0的解集．‎ ‎【答案】（1）a＝2或．（2）{x|x＞1}．‎ ‎【解析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解；‎ ‎（2）根据单调性，把对数不等式等价转化指数不等式，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①当a＞1 时，f（x）＝loga（x﹣1）在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴在[2，9]上函数f（x）的最小值，最大值分别为：‎ f（x）min＝f（2）＝0；f（x）max＝f（9）＝loga8，‎ ‎∴loga8﹣0＝3，∴a＝2；‎ ‎②当0＜a＜1 时，f（x）＝logax 在（1，+∞）上为减函数，‎ ‎∴在[2，9]上函数f（x）的最小值、最大值分别为：‎ ‎ f（x）min＝f（9）＝loga8，f（x）max＝f（2）＝0，‎ ‎∴﹣loga8＝3，即loga8＝﹣3，∴a；‎ a＝2或．‎ ‎（2）若a＞1，不等式f（2x）＞0⇔f（2x）＞f（2）⇔2x＞2⇔x＞1；‎ 故若a＞1，不等式f（2x）＞0的解集为{x|x＞1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的最值，以及用函数的单调性解不等式，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱长均为4，且AA1⊥平面ABC，D为AA1的中点，M，N分别在线段BB1和线段CC1上，且B1M＝3BM，CN＝3C1N，‎ ‎（1）证明：平面DMN⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣DMN的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）4．‎ ‎【解析】（1）取线段MN的中点O，线段BC的中点E，可证DO∥AE，以及DO⊥平面BB1C1C，即可证得结论；‎ ‎（2）用等体积法转化为以D顶点，即可求出体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取线段MN的中点O，线段BC的中点E，连接DO，AE，OE，‎ 由题意可得，OE（MB+CN）CC1．‎ 因为D为AA1的中点，所以ADAA1，‎ 因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，‎ 所以AD∥OE，AD＝OE，‎ 所以四边形AEOD为平行四边形，所以DO∥AE．‎ 因为点E为BC的中点，所以AE⊥BC，‎ 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AE，则AE⊥CC1，因为BC∩CC1＝C，‎ 所以AE⊥平面BB1C1C，则DO⊥平面BB1C1C，‎ 因为DO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1C1C．‎ ‎（2）解：因为B1M＝3BM，BB1＝4，所以B1M＝3．‎ 所以△B1MN的面积S6．‎ 由（1）可得，DO＝AE2．‎ 故三棱锥B1﹣DMN的体积为：‎ VV4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，转化为证明线面垂直，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.‎ ‎22．已知函数是上的奇函数，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）记在上的最大值为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据函数是上的奇函数，得到 ，即可求得的值；‎ ‎（2）由（1）可得函数的解析式，分别求得函数和的单调性与最值，进而得出关于的不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是上的奇函数，所以 ，‎ 即，解得.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎ .‎ 因为奇函数，所以在上是减函数，则在上的最大值为 ，‎ 因为 ，所以在上是增函数，在上是减函数，‎ 则的最小值为和中的较小的一个.‎ 因为，，‎ 所以，‎ 因为对任意的，恒成立，所以，‎ 解得.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎