人教数学八年级上册全册一
八年级数学上册教案 备课人:余
发辉
全等三角形 11.1
教学内容:全等三角形
教 学
目标
1.理解全等三角形及相关概念,能够从图形中寻找全等三角形,探索并掌握全等三角形的性
质。
2.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉。
3.使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体念数学的乐趣,并
能够利用性质解决简单的问题。
重 点
难点
探索全等三角形的性质
三角形全等的表示方法与准确找出全等三角形中的对应元素
教 学
准备
教师准备 三角形模板、剪刀 是 否 需
要课件
课件备课已
另外准备学生准备 小剪刀、几张较硬的纸
教学过程设计
一、提出问题,创设情境
C
1
B
1
C
A
B
A
1
问题:你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?
形状与大小都完全相同
要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大
小相同.
二、动手操作,体验全等
让学生们把两张纸叠在一起,用小剪刀随意剪出一个图形,摆在桌子上观察
两个图形,体验全等。再用同样的方法剪出两个一样的锐角三角形、直角三角形、
钝角三角形。
叫学生阅读课本第 2 页概括全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫
做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念。
三、导入新课
用同学们所剪的三角形进行演示:
将△ABC 沿直线 BC 平移得△DEF(图甲);将△ABC 沿 BC 翻折 180°得到△
DBC(图乙);将△ABC 旋转 180°得△AED(图丙).
留白:
(供教师个性化设
计)
甲
D
C
A
B
F
E
乙
D
C
A
B
丙
D
C
A
B
E
议一议:各图中的两个三角形全等吗?
启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有
改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求
全等的一种策略.
观察与思考:
请同学们阅读课本第 3 页的第二段回答小黑板上的问题。
1、两个全等三角形中,重合的顶点叫做 ,重合的边叫做 ,
重合的角叫做 。
2、如图,△ABC 和△DEF 全等,如何用符号表示它们
D
E FCB
A
__________________________
3、在表示的过程中应该注意什么问题?____________________________
4、在上图中 AB 的对应边是 ,AC 的对应边是 ,BC 的对应边
是 ,∠A 的对应角是 ,∠B 的对应角是 ,∠C 的对应角
是 。
同学们自己总结全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
四、例题讲解
[例 1]如图,△OCA≌△OBD,C 和 B,A 和 D 是对应顶点,说出这两个三角形中
相等的边和角。
D
C
A
B
O
问题:△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使
两三角形重合?
将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合.因为 C 和 B、A 和 D 是对应顶点,所
以 C 和 B 重合,A 和 D 重合.
解题过程略
[例 2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边
和对应角.
D
C
A
B
E
_A
_B _E _D _C
_A
分析:通过拆分三角形找对应边和对应角,发现规律,总结规律(对应角所对的
边是对应边,对应边所对的角是对应角,两个对应角所夹的边是对应边,两条对
应边所夹的角是对应角)
注意:所写出的对应元素必须是两个全等三角形中的边与角。解答过程略
[例 3]已知,△ABC≌△DEF,AB=5cm,BC=6 cm,
AC=4 cm,求△DEF 的周长。(写在小黑板反面)
D
E FCB
A
解:因为△ABC≌△DEF ,所以
DE=AB=5cm,EF=BC=6cm,DF=AC=4cm,
所以△DEF 的周长=DE+EF+DF=5+6+4=15(cm)。
五、课时小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,探索了找
两个全等三角形对应元素的方法,并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种:
(一)从运动角度看
1.平移法:沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
2.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
3.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应
元素.
(二)根据位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
(三)根据经验来判断
1. 大边对应大边,大角对应大角
2. 公共边是对应边,公共角是对应角
六、作业
课本习题 11.1 第 1-4 题。
附:板书设计 §11.1 全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用
例 1:(运动角度看问题)
例 2:(根据位置来推理)
例 3:(性质的应用)
四、小结:找对应元素的方法
运动法:翻折、旋转、平移.
位置法:对应角→对应边,对应边→对应角.
经验法:大边→大边,大角→大角.公共边是对应边,公共角是对应角。
教后反思: 留白:(供心得体会与反思)
授课时间:_____年_____
月____日
三角形全等的判定(一)
湖城学校 杨贤
教学目标
1.三角形全等的“边边边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
回忆前面研究过的全等三角形.
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
图中相等的边是:AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等的角是:∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
提出问题:你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?
(可以先量出三角形的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形
的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形全等).
这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少呢?现在我
们就来探究这个问题.
探究 1:先任意画一个⊿ABC,再画一个⊿A′B′C′,使⊿ABC 与⊿A′B′C′满足上述六个条件
中的一个或两个,你画出的⊿ABC 与⊿A′B′C′一定重合吗?
Ⅱ.导入新课
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按下列
条件做一做.
①三角形一内角为 30°,一条边为 3cm.
②三角形两内角分别为 30°和 50°.
③三角形两条边分别为 4cm、 6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:有四种可能.即:三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种
情况.
探究 2:先任意画出一个ΔABC,再画一个△A′B′C′,使 A′B′= AB,A′C′= AC,B′C′= BC.你
能画出这个三角形吗?把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC 进行比较,它们全等吗?作图方法:
1.先画一线段 B′C′= BC.
2.分别以 B′C′为圆心,线段 AB,AC 为半径画弧,两弧交于点 A′.
3.连接 A′B′, A′C′.
这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所
以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
[例]如图,△ABC 是一个钢架,AB=AC,AD 是连结点 A 与 BC 中点 D 的支架.
求证:△ABD≌△ACD.
[分析]要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:因为 D 是 BC 的中点
所以 BD=DC
在△ABD 和△ACD 中
所以△ABD≌△ACD(SSS).
生活实践的有关知识:用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉
成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角
形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
由前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法
已知:∠AOB
求作:∠A'O'B'=∠AOB
作法:
①以 O 点为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C,D;
②画一条射线 O'A',以点 O'为圆心,OC 长为半径画弧,交 O'A'于点 C';
③以点 C'为圆心,CD 长为半径画弧,与②中所画弧交于 D';
④过点 D'画射线 O'B',则∠A'O'B'=∠AOB
Ⅲ.课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律 SSS.并利用它可以证
明简单的三角形全等问题.
Ⅳ.布置作业
1.课本 P15 页习题 11.2 中的第 1,2 题
三角形全等的判定(二)
教学目标
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
一、复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?
教后反思:
二、导入新课
1.三角形全等的判定(二)
(1)我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等,那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三
角形全等?我们来看下面的问题:
如图 2,AC、BD 相交于 O,AO、BO、CO、DO 的长度如图所标,△ABO 和△CDO 是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO.
如果把△OAB 绕着 O 点顺时针方向旋转,因为 OA=OC,所以可以使 OA 与 OC 重合;又因为∠AOB =∠
COD, OB=OD,所以点 B 与点 D 重合.这样△ABO 与△CDO 就完全重合.
从上面的例子可以引起我们猜想:如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形
全等.
2.上述猜想是否正确呢?不妨作如下的实验:
探究 3:先任意画出一个ΔABC,再画一个△A′B′C′,使 A′B′= AB,A′C′= AC,∠A'=∠A(即使有
两边和它们的夹角对应相等)你能画出这个三角形吗?把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC 进行比较,它
们全等吗?
画一个△A'B'C',使 A'B'= AB,A'C'= AC,∠A'=∠A
作图方法:
①画∠DAE=∠A;
②在射线 A'D 上截取 A'B'= AB,在射线 A'E 上截取 A'C'= AC;
③连结 B'C'.
把画好的△A'B'C'剪下后可以发现它能与ΔABC 完全重合,这样我们就有:
3.边角边公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三、随堂练习
1.填空:
(1)如图 3,已知 AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,
已具有两个条件,一是 AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以
证得吗?).
(2)如图 4,已知 AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件
中,已具有两个条件:_________________________(这个条件可以证得吗?).
2、已知:AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图 4).求证:△ABD≌△ACE.
四、探究:
探究 4:我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”
的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
学生讨论,教师归纳
可通过画图来回答这个问题,如图,图中ΔABD 与ΔABC 满足两边及其中一边的对角对应相等,但显然
这两个三角形不全等
这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
五、小 结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),
并要善于运用学过的定义、公理、定理.
六.布置作业
1.课本 P15 页习题 11.2 中的第 3,4 题
三角形全等的条件(三)
教学目标
1.三角形全等的条件:角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明.
教学过程
教后反思:
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.复习:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?
三种:①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否
可以判断两三角形全等呢?
Ⅱ.导入新课
问题 1:三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题 2:
探究 5:先任意画出一个ΔABC,再画一个△A′B′C′,使 A′B′= AB, ∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使有
两角和它们的夹边对应相等)你能画出这个三角形吗?把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC 进行比较,它
们全等吗?
两个三角形中有两个内角分别对应相等,它们的夹边也相等,观察它们是不是全等,你能得出什么规
律?
画一个△A'B'C',使 A'B'= AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B;
画法:
①画 A'B'= AB;
②在 A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E 交于点 C'
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这两个三角形全等.
由此我们可提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角
和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题 4:
如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC 与△DEF 全等吗?能利用角边角条件证
明你的结论吗?
证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC 和△DEF 中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
这也就是说明:两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:AD=AE.
[分析]AD 和 AE 分别在△ADC 和△AEB 中,所以要证 AD=AE,只需证
明△ADC≌△AEB 即可.
证明:在△ADC 和△AEB 中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以 AD=AE.
Ⅲ.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
Ⅳ.布置作业
1.课本 P15--16 页习题 11.2 中的第 6,11 题
三角形全等的判定---直角三角形全等的判定(四)
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题;
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点
教后反思:
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程
Ⅰ.提出问题,复习旧知
1、如图,Rt△ABC 中,直角边是 、 ,斜边是_______
2、如图,AB⊥BE 于 C,DE⊥BE 于 E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC 与△DEF
(填“全等”或“不全等” ),根据 (用简写
法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC 与△
DEF__________ (填“全等”或“不全等” ),根
据 (用简写法)
(3)若 AB=DE,BC=EF,则△ABC 与△DEF
(填“全等”或“不全等” ),根据 (用简写法)
(4)若 AB=DE,BC=EF,AC=DF,则△ABC 与△DEF (填“全等”或“不全等” ),
根据 (用简写法)
Ⅱ.导入新课
我们在前面已经学习了几种三角形全等的判定方法,那么这节课我们来研究一种特殊的三角形全等的
判定方法——直角三角形全等的判定
由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,
这两个直角三角形就全等了;那么如果满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?
(一)探索练习:(动手操作):已知线段 a,c (a
0,则 a 的值有两个,它们互为相反数;
③如果 a2<0,则 a 的值不存在。
问题 3:学校要举行美术比赛,小鸥很高兴,他要裁一块面积为 25dm2 的正方形画布,画
上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
解析:如设正方形的边长为χdm,则χ2=25,因为(±5)2=25
∴χ=±5,而边长不能为负数 ∴χ=5
填表
正方形面积 1 9 16 36
25
4
边长
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题。
归纳新知:一般地,如果一个正数χ的平方等于 a,即χ2=a,
那么这个数χ叫做 a 的算术平方根,a 的算术平方根记为 a ,
即χ= a , a 读作“根号 a”,a 叫做被开方数。
理解概念:例如:
12=1,1 叫做 1 的算术平方根,记作 1 =1
22=4,2 叫做 4 的算术平方根,记作 4 =2
62=36,6 叫做 36 的算术平方根,记作 36 =6
… … …
02=0,0 叫做 0 的算术平方根,记作 0 =0
如果正数χ2=a(χ>0),那么χ叫做 a 的算术平方根,记作 a =χ
总结: a ≥0(a≥0)
B 例题讲解,巩固新知:
例 1、求下列各数的算术平方根:
(1)900 (2)1 (3)
64
49 (4)196 (5)0 (6)0.0001
先引导学生分析解决问题的思路,之后写出解答过程
解:(1)∵302=900,故 900 的算术平方根是 30,即 900 =30。
(2)——(5)略,总结:如何求一个数的算术平方根?利用平方运算。
例 2、求下列各式的值:
(1) 44.1 (2) 25 (3) 2)2( (4) 2)1.0(
留 白
解:(1) 44.1 = 2)2.1( =1.2 (3) 2)2( = 4 = 22 =2
(2) 25 = 25 =5 (4) 2)1.0( = 01.0 = 2)1.0( =0.1
例 3、 7 有意义吗?为什么?
课堂练习:P69 练习 1、2
C 总结
1、谈一谈本节课学习的主要内容;
2、算术平方根的意义是什么?
3、怎样求一个正数的算术平方根?
D、布置作业:
1、习题 13·1 P75、1、2
2、选做题
(1)2χ-1 是 25 的算术平方根,求χ的值。
(2)已知 2a-1 的算术平方根是 3,3a+b-1 的算术平方根是 4,求 a、b
的值。
(3)若 4x 与 y4 互为相反数,求χy 的算术平方根。
附、板书设计
13.1 平方根
一、算术平方根
1、定义:一般地,如果一个正数χ的平方等于 a,即χ2=a,那么这个正数χ叫做 a 的算术平
方根。
a 的算术平方根,记作 a ,读作“根号 a”,a 叫做被开方数。
2、性质: a ≥0(a≥0)
教学反思:
13·1 平方根(二)第二课时
教学内容 平方根(二)P69-72
教 学
目 的
1、会用计算器求一个数的算术平方根,理解被开方数扩大(或
缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律。
2、能用类值法求一个数的算术平方根的近似值。
3、体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理
数的一类新数。
重 点
难 点
夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想。
夹值法估计一个(无理)数的大小。
教师准备 学生用计算器
是否应用课件
学生准备 学生用计算器
教 学 过 程 设 计 :
留 白
一、复习导入:
1、求下列各式的值:
(1) 1 (2) 81 (3)
9
4 (4)
64
49
2、 2 的值是多少?
二、创设情境,探究新知:
问题 1:怎样用两个面积为 1 的正方形拼成一个面积为 2 的正方形?
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(4) (2)
(3)
学生动手拼凑,师总结拼凑方法如图。
你知道这个正方形的边长是多少吗?
设大正方形的边长为χ,则拼凑可知χ2=2
由算术平方根的意义可知 χ= 2
所 以 大 正 方 形 的 边 长 是 2 。
留 白
由此我们可知小正方形的对角线长是________。
问题 2: 2 到底有多大呢?即:(χ2=2)
∵12=1,22=2 ∵1.412=1.9881,1.422=2.0164
∴1< 2 <2 ∴1.41< 2 <1.42
∵1.42=1.96 1.52=2.25 ∵1.414=1.999396 1.4152=2.002225
∴1.4< 2 <1.5 ∴1.414< 2 <1.415
……
如 此 下 去 , 可 得 到 2 的 更 精 确 的 近 似 值 。 事 实 上 ,
2 =1.41421356……它是一个无限不循环的小数。
无限不循环的小数:是小数位数无限,且小数部分不循环的小数,
我们把这类数叫做无理数。你们以前见过这样的数吗?它与我们所学
的有理数相同吗?
实际上,无理数除了 2 ,π外,还有 3 , 5 , 7 等,它们也
是大家族,有无数个。
三、例题讲解,巩固新知
要求任意一个正数的算术平方根,可用计算器。
例 1:用计算器计算 3136 , 2 , 5 和 10 的值(精确到 0.001)
解:略。
例 2:(1)求下列各数的算术平方根:
0.0001 0.01 1 100 10000
(2)利用计算器计算下列各式的值:
0625.0 625.0 25.6 5.62 625 6250 62500
(3)从(1)(2)中你能发现什么规律吗?利用你发现的规律,如果 3
≈1.732,则 03.0 ≈______, 300 ≈________, 30000 ≈________,
你能说出 30 的近似值?
解:(1) ∵0.012=0.0001 ∴ 0001.0 =0.01 依次可得
01.0 =0.1
1 =1
100 =10
10000 =100
(2) 0625.0 =0.25 (3)规律:被开方数每扩大(或缩小)
625.0 ≈0.79057 10 倍,它的算术平方根就扩大
25.6 =2.5 (或缩小)10 倍。
25.6 ≈7.9057 如 3 ≈1.732
625 =25 03.0 ≈0.1732
6250 ≈79.057 则 300 ≈17.32
62500 =250 30000 ≈173.2
但不能知 30 的值
四、综合运算:
问题(1):用一块面积为 400cm2 的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块
面积为 300cm2 的长方形纸片,你会怎样剪?
(2)若剪出的长方形纸片面积不仅为 300cm2,且其长宽之比为 3:2,
你又怎样剪?
解:(1)面积为 400cm2 的正方形纸片的边长为 20,沿着边的方向剪,使
长方形的面积为 300 cm2,300÷20=15cm,于是剪下 5cm 宽的长方形
纸片即可。
(2)设长方形纸片的长为 3χcm,宽为 2χcm,则
3χ·2χ=300
6χ=300
χ2=50
χ= 50
因此长方形的长为 503 cm,宽为 502 cm。
因为 50>72,所以 50 >7,所以 503 >21,即该长方形纸片的长应
该大于 21cm。而正方形的边长只有 20cm,故这样的长方形纸片 留白
剪不出来。
五、归纳总结
1、夹值法求一个正数的算术平方根。
2、无理数的意义。
3、计算器求一个数的算术平方根。
4、被开方数与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律。
六、布置作业
1、P72 练习 1、2
2、P76 习题 6、7
七、板书设计
1、夹值法求一个数的算术平方根
2、无理数的意义
3、被开方数与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律。
教学反思:
13·1 平方根(三)第一课时
教学内容 平方根(三)P72-75
教 学
目 的
1、掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间报道张区
别。
2、能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘
方运算之间的互逆关系。
3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
重 点
难 点
平方根的概念和求数的平方根
平方根和算术平方根的联系和区别
教师准备
是否应用课件
学生准备
教 学 过 程 设 计 :
留 白
一、创设情境、学习新知:
问题 1:(1)若一个正数的平方等于 16,这个数是多少?
(2)若一个数的平方等于 16,这个数是多少?
解:(1)这个数是 6 的算术平方根,即 4416 2
(2)由(1)可知,这个数可以是 4,除了 4 以外,还有没有别的数的
平方也等于 16 呢?因为 16)4( 2 ,所以这个数也可以说是-4。因此
这个数是 4 或-4。
填表:
χ2 0 1 9 36 49 25
4
9
1
87
64
χ
一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根或
二次方根。即若χ2=a,则χ为 a 的平方根,记为χ= a 。例
如 4 与-4 是 16 的平方根,记为±4= 16 ,反过来,16 的平方根
是 4 或-4,记为 16 =±4。
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方。
我们知道,±4 的平方等于 16,16 的平方根是±4,所以平方运算与开
平方运算互为逆运算。根据这种关系,可以求一个数的平方根。
例:求下列各数的平方根:
1 0.49 ②
36
49 ③144 ④0 ⑤-100
解:∵(±0.7)2=0.49,所以 0.49 的平方根是±0.7,即± 7.049.0
②——④略
⑤因为没有任何一个数的平方是负数,所以-100 没有平方根,思
考并归纳:
思考:正数的平方根有什么特点?0 的平方根是多少?负数有平方
根吗?
归纳:正数有两个平方根,它们互为相反数;其中那个正的平方
根叫做这个数的算术平方根。0 的平方根是 0,负数没有平方根。
二、例题讲解、巩固新知
例 1:求下列各式的值,并根据这些值写出被开方数的平方根。
① 69.1 ② 81 ③
144
121
①∵1.32=1.69 ∴ 69.1 =1.3 1.69 的平方根是±1.3,
②——③略
例 2:回到引言:
宇宙的第一速度 U12=gR 宇宙的第二速度 U22=2gR,其中 g=9.8
R≈6.4×106,则有 U12≈9.8×6.4×106≈6.272×107
U22≈9.8×2×6.4×106≈1.2544×108
因为 U1 U2 是 6.272×107 与 1.2544×108 的平方根,
所以 U1= 37 109.710272.6
U2= 48 1012.1102544.1
因为 U1>0 ,U2>0
∴U1≈7.9×103 U2≈1.2×104
C、归纳总结
1、这节根你学到了什么? 2、平方根的意义是什么?
3、正数,0,负数的平方根有什么特点?
4、怎样求一个数的平方根?
四、布置作业:
1、课内训练 P75 练习 1、3 P75 习题 2、4
2、课外训练 P75 练习 2 P75 习题 3、8、9
五、板书设计:
1、平方根的意义
2、开平方
3、平方根的特点:
六、教学反思:
13·2 立 方 根
教学内容 P77-79 立方根
教 学
目 的
1、了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根。
2、能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立
方根与平方根的不同。
3、发展学生求同存异思维,使它们能在复杂的环境中明辨是非,
并作出正确的处理。
重 点
难 点
立方根的概念及求法
立方根与平方根的区别
教师准备 是否应用课件
学生准备
教 学 过 程 设 计 :
留 白
一、复习导入:
1、平方根的概念:
2、说出下列各数的平方根;
① 4 ②169 ③5 ④正数 a ⑤0
3、什么是立方根?
二、创设情境,探究新知:
问题:要制作一种容积为 27m3 的正方体开关的包装箱,这种包装
箱的边长应该是多少?
如设正方体边长是χm,则χ3=27,在这个等式中是已知了幂的指
数,求底数的运算,这类运算很多,它与乘方运算正好相反(乘方是
已知底数和指数,求幂)。
类似于平方根,这里的χ应叫 27 的立方根。
一般地,如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方
根或三次方根。即如χ3=a,χ叫做 a 的立方根。a 的立方根记作
3 a ,读作“三次根号 a”,a 是被开方数,3 是根指数,在平方根中
指数可省略,而立方根中根指数不能省略。
如上 27 的立方根记作 3 27 ,8,125,216,a 的呢?
3 27 是多少?像这样求一个数的立方根的运算,叫做开立方,正
如开平方和平方互为逆运算一样,开立方与立方互为逆运算。利用这种
关系可求一个数的立方根。
问题 2:填表
χ3 8 27 -8 -27 0 0.125 64
27
χ
归纳:正数、负数、0 的立方根的规律
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0 的立方根是 0,它
与数的平方根有何区别?
问题 3:计算
① 3 064.0 ② 3
125
27 ③ 3
216
8
分析:先理解每个式的含义
解:略
以上式子的值是有理数还是无理数?实际上,像上面式子的值很
多都是无理数,例如 3 2 , 3 3 , 3 5 等,我们可利用计算器求它们的
近似值。
完成 P79 练习 2
例 2:用计算器计算…,3 000216.0 ,3 216.0 ,3 216 ,3 216000 ,…,
你能发现什么规律?用计算器计算 3 100 ,(精确到 0.001),并利用你
发现的规律求 3 1.0 , 3 0001.0 , 3 100000 的近似值?
解:计算略,规律为求立方根时,被开方数每扩大(或缩小)
1000 倍,立方根就相应的扩大(或缩小)10 倍。
相关课内训练:P79 练习 1、3、4 P80 习题 1、2、3
四、课堂小结:
问题:1、立方根与开立方的意义
2、正数、负数、0 的立方根的特征。
3、立方根的求法。
五、布置作业:
1、P80、5、6、7、8
六、板书设计:
13.2 立方根
1、立方根的意义
2、开立方
3、正数、负数、0 的立方根的特点
4、被开方数与它的立方根扩大(或缩小)的规律
七、教学反思:
13·3 实数(一)
教学内容 P82-84 实数(一)
教 学
目 的
1、了解无理数和实数的概念,会对实数按照一定的标准分类,
培养分类能力。
2、了解分类的标准与分类结果的相关性,进一步了解体会“集
体”的含义。
3、了解实数与数轴上的点一一对应的关系。
重 点
难 点
正确理解实数的概念和实数与数轴上点的关系
实数按不同标准的分类
教师准备
是否应用课件
学生准备
教 学 过 程 设 计 :
留 白
一、创设情境,导入新课:
问题 1:同学们以前学过有理数,请同学们说一说有理数的概念和
分类。
有理数的分类:
1、按意义分
正
整数 0
负
有理数
正
分数
负
2、按正、负分
正
正有理数 0
负
有理数 0
负整数
负有理数
负分数
问题 2:探究:使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,
你有什么发现?
3,
5
3 ,
3
2 ,
8
47 ,
11
9
即:3=3.0 5
3 =-0.
·
6 3
2 =0.6 8
47 =5.875 11
9 =0.
·
8
·
1…
也就是说上面的有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形
式。实际上有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来,
任何有限小数或无限循环小数也都可写成整数和分数(即有理数)的形
式。
如:3.0=3 -0.6= 5
3 ,5.875= 8
47 而 0.
·
6,0.
·
8
·
1呢?
设χ=0.
·
6=0.666… ① 则 10χ=6.666χ……②
用②-①得,9χ=6 即χ= 3
2
∴0.6=0.666……= 3
2
归纳:任何一个有限小数或无限循环小数都可化成分数,所以任
何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数。
二、探究新知
(一)在平方根与立方根的学习中,我们知道,很多数的平方根或
立方根都是无限不循环小数,它们与有理数不同,人们将这类数称为无
理数。有理数与无理数统称为实数。
实数的分类:
(1)按意义分
有理数:有限小数和无限循环小数
无理数:无限不循环小数
(2)按正、负分
实数
正实数 0 负实数
正有理数 正无理数 负有理数 负无理数
例:下列各数填入相应的集体内
-π
3
1 3.1 0.80808…… 2 3 8 36 3 25 2
整数集合( …)
正分数集合( …)
正有理数集合( …)
负 数集合( …)
有理数集合( …)
无理数集合( …)
(二)我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,无理
数是否也可以用数轴上的点来表示呢?
问题 2:探究在数轴上表示 2 - 2 π -π……
1、如图,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,
圆上的一点由原点到达 0’,点 0’的坐标是多少?
见课本 P83 图上
0
实数
从图中可以看出,0 0’的长是这个圆的周长 C=πd=π,所以 0’坐
标是π。在负半轴距原点相等距离的点的坐标是-π。
这样,无理数π、-π可以用数轴上的点表示出来。
2、又如 P83 图 2 就表示了 2 ,- 2 。
事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。这就
是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数。所有的有理数
和无理数就如同一个个士兵占据着数轴上一个个的点。所以实数与数
轴上的点就是一一对应的。即每一个实数都可以用数轴上的一个点表
示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
问题 3:深入探讨,平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存
在一一对应的关系吗?
三、总结:
问题:1、什么叫无理数?
2、实数的分类?
3、有理数和数轴上的点一一对应吗?
无理数和数轴上的点一一对应吗?
实数和数轴上的点一一对应吗?
四、巩固训练
1、课内训练 P86、1、P86 习题 1
2、课外作业 P86 习题 1、2
五、板书设计
13·3 实数
1、无理数的定义
2、实数的定义(1) (2)
3、实数与数轴上点的关系:一一对应
七、教学反思:
13·3 实数(二)
教学内容 实数(二)P84-86
教 学
目 的
1、了解相反数,绝对值的意义也适用于实数,会求一个实数的相反数和绝对值。
2、会比较两个实数的大小。
3、了解在有理数范围内的运算及运算法则,运算性质等在实数范围内仍然成立,能
熟练进行实数运算,在实数运算时,根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行
计算。
重 点
难 点
会进行实数的运算
教师准备
是否应用课件
学生准备
教 学 过 程 设 计 :
留 白
一、复习、判断:
(1)无理数都是无限小数。( )
(2)无限小数都是无理数。( )
(3)带根号的数都是无理数。( )
(4)不带根号的数都是有理数。( )
(5)所有的实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上所有的点表示实数。
二、新授:
问题 1:思考: 2 的相反数_____,π的相反数_____,0 的相反数_____。| 2 |=_____
|π|=______ | 0 |=______
归纳:数 a 的相反数是-a。(a 表示任意一个实数)
绝对值:一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值
是它的相反数;0 的绝对值是 0。
例 1、(1)分别写出 5 , 23 ,3.14-π的相反数分别是_________________。
(2)__________的相反数是 6 ,_______的相反数是 3 31 。
(3)计算:| 3 |= | 3 64 |=
(4)如果一个数的绝对值是 5 ,则这个数为_________。
问题 2:有理数的大小比较方法:
1、数轴______的数比数轴_______的数大;
2、正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数,两个负数绝对值大的反而_________。
有理数的大小比较方法适用实数吗?
归纳:略
例 2:比较下列各组的大小
① 2 ,1.4 ② 5 , 6 ③-1, 3 2
例 3:化简
① | 31 | ② | 3.14-π| ③| 508 | ④ | 33 32 |
问题 3:数从有理数扩充到实数后,我们已经学习过哪些运算?(答加与减 乘与除 乘方
与开方运算)
追问:在这些运算中有哪些规定
(答:除法运算中除数不为 0,只有正数与 0 可以开平方运算,任何一个实数都可开立方
运算)
问题 4:有理数满足哪些运算定律?
交换律:a+b=b+a 交换律:ab=ba
加法 乘法 结合律:(ab)c=a(bc)
结合律:a+(b+c)=(a=b)+c 分配率:a(b+c)=ab+ac
上述定律中的 a、b、C 换成实数,定律还适用吗?
例 4:计算下列各值:
① )23(2 ② 3332
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似数时,或以按照所要求的精确度用
相应的近似有限小说去代替无理数,再进行计算。
例 5:计算:
① 5 +π(精确到 0.01) ② 3 · 2 (保留三位有效数字)③ 6274
(保留三个有效数字)
三、总结:
1、这节课我们学习了实数的哪些知识?
①实数的相反数,绝对值的意义 ②实数的大小比较
③实数的运算及运算律 ④实数的计算
2、这些知识是由什么类比而学得?这些知识是在有理数中学习的,理数扩充到实数后它
们是否仍适用?
四、布置作业
1、课内训练 P86 练习 2、3、4
2、课外训练 P87 习题 3、4、5、6
五、板书设计
1、实数(有理数)的相反数;
2、实数的绝对值;
3、实数的大小比较方法;
4、实数的运算及运算律;
运算:
运算律:
5、实数的计算:
六、教学反思:
第十四章 一次函数 (冰融)
14.1 变量与函数
14.1.1 变量(共 1 课时)
教学内容:常量与变量
教学目标:
1、知识与技能:
(1)理解变量、常量的概念以及相互之间的关系;
(2)体会常量与变量的内涵;
(3)能找出变量之间的简单关系,列出简单关系式。
2、过程与方法:
(1)经历实际问题情境,引出常量与变量的概念,为学习函数
定义作准备;
(2)运用学生熟知的实例,使学生系统地认识常量与变量,理
解相关概念之间的联系与区别。
3、情感、态度与价值观:学生通过对实际问题的讨论和分析,
感受函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约。
重点难点:
1、重点:理解变量的实际意义。
2、难点:常量与变量之间的关系,对变量的判断。
教学准备:
1、教师准备:
(1)将课本思考题(1)~(5)制作成生动活泼的形式;
(2)补充课外的内容。
2、学生准备:
(1)预习 11.1.1 变量内容;
(2)一条 10cm 长的线。
教学过程设计:
一、创设情境,引入课题。
2010 年在我国上海举办了世界博览会。张老师带领 X 名学生到
上海参观世博园,已知成人票每张 10 元,学生票每张 5 元,则门票
的总费用 Y 随 X 的变化如何变化?
二、操作探究,获取新知。
1、教师出示课本的五个问题(用小黑板或多媒体),让学生思考,
然后提问五个小组的代表:(错误的订正,正确的给予充分肯定)。
(1)60km、120 km、180 km、240 km、300 km 、S=60t(t≥0)
(2)1500 元、2050 元、3100 元、y=10x(x≥0 且为整数)
(3)L=10+0.5m
(4)
10 cm 、
20 cm 、 r =
s
(5)S=x(5-x)
2、形成概念:在某一变化过程中,数值发生变化的量称为变量。
数值保持不变的量称为常量。
3、拓展延伸(可采用分小组举手抢答的形式):分别指出上面各
问题中哪些是变量,哪些是常量?
4、新知整合:
(1)常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是
常量还是变量,需要看两个方面:一是看它是否在同一个变化过程中;
二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化;
(2)常量和变量是相对变化过程而言的,有时可以相互转化;
如在 S=υt,若 S 一定,则υ、t 是变量,若υ一定,则 s、t 是变量;
(3)不要误认为字母就是变量,如π就是常量。
三、随堂练习,深化提高。
1、课本练习;
2、课本习题中相关内容。
四、课堂总结,发展潜能。
1、常量和变量的概念,常量与变量之间有何区别?
2、常量与变量必须存在于同一个变化过程中。
3、常量与变量不是绝对的,是相对于同一个变化过程而言的。
4、通过实例,你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受?
五、布置作业,专题突破。
1、课本习题中相关题;
2、写出问题中的关系式,并指出常量和变量:
某种活期储蓄的月利率为 0.16%,存入 10000 元本金,按国家规
定,取款时,应缴纳利息部分的 5%的利息税,求这种活期储蓄扣除
利息税后实得的本息和 y(元)与所存月数 x 之间的关系式。
[y=10000+0.16%×10000×(1-5%)x;x、y 是变量;10000、0.16%、
(1-5%)是常量]
附:板书设计
一、创设情境,引入课题。 三、随堂练习,深化提高。
二、操作探究,获取新知。 1、口答练习中题
1、探讨问题; 2、演板习题中题
2、概念形成; 四、课堂总结,发展潜能。
3、拓展延伸; 1、 2、 3、 4、
4、新知整合; 五、布置作业,专题突破。
14.1.2 函数(共 1 课时)
教学内容:函数
教学目标:
1、知识与技能:(1)历经实际问题,理解自变量、函数概念;
(2)能写出实例中的函数关系式,并分清常量、变量、自变量与函数;
(3)会确定自变量的取值范围;已知自变量的值,会求函数值;已知函数值,会求自
变量的值。
2、过程与方法:观察实际问题中变量间存在的函数关系,探究实例中函数与自变量的对应关系,掌握
求函数解析式、自变量取值范围、自变量的值或函数值的方法。
3、情感、态度与价值观:通过学习、探究,提高学生的分析、综合能力,渗透特殊→一般,具体→抽
象的思维方法,渗透数形结合思想和函数模型思想。
重点难点:
1、重点:理解函数概念,能从实例中提炼函数关系式,并会求自变量取值范围和函数值。
2、难点:将实际问题抽象为函数问题,用函数模型加以解决。
教学准备:
1、教师准备:(1)将问题(1)~(5)制作成投影片;(2)课本中观察问题;(3)函数概念;(4)例
题;(5)补充资料。
2、学生准备:(1)复习上节所学变量内容;(2)预习本节内容;(3)计算器。
教学过程设计:
一、回顾交流,聚焦问题。
1、教师通过提问,学生回答进行复习(可用小黑板或投影仪);
2、给出问题(用小黑板或投影仪)
在地球某地,温度 T(0c)与高度 d(m)之间的关系,可近似地用
T=10-
150
d 来表示(如右图所示),回答问题:
①指出这个关系式中的变量和常量;②填写表格;
③仔细观察两变量之间的关系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变
量就 。
[①d,t 是变量,10、150 是常量;②10.00、8.67、7.33、6.00、
4.67、3.33;③有唯一确定的值与其对应。]
二、讨论探究,形成概念。
1、教师出示课本五个问题(用小黑板或多媒体),学生分组讨论交流,
得出正确的结果。
2、形成概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,
并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 y 是 x 的函数,其中 x 是自
变量。
3、用来表示函数关系的等式叫函数解析式,也称函数关系式。
三、范例点击,深化认知。
教后反思:
例 1 下列关于变量 x、y 的关系:①3x-2y=0 ②5x-y2=1 ③y= 3x
④y=±x,其中 y 是 x 的函数的是 。
例 2 一辆汽车的油箱中现有汽油 50L,如果不再加油,那么油箱中的
油量 y(单位:L)随行驶里程 x(单位:Km)的增加而减少,平均耗油量
为 0.1L/km,①写出表示 y 与 x 的函数关系的式子;②指出自变量 x 的取值范围;③汽车行驶 200km 时,
油箱中还有汽油多少?④当油箱中还剩一半汽油时,汽车行驶了多少路程?
四、随堂练习,巩固提高。
1、课本练习(教师提问,学生口答)。
2、求下列函数中自变量 x 的取值范围(分小组演板后,师生共同订
正)。
(1)y=2x2+x,(2)y=
1
1
x
,(3)y= 2x ,(4)y=
3
1
x
(5)等腰三角形的周长为 10,底边长为 y,腰长为 x,y 关于 x 的函
数关系式为 y=10-2x。
五、课堂总结,融会贯通。
1、用数学式子表示函数的方法叫做解析法。解析法是函数表示法的
一种。
2、求函数自变量取值范围的方法:
1、使函数解析式本自有意义;
a)当函数解析式是整式时,自变量取值范围可取全体实数;
b)当函数解析式是分式时,自变量的取值要使分母不为 0;
c)当函数解析式是偶次根式时,自变量取值要使被开方数为非负数。
(2)对于实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。
3、给定函数解析式,①已知自变量的值求函数值,实质就是求代数
式的值;②已知函数值求自变量的值,实质就是解方程;③已知函数值的
取值范围,求自变量取值范围,实质就是解不等式。
4、函数解析式:①函数解析式是等式;②函数解析式书写时有顺序
性,通常等式右边的式子中的变量是自变量,等式左边的那个字母表示自变量的函数。
六、布置作业,专题突破。
1、选用课本习题中相关题。
2、等腰 ABC 的顶角为 x,底角为 y,①写出 y 与 x 的关系式;
②当 y 取 450~890 的一个确定值时,相应的 x 确定吗?③x 可以看成是 y 的函数吗?④求 y 的取值
范围;⑤当 ABC 为 Rt 时,其底角多少度?
附:板出设计
一、 回顾交流,聚焦问题。
二、 讨论探究,形成概念。
教后反思:
三、 范例点击,深化认知。
例 1
例 2
例 2
五、课堂总结,融会贯通。
六、布置作业,专题突破。
四、随堂练习,巩固提高。
14.1.3 函数的图象
(共 3 课时)
第 1 课时 函数的图象
教学内容:函数的图象
教学目标:
1、知识与技能:
(1)使学生初步认识函数图象;
(2)能根据函数图象提供的信息获取函数的性质;
(3)会判断点与函数图象的位置关系。
2、过程与方法:
(1)通过函数图象可以数形结合地研究函数;
(2)让学生观察分析函数图象,获得变量之间关系的直观体验。
3、情感、态度与价值观:
(1)从函数图象中直观地获得变量之间关系的有关信息,应用于实践,预测变化趋势,决策未来;
(2)进一步渗透数形结合思想,使学生体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生探索精神,
合作交流能力和动手能力。
重点难点:
1、重点:用描点法画函数图象,从函数图象上获取函数性质;
2、难点:观察、分析函数图象,得出函数相关性质。
教学准备:
1、教师准备:投影仪、幻灯片、本节内容和补充资料。
2、学生准备:预习本节课内容,画函数图象工具,计算器。
教学过程设计:
一、回顾交流,情境引入。
1、一种豆子 2 元/kg,写出买豆子的总金额 y (元)与所买豆子的数量 x (kg)之间的函数关系,并
回答下列问题:
①上面函数关系式中,哪个是自变量?哪个是函数?自变量取值范围是什么?
②由所求出的函数关系式填表:
x (kg) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (元)
2、课本上自动测温仪记录的图象。(教师引导学生按要求讨论问题)
二、讨论探究、形成概念。
1、问题探究:如图,正方形边长为 x ,面积为 S,请思考:
①写出 S 关于 x 的函数关系式,并求出 x
的取值范围;
②计算并填写下表。
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S
③自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一的数值 S,是否确定了一个点( x ,S)呢?
④在平面直角坐标系中,将上面表格中各对数值所对应的点描出来,然后用平滑的曲线连接这些点。
2、形成概念:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐
标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
三、范例点击,深化认知。
例 1 (课本例 2)
例 2 在下列式子中,对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的对应值,即 y 是 x 的函数,画出
这些函数的图象:
① y = x +1 ② y =
x
6 ( x >0) ③回顾交流,情境引入 1 中函数图象
[讲完例 1、例 2 后师生共同归纳得出]描点法画函数图象的一般步骤:
第一步,列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值,注意自变量的值要取得均匀一些,要有
代表性);
第二步,描点(在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表中数
值对应的各点);
第三步,连线(按照横坐标由小到大(即从左至右)的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来)。
四、随堂练习,巩固提高。
1、课本练习中各题(可采用分小组完成后教师点评的形式);
2、如图所示,分析反映变量之间关系的图象,想象一个适合它的实际情境。
(可先确定横、纵轴所代表的变量,再运用自己的语言刻画变量之间的关系。如:横轴和纵轴分别代
表时间和离家距离,那么就可说小明从学校回家,行走了一段后,停下来在街心公
园看了一会儿爷爷们下棋,然后又开始往家走,直到回家。)
五、课堂总结,融会贯通。
1、我们可以由一个函数的表达式,列出这个函数的函数对应值表,并把这些
对应值(有序的)作为点的坐标,在坐标平面内描出相应的点,进而画出函数图象,
即用描点法画函数图象。函数图象可以是点、直线、线段,也可以是双曲线、抛物
线等规则曲线,还可以是不规则曲线。
2、用描点法画函数图象时,选择的点要在自变量取值范围内并分布均匀,有
代表性;选择适当的点越多,画出的函数图象就越准确;一般以 5 至 7 个点为宜。
3、用函数图象解决问题时,注意自变量与函数的对应关系,理清图象的含义即要会识图。
六、布置作业,专题突破。
1、课本习题中相应题目;
S x
2、如图所示的图象,表示小红放学回家途中骑车速度与时间的关系,你能想象出她回家路上的情境吗?
附:板书设计
一、 回顾交流,情境引入。 归纳得出画函数图象的一般步骤:
1 第一步
2 第二步
二 、 讨论探究,形成概念。 第三步
1 四 、 随堂练习,巩固提高。
2 1 2
三 、 范例点击,深化认知。 五 、 课堂总结,融会贯通。
例 1 六 、 布置作业,专题突破。
例 2
第 2 课时 函数的表示方法
教学内容:函数的表示方法
教学目标:
1、知识与技能:(1)学会用描点法画简单函数图象,了解函数解析式、函数
图象及函数表格间的关系;
(2)结合函数图象,能体会出函数的变化情况。
2、过程与方法:(1)渗透数形结合的思想,使学生学会画函数图象的基本方
法;
(2)在画函数图象过程中体会函数的规律及三种表达形式之
间的关系和各自的优缺点。
3、情感、态度与价值观:经历探索函数多种表示方法的过程,体验探索的快
乐,培养学生严谨细致的作风,加深对函数意义的了解。
重点难点:
1、重点:函数的三种表示方法。
2、难点:理解三种函数表示形式之间的联系。
教学准备:
1、教师准备:投影仪、尺规、幻灯片、补充资料。
2、学生准备:预习本节课内容,画图工具。
教学过程设计:
一、温故知新,情境引入。
1 用描点法画函数图象的一般步骤:
教后反思:
第一步: (表中给出一些 及其对应
的 );
第二步: (在直角坐标中,以 ,相应
的 ,描出表格中数值对应的各点);
第三步:_______________(按照横坐标由 的顺序,把所描出的各点
用________连接起来)。
2、画出下列函数的图象:
(1)y= -x+1 (2)y= X
6 (X>0)
二、合作探究,形成概念。
1、画出下列函数的图象
(1)y=x-2 (2)y=2x+1 (0≤X<3)
2、画好函数图象后,教师给出函数的三种不同表示方法。
(1)列表法:把与自变量 X 的一列系值的函数 y 的对应值列成一个表格,
这种表示函数关系的方法叫做列表法。
(2)解析法:用自变量 X 的代表式表示函数 y 的方法叫做解析法。
(3)图象法:用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
注:函数的三种表示方法各具特点:(1)列表法一目了然,不需计算就能
查出自变量与函数的对应值,使用方便;(2)解析法简单明了,能准确地反映整
个变化过程中自变量与函数的对应关系;(3)图象法直观形象,通过函数图象,
可以直观形象地把函数关系表示出来,能直观地研究函数的一些性质。
三、随堂练习,巩固提高。
(教师给出问题,学生分组进行,最后评比完成情况)
弹簧挂上物体会自然伸长,已知某弹簧的自然长度是 10cm,挂上 1kg 物
体,弹簧长 15cm,挂上了 3kg 物体,弹簧长 25cm。
(1)、写出物体质量 x(kg)与弹簧长度 y(cm)之间的函数关系;
(2)、画出该函数关系的图象;
(3)、当挂上 5kg 物体后,弹簧长度将达到多少厘米?
四、课堂总结,迁移升华。
函数的三种不同表示方法不是孤立的,而是可以相互转化的:
由函数的解析式可以得到这个函数的图象以及用表格的形式列出自变量与
函数的一些对应值;由函数的图象可以得到函数的解析式以及函数的对应值表
格;由函数对应值表格可以得到函数解析式及函数图象。
五、布置作业,专题突破。
1、课本习题中相应的题目;
2、从 A 地向 B 地打长途电话,按时收费,3 分钟收费 2.4 元,每加 1 分钟
加收 1 元,若时间 t≥3(分钟),求电话费 y(元)与时间 t(分)(取整数)之
间的函数关系式,并画出函数图象。
附:板书设计
一、 温故知新、新课引入。 三、随堂练习、巩固提高。
1、
2、 四、课堂总法,迁移升华。
二、合作探究、形成概念。
1、
2、概念 五、布置作业、专题突破。
(1)列表法 1、
(2)解析法 2、
(3)图象法
教后反思:
第 3 课时 函数表示方法的应用
教学内容:函数表示方法的应用
教学目标:
1、知识与技能:(1)运用丰富的实例,帮助学生进一步理解函数的三种表示方法;
(2)灵活运用函数的不同表示方法,建立函数模型,解决实际问题。
2、过程与方法:(1)通过作图、交流、归纳等数学实践活动,提高学生把实际问题转化为数学问
题的能力;
(2)培养学生利用函数知识推测事物发展趋势的能力。
3、情感、态度与价值观:让学生通过动手操作,体会函数三种表示方法在实际生活中的应用价值,
激发学生对数学的学习兴趣。
重点难点:
1、重点:函数的三种表示方法及其应用。
2、难点:函数三种表示方法的应用。
教学准备:
1、教师准备:投影仪(或小黑板),补充资料。
2、学生准备:预习本节课内容,画函数图象工具。
教学过程设计:
一、温故知新,新课引入。
问题:函数有哪些表示方法?它们各有什么优缺点?它们有什么关系?
[函数共有列表法、解析法和图象法三种表示方法。解析法简洁、精确,但不具体;图象法直观、具
体,但不精确;列表法直观、具体,但不全面。由函数的解析式可以得到函数图象及列表;由函数的图象
可以得到函数的解析式及函数的对应值表格;由函数对应值表格可以得到函数的解析式及图象。]
二、合作探究,深化升华。
探究 1 已知 A、B 两地相距 80km,甲、乙二人沿同一条公路从 A 地到 B 地,乙骑自行车,甲骑
摩托车,DB、OC 分别表示表示甲、乙二人离开 A 地距离 S(km)与时间 t(h)的函数关系,根据题中的
图象填空:
(1) 先出发,出发 h 后, 才出发;
(2)大约在 出发 h 后,两人相遇,这时他们离 A 地 km;
(3)甲到达 B 地时,乙离开 A 地 km;
(4)甲的速度是 km/h;乙的速度是 km/h。
归纳..:函数图象的读图与识图的关键是理清函数图象上的点的意义及横坐标与纵坐标的意义。
探究 2 已知函数 y=2x-1,(1)试判断点 A(-1,3)和点 B(
3
1 ,-
3
1 )是否在此函数的图象上;
(2)已知点 C(a,a+1)在此函数的图象上,求 a 的值。
归纳..:函数的图象是由点组成的,若点的坐标满足函数解析式,则该点就在函数图象上,若点的坐
标不满足函数解析式,则该点就不在函数图象上;反之亦成立。
探究 3 已知函数 y=2x-3.求:(1)函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标;(2)x 取什么值时,函数值
大于 1;(3)若该函数图象和函数 y=-x+k 相交于 x 轴上一点,试求 k 的值。
归纳..:函数图象与 x 轴交点的纵坐标是 0,与 y 轴交点横坐标为 0;函数值大于 1,即函数图象在直
线 y=1 上方;函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式。
探究 4 作出函数 y=3-2x 和 y=
x
3 (x>0)的图象,根据图象回答下列问题:
(1)对于函数 y=3-2x,y 随 x 的增大而 ;当 x 时,y>0,当 x 时,y=0,当 x
时,y<0。
(2)对于函数 y=
x
3 ,y 随 x 的增大而 ,函数图象与 x 轴
相交,与 y 轴 相交。
归纳..:①当自变量 x 由小到大(从左至右看函数图象)增加时若函数图象是上升的,则 y 也随之增大;
若函数图象是下降的,则 y 就随之减小;
②当 y>0 或 y<0 时,求自变量的取值范围即解不等式;当 y=0 时,求自变量的值即解方程;
③函数图象与 x 轴相交时,y=0;函数图象与 y 轴相交时,x=0,反之亦然。
三、随堂练习,巩固提高。
(学生分小组进行,每小组一小题。)
1、找出能反应如下所示各情景中两个变量间关系的图象,并将代号填在相应的横线上。
(1)矩形面积一定时,它的长与宽的关系对应的图象是 。
(2)一辆匀速行驶的汽车,其速度与时间关系对应的图象是 。
(3)一个直角三角形的两直角边之和为定值时,其面积与一直角边长之间的关系对应的图象是 。
2、图象一定经过原点的函数是( )
A、y=5x-1 B、y= -
x
3 C、y=x2-3x-2 D、y=
12
5
x
x
3、当 x 时,函数 y=-x+1,(1≤x≤6)有最大值 ,
当 x 时,函数有最小值 。
4、已知函数 y=x+2 与 y=-x+k 的交点在 y 轴上,则 k= 。
四、课堂总结,融会贯通。
本节课我们主要探究了函数表示方法的四个方面的应用,要
求我们熟练掌握所归纳的结论和方法,并能灵活运用。
五、布置作业,专题突破。
0 A x
y
0 B x
y
0 C x
y
1、课本习题中相应题目;
2、如图是一名同学骑自行车出行的图象,
从图象得知正确的信息是( )
A、整个行进过程中的平均速度是
60
7 km/h
B、前 20 分钟的速度比后半小时速度慢
C、该同学在途中停下来休息了 10 分钟
D、从起点到终点该同学共用了 50 分钟
附:板书设计
一、温故知新,新课引入。 三、随堂练习,巩固提高。
1、
二、合作探究,深化升华 。 2、
探究 1 3、
探究 2 4、
探究 3 四、课堂总结,融会贯通。
探究 4 五、布置作业,专题突破。
教后反思:
14.2.1 正比例函数(第一课时)
教学内容 本节课主要内容是正比例函数的研究,讨论这种函数的定义,图像和增加性
教学目标
1. 领会正比例函数的定义,会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式
2. 经历探索正比例函数的过程,发展学生的类比思维.
3. 培养由此及彼地认识问题的能力,体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值.
教学重难点
及关键
1. 重点:正比例函数.
2. 难点:正比例函数性质的理解.
教学
准备
教师准备: 是否需要
课件
是
学生准备:
教学过程:
一、回顾交流,探索新知
【知识回顾】
在小学我们学过正比例关系,小学数学是这样陈述的:两种相关联的量,一种量变
化,另一种量也随着变化.如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫
做成正比例的量,它的关系叫做正比例关系,写成式子是 y
x
=k(一定),在小学 k 是大
于零的数.
问题探究 1:1996 年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环:4个月
零 1 周后,人们在 2.56 万米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到 10 千米)?
(2)这只燕鸥的行程 y(单位:千米)与飞行时间 x(单位:天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行 1 个半月的行程大约是多少千米?
问题探究 2:下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共
同点?
(1)圆的周长 L 随半径 r 的大小变化而变化:(L=2 r)
(2)铁的密度为 7.8g/m3,铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)的
大小变化而变化;(m=7.8V)
(3)每个练习本的厚度为 0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随
这些练习本的本数 n 的变化而变化;(h=0.5n)
(4)冷冻一个 0℃的物体,使它每分下降 2℃,物体的温度 T(单位:℃)随冷冻
时间 t(单位:分)的变化而变化;(T=-2t)
【特征归纳】正如 y=200x 一样,上述函数都是常数与自变量的乘积的形式.
【形成定义】一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其
中 k 叫做比例系数.
教师心得
二、范例点击,提高认知
【例 1】画出下列正比例函数的图象.
(1)y=2x (2)y=-2x
【教师活动】动手操作示范,并且引导学生进行比较(见课本图 14.2-1,图 14.2-2).
【观察与比较】
教师口述:请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的
变化规律.
填写你发现的规律:两图象都是经过原点的直线.函数 y=2x 的图象从左向右(上升),
经过第(一、三)象限;函数 y=-2x 的图象从左向右(下降),经过第(二、四)象限.
【学生活动】观察比较,寻求规律,总结方法.
三、随堂练习,巩固深化
课本 P112 练习.
【形成性质】 一般地,正比例函数的 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原
点的直线,我们称它为直线 y=kx.当 k>0 时,直线 y=kx 经过第一、三象限,从左向右
上升,即随着 x 的增大 y 也增大;当 k<0 时,直线 y=kx 经过第二、四象限,从左向右下
降,即随着 x 的增大反而减小.
【教师提问】经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图
象时,怎样画最简单?为什么?
【学生活动】回答教师提出的问题,并通过探讨,得到画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数 y=kx(k≠0)的图象.
四、随堂练习,消化理解
课本 P113 练习.
五、课堂总结,发挥潜能
1.正比例函数 y=kx 图象的画法:过原点与点(1,k)的直线即所求图象.
2.正比例函数的性质.(由学生归纳)
六、布置作业,专题突破
课本 P120 习题 14.2 第 1、2、3 题.
附:板书设计:
14.2.1 正比例函数
1.正比例函数的定义
2.正比例函数 y=kx(k≠0)的图像和性质、
3.正比例函数解析式的确定。
教后反思:
14.2.2 一次函数概念(第一课时)
教学内容 本课主要研究一次函数,了解一次函数的概念,感受从特殊到一般的数学思想
教学目标
1. 领会一次函数的概念,会从实际问题中建立一次函数的模型.
2. 经历探索一次函数的过程,感受一次函数的解析式的特征.
3. 培养数形结合的数学思想,体会一次函数在实际生活中的应用价值.
教学重难点
及关键
1.重点:一次函数的概念.
2.难点:从实际生活中建立一次函数的模型.
教学
准备
教师准备: 是否需要
课件
是
学生准备:
教学过程:
一、创设情境,揭示课题
问题思索 1:某登山队大本营所在地的气温为 5℃,海拔每升高 1km,气温下降 6℃,
登山队员由大本营向上登高 xkm 时,他们所在位置的气温是 y℃,试用解析式表示 y与 x
的关系.
【思路点拨】y 随 x 变化的规律是,从大本营向上当海拔加 xkm 时,气温从 5℃减少
6x℃,因此 y 与 x 的函数关系为 y=5-6x(或 y=-6x+5),当登山队员由大本营向上登高
0.5km 时,他们所在位置的气温就是 x=0.5 时函数 y=-6x+5 的值,即 y=2(℃).
【学生活动】合作探究,寻找解题途径,踊跃发言,发表各自看法.
问题思索 2:下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?这些函数有什么
共同点?
(1)有人发现,在 20~30℃时蟋蟀每分鸣叫次数 C 与温度 t(单位:℃)有关,即
C的值约是 t 的 7 倍与 35 的差;(C=7t-35)
(2)一种计算成年人标准体重 G(单位:千克)的方法是,以厘米为单位量出身高
值 h 减常数 105,所得差是 G 的值;(G=h-105)
(3)某城市市内电话的月收费额 y(单位:元)包括:月租费 22 元,拨打电话 x 分
的计时费按 0.01 元/分收取;(y=0.01x+22)
(4)把一个长 10cm,宽 5cm 的长方形的长减少 x,宽不变,长方形的面积 y(单位:
cm2)随 x 的值而变化.(y=-5x+50)
【教师活动】提出问题,引导学生思考.
【学生活动】独立思考,列出函数关系式,并进行比较,得到这一类型函数的共同
教师心得
特征:这些函数的形式都是自变量 x 的 k(常数)倍与一个常数的和.
【形成概念】一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,
当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
二、随堂练习,巩固深化
课本 P11.4 第练习 1,2,3 题.
三、课堂总结,发展潜能
1.y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)是一次函数.
2.一次函数包含了正比例函数,即正比例函数是一次函数在 b=0 时的特例.
四、布置作业,专题突破
选用课时作业设计.
附:板书设计:
14.2.2 一次函数的概念(1)
1、一次函数的概念
2、一次函数与正比例函数的关系
教后反思:
14.2.2 一次函数的图像(第二课时)
教学内容
本节课主要是在学生学习了函数图像的基础上,通过动手操作接受一次函数图像时直线这一事
实,体会“两点确定一条直线的方法”,向学生渗透数行结合的数学思想。
教学目标
1. 会画出一次函数的图象,并了解一次函数的性质.
2. 经历探索一次函数图象的过程,发展抽象的数学思维.
3. 培养学生良好的数学思维和与人合作交流的习惯,体会函数的应用价值.
教学重难点
及关键
1.重点:通过图象理解一次函数的性质.
2.难点:对一次函数增减性的认识
教学
准备
教师准备: 是否需要
课件
是
学生准备:
教学过程:
一、范例点击,实践操作
【例 2】画出函数 y=-6x,y=-6x+5,y=-6x-5 的图象(在同一坐标系内).
【问题牵引】
1.请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点,填出你的观察结果:这三个函
教师心得
数的图象形状都是直线,并且倾斜程度一致;函数 y=-6x 的图象经过(0,0);函数 y=-6x+5
的图象与 y 轴交于点(0,5);函数 y=-6x-5 的图象与 y 轴交点是(0,-5),它们分别
是由直线 y=-6x 分别平移而得到;比较三个函数解析式,试解释这是为什么?
2.猜想:联系上面例 2,考虑一次函数 y=kx+b 的图象是什么形状,它与直线 y=kx
有什么关系?
【学生活动】观察所画的三个函数图象,得出上述问题 1,2 的结论,并归纳出平
移法则如下:
一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线
y=kx 平移│b│个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移).
【例 3】画出函数 y=2x-1,当 y=-0.5x+1 的图象.
【学生活动】动手操作,画出例 3 所要求的函数图象.
二、合作学习,操作观察
【问题探究】
画出函数 y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1 的图象,由它们联想:一次函数解析
式 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)中,k 的正负对函数图象有什么影响?
【规则】当 k>0 时,直线 y=kx+b 由左至右上升;当 k<0 时,直线 y=kx+b 由左至右
下降.由此得出:一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)具有的性质.
【性质】当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大.
当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小.
三、随堂练习,巩固深化
课本 P117 练习.
四、课堂总结,发展潜能
1.一次函数 y=kx+b 图象的画法:在 y 轴上取(0,b)在 x 轴上取点(- b
k
,0),过
这两点的直线即所求图象.
2.一次函数 y=kx+b 的性质.(由学生自行归纳)
五、布置作业,专题突破
课本 P120 习题 14.2 第 4、5 题.
附:板书设计:
14.2.2 一次函数图像(2)
1.画一次函数的图象
2.一次函数的性质
3.一次函数 y=kx+b 的位置与 k,b 的符号之间的关系。
教后反思:
14.2.2 一次函数的解析式(第三课时)
教学内容 本节课主要内容是探究一次函数的解析式,介绍待定系数法求一次函数解析式的方法。
教学目标
1. 会用待定系数法求解一次函数的解析式.体会二元一次方程组的实际应用.
2. 经历探索求一次函数解析式的过程,感悟数学中的数与形的结合.
3. 培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯,形成良好的学习态度.
教学重难点
及关键
1.重点:待定系数法求一次函数解析式.
2.难点:解决抽象的函数问题.
教学
准备
教师准备: 是否需要
课件
是
学生准备:
教学过程:
一、范例点击,获取新知
【例 4】已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.
【思路点拨】求一次函数 y=kx+b 的解析式,关键是求出 k、b 的值,从已知条件可
以列出关于 k、b 的二元一次方程组,并求出 k、b.
【教师活动】分析例题,讲解方法.
【学生活动】联系已学习的二元一次方程组,以此为工具,解决问题,参与教师讲
教师心得
例,主动思考.
解:设这个一次函数的解析式为 y=kx+b.
依题意得: 3 5 2
4 9 1
k b k
k b b
解得
这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
【方法流程】
【教师活动】引导学生归纳总结知识的流程图,提高认识.
二、随堂练习,巩固深化
课本 P118 练习.
三、课堂总结,发展潜能
根据已知的自变量与函数的对应值,可以利用待定系数法确定一次函数解析式,具
体步骤如下:
1.写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,因此
叫做待定系数).
2.把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)代入函
数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.(有几个待定系数,就要有几个方程)
3.解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式.
四、布置作业,专题突破
课本 P121 习题 14.2 第 6,7,8 题.
附:板书设计:
14.2.2 一次函数(3)
1、用待定系数法求解一次函数的解析式
2、方法流程
教后反思:
14.2.2 一次函数的应用(第四课时)
教学内容 本节课主要内容是探索一次函数及其图像在实际问题中的应用
教学目标
1.能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题,会建构函数“模型”.
2 经历探索一次函数的应用问题,发展抽象思维..
3. 培养变量与对应的思想,形成良好的函数观点,体会一次函数的应用价值.
教学重难点
及关键
1.重点:一次函数的应用.
2.难点:一次函数的应用.
教学
准备
教师准备: 是否需要
课件
是
学生准备:
教学过程:
一、范例点击,应用所学
【例 5】小芳以 200 米/分的速度起跑后,先匀加速跑 5 分,每分提高速度 20
米/分,又匀速跑 10 分,试写出这段时间里她的跑步速度 y(单位:米/分)随跑步时间
x(单位:分)变化的函数关系式,并画出函数图象.
y= 20 200(0 5)
300 (5 15)
x x
x
【例 6】A 城有肥料 200 吨,B 城有肥料 300 吨,现要把这些肥料全部运往 C、D 两乡.从
A 城往 C、D 两乡运肥料的费用分别为每吨 20 元和 25 元;从 B 城往 C、D两乡运肥料的
费用分别为每吨 15 元和 24 元,现 C 乡需要肥料 240 吨,D 乡需要肥料 260 吨,怎样调
运总运费最少?
解:设总运费为 y 元,A 城往运 C 乡的肥料量为 x 吨,则运往 D 乡的肥料量为(200-x)
吨.B 城运往 C、D 乡的肥料量分别为(240-x)吨与(60+x)吨.y 与 x 的关系式为:y=20x+25
(200-x)+15(240-x)+24(60+x),即 y=4x+10040(0≤x≤200).
教师心得
由图象可看出:当 x=0 时,y 有
最小值 10040,因此,从 A 城运往 C
乡 0 吨,运往 D乡 200 吨;从 B 城
运往 C 乡 240 吨,运往 D 乡 60 吨,
此时总运费最少,总运费最小值为
10040 元.
拓展:若 A 城有肥料 300 吨,B
城有肥料 200 吨,其他条件不变,又
应怎样调运?
二、随堂练习,巩固深化
课本 P119 练习.
三、课堂总结,发展潜能
由学生自我评价本节课的表现.
四、布置作业,专题突破
课本 P120 习题 14.2 第 9,10,11 题.
附:板书设计:
14.2.2 一次函数(4)
1、一次函数的应用
教后反思:
八年级数学教案 备课人 程煦文
14.3 用函数观点看方程(组)与不等式
14.3.1 一次函数与一元一次方程(第 1 课时)
教学内容 一次函数与一元一次方程
教学目标
1. 理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。
2. 学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3. 经历方程与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
教学重点
一次函数与一元一次方程的关系的理解。
教学难点
一次函数与一元一次方程的关系的理解。
教学准备 教师准备 多媒体
学生准备 三角尺
教学过程
一、创设情境
前面我们学习了一次函数.实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依
存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系.这节课开
始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)
不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法.
二、探索新知
我们先来看下面的问题有什么关系:
(1)解方程 0202 x
(2)当自变量为何值时,函数 202 xy 的值为零?
提出问题:
①对于 0202 x 和 202 xy ,从形式上看,有什么相同和不同的地方?
②从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系?
③作出直线 202 xy
从数上看:
方程 2x+20=0 的解,是函数 y=2x+20 的值为 0 时,对应自变量的值
从形上看:函数 y=2x+20 与 x 轴交点的横坐标即为方程 2x+20=0 的解
关系:
由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以
转化为:当一次函数值为 0 时,求相应的自变量的值 从图象上看,这相当于已知直线 y=kx+b,确定它与 x
轴交点的横坐标值.
三、应用新知
例 1 一个物体现在的速度是 5m/s,其速度每秒增加 2m/s,再过几秒它的速度为 17m/s?
(用两种方法求解)
解法一:设再过 x 秒物体速度为 17m/s.
由题意可知:2x+5=17 解之得:x=6.
解法二:速度 y(m/s)是时间 x(s)的函数,
关系式为:y=2x+5.
当函数值为 17 时,对应的自变量 x 值可通过解方程 2x+5=17 得到 x=6
解法三:由 2x+5=17 可变形得到:2x-12=0.
从图象上看,直线 y=2x-12 与 x 轴的交点为(6,0).得 x=6.
例 2 利用图象求方程 6x-3=x+2 的解 ,并笔算检验
解法一:由图可知直线 y=5x-5 与 x 轴交点为(1,0),
故可得 x=1
我们可以把方程 6x-3=x+2 看作函数 y=6x-3 与 y=x+2 在何时两函数值相等,即可从两个函数图象上看出,
直线 y=6x-3 与 y=x+2 的交点,交点的横坐标即是方程的解.
教后反思:
解法二:
由图象可以看出直线 y=6x-3 与 y=x+2 交于点(1,3),所以 x=1
四、巩固新知
用不同种方法解下列方程:
1.2x-3=x-2. 2.x+3=2x+1.
五、归纳小结
本节课从解具体一元一次方程与当自变量 x 为何值时一次函数的值为 0,这两个问题入手,发现这两
个问题实际上是同一个问题,进而得到解方程 kx+b=0 与求自变量 x 为何值时,一次函数 y=kx+b 值为 0 的
关系,并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映.经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种
方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用
六、布置作业习题 14.3─1、2 题.
附:板书设计
教后反思
14.3.2 一次函数与一次不等
式(第 2 课时)
教学内容 一次函数与一次不等式
教学目标
理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题;
学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想;
经历不等式与函数关系问题的探究过程;学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
教学重点
一次函数与一元一次不等式的关系的理解
教学难点
利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集。
教学准备 教师准备 多媒体
学生准备 三角尺
教学过程
一、创设情境
通过上节课的学习,我们已经知道,“解一元一次方程 0 bax ”与“求当 x 为何值时, baxy
的值为 0 ”是同一个问题,现在我们来看看:
1.以下两个问题是不是同一个问题?
①解不等式: 042 x
②当为何值时,函数 42 xy 的值大于 0 ?
解(1)移项,得 2x > 4
系数化系数为 1,得 x >2
∴原不等式的解是: x>2
(2)令 y>0, 则 2x -4 > 0
解得 x>2
§14.3.1 一次函数与一元一次方程
一、一次函数与一元一次方程的内在联系
引例归纳 二、内在联系在图象上的反映
例 1,例 2 三、实际应用四、随堂练习五、归纳小结
六、布置作业
因此当 x > 2 时函数的值大于 0。
二、探索新知
2.你如何利用函数 42 xy 的图象来说明②?
我们先观察函数 y=2χ-4 的图象。可以看出:当χ>2 时,直线у=2χ-4 上的点全在χ轴上方,即这
时у=2χ-4>0。
由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解χ>2。
由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式 aχ+b>0”与“求自变量χ在什么范围内,一次函
数у=aχ+b 的值大于 0”之间的关系,实质上是同一个问题。
由于任何一元一次不等式都可以转化为 aχ+b>0 或 aχ+b<0(a、b 为常数,a≠0)的形式,所以
解一元一次不等式可以看作,当一次函数值大于或小于 0 时,求自变量相应的取值范围。
三、应用新知
例 1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等式解集?并直接写出相应不等式的解集?
(1) (2) y
(对每一题都能写出四种情况(大于 0,小于 0,大于等于 0,小于等于 0),让学生在充分理解的基础和写
出对应的 x 的取值范围,先小组内交流,然后反馈矫正。)
解:
(1)(略)
(2)由图象可以得出:
03x- 的解集是 3x ; 03x- 的解集是 3x ;
03x- 的解集是 3x ; 03x- 的解集是 3x
例 2 用函数图象的方法解不等式 5χ+4<2χ+10。
分析:引导学生通过画图、观察、寻求答案,并能通过两种不同解法,得到同一答案,探索思考总结归纳
出其特点。
解法一:原不等式可以化为 3x-6<0,画出直线 y=3x-6 的图象(如图甲),可以看出,当 x<2 时这条
直线上的点在 x 轴的下方.即这时 y=3x-6<0,所以不等式的解集为:x<2.
解法二:将原不等式的两边分别看作两个一次函数,画出直线 y=5x+4 与直线 y=2x+10(如图乙)可以
看出,它们交点的横坐标为 2.当 x>2 时,对于同一个 x,直线 y=5x+4上的点在直线 y=2x+10 上的相应点
的下方,这时 5x+4<2x+10,所以不等式的解集为:x<2.
y
x
y=-x+3
O
3
x-2
y=3x+6
O
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置高低! 虽然这种方法未必简单,但是从
函数角度看问题,能发现一次函数.一元一次不等式之间的联系,能直观地看出怎样用图形来表示不等式
的解.这种用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要.
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低!
四、巩固新知
1.求当自变量χ取何值时,函数у=3χ-9 的值满足以下条件?1)у=0; 2)у>0
2.利用图象解不等式 4χ+1>2χ-5
五、归纳小结 1.一次函数与一元一次不等式的联系。 2. 图象上的不等式
六、布置作业 习题 14.3—3、4、
附:板书设计 教后反思:
一次函数与二元一次方程(组)(第 3 课时)
教学内容 一次函数与二元一次方程(组)
教学目标
1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组;
2. 学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法;
3. 经历图象法解方程组的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想
教学重点
探索一次函数与二元一次方程(组)的关系
教学难点
二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解
教学准备 教师准备 多媒体
学生准备 三角尺
§14.3.2 一次函数与一元一次不等式
一、一次函数与一元一次不等式的联系
引例
二、图象上的不等式
例 1
例 2
三、随堂练习 1,2
四、归纳小结
五、布置作业
教学过程
一、创设情境
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代人法,也可以用加减法.我们
如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
二、探索新知
1、探究一次函数与二元一次方程的关系
填空:二元一次方程 3 5 8x y+ = 可以转化为y = ________。
思考:(1)直线 3 8
5 5y x= - + 上任意一点( ),x y 一定是方程 3 5 8x y+ = 的解吗?(2)是
否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式?
(3)是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解?
2、探究一次函数与二元一次方程组的关系
(1)在同一坐标系中画出一次函数 3 8
5 5y x= - + 和 2 1y x= - 的图象,观察两直线的交点坐
标是否是方程组
12
853
yx
yx 的解?并探索:是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元
一次方程组的解?
(2)当自变量x 取何值时,函数 3 8
5 5y x= - + 与 2 1y x= - 的值相等?这个函数值是什么?
这一问题与解方程组
12
853
yx
yx 是同一问题吗?
事实上,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如
12
5
8
5
3
12
853
xy
xy
yx
yx
三、应用新知
例 1.根据下列图象,你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?
(1)
(2)
5
8
5
3 xy
12 xyy
x
O 1
1
xy 2
1
y
x
O2
1
3 xy
(3)
解:(略)
例 2.利用函数解方程组:
723
02
yx
yx
解:由 02 yx 可得 xy 2
由 723 yx 可得
2
7
2
3 xy
在同一直角坐标系内作出一次函数 xy 2 的图象 1l 和
2
7
2
3 xy 的图象 2l ,如下图所示
观察下图,得 1l 和 2l 的交点为(1,2)
所以方程组
723
02
yx
yx 的解为
2
1
y
x
四、巩固新知
求直线 93 xy 与直线 72 xy 的交点坐标。你有哪些方法?与同伴交流,并一起分析各种方法的
利弊.
解法思路 l:画出图象找出交点,确定交点坐标近似值.(由于两直线斜率接近,交点的确定,因作图
误差可能有较大差别)
解法思路 2:由解方程组,得到交点坐标.(把形的问题归结为数的解决,便捷准确)
五、 归纳小结
(1)一次函数与二元一次方程(组)的 对应关系
①从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
②从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何
43
2 xy
y
x
O
4
4 xy
1l
y
x
O
2
2l
1
值。
(2)图象法解方程组的步骤:
①将方程组中各方程化为) baxy 的形式;
②画出各个一次函数的图象;
③由交点坐标得出方程组的解.
六、布置作业
1.习题 14.3 第 5、6、9、11 题.
2、已知直线 kxy 2 与直线 2 kxy 的交点横坐标为 2,求 k 的值和交点纵坐标.
3.补充题
A、B 两地相距 100 千米,甲、乙两人骑车同时分别从 A、B 两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,
则他们各自离 A 地的距离 s(千米)都是骑车时间 t(时)的一次函数.1 小时后乙距离 A 地 80 千米;2 小时后
甲距离 A 地 30 千米,问经过多长时间两人将相遇?
附:板书设计 一、探究一次函数与二元一次方程的关系
二、探究一次函数与二元一次方程组的关系
三、应用新知
例 1,例 2
四、巩固新知
五、 归纳小结
六、布置作业
教后反思
14.4 课题学习 选择方案(第 4 课时)
教学内容 用哪种灯省钱
教学目标 1、巩固一次函数知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力.
3、让学生认识数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
教学重点 1.能从实际问题情景中建立函数模型。
2.灵活运用数学模型解决用哪种灯省钱问题。
教学难点: 启发引导学生如何从一次函数的图象中收集、处理实际问题中的数学信息
教学准备 教师准备 多媒体
学生准备 三角尺
教学过程
一、情境引入
前面我们学习了有关一次函数的一些知识,认识了变量间的变化情况,利用函数观点把方程(组)、不等式
有机地统一起来,使我们解决实际相关问题时更方便了。通过下面几个专题的学习,同学们可以体会到如
何运用一次函数选择最佳方案,体会到数学与生活的联系非常紧密。
二、学以致用
例 1.小明家盖起了一座三层楼房,现正在装修,准备安装照明灯,他和他父亲一起去灯具店买灯具,灯
具店老板介绍说:
一种节能灯的功率是 10 瓦(即 0.01 千瓦)的,售价 60 元.一种白炽灯的功率是 60 瓦(即 0.06 千瓦)的,售价
为 3 元.两种灯的照明效果是一样的.使用寿命也相同(3000 小时以上)
父亲说:“买白炽灯可以省钱”.
而小明正好读八年级,他在心里默算了一下说:“还是买节能灯吧”.父子二人争执不下,如果当地电费
0.6 元/千瓦.时,请聪明的你帮助他们选择哪种灯可以省钱呢?
问题 1 节省费用的含义是什么呢?哪一种灯的总费用最少
问题 2 灯的总费用由哪几部分组成?
灯的总费用=灯的售价+电费
电费=0.6×灯的功率(千瓦)×照明时间(时)
问题 3 如何计算两种灯的费用?
设照明时间是 x 小时, 节能灯的费用 y1 元表示,白炽灯的费用 y2 元表示,则有:
y1 =60+0.6×0.01x;y2 =3+0.6×0.06x .
观察上述两个函数
若使用节能灯省钱,它的含义是什么?y1< y2
若使用白炽灯省钱,它的含义是什么?y1> y2
若使用两种灯的费用相等,它的含义是什么?? y1= y2
若 y1< y2 ,则有
60+0.6×0.01x <3+0.6×0.06x
解得:x>1900
即当照明时间大于 1900 小时,购买节能灯较省钱
若 y1 > y2,则有
60+0.6×0.01x >3+0.6×0.06x
解得:x<1900
即当照明时间小于 1900 小时,购买白炽灯较省钱.•
若 y1= y2,则有
60+0.6×0.01x =3+0.6×0.06x
解得:x=1900
即当照明时间等于 1900 小时,购买节能灯、白炽灯均可.
解: (略)
能否利用函数解析式和图象也可以给出解答呢?
解:设照明时间是 x 小时, 节能灯的费用 y1 元表示,白炽灯的费用 y2 元表示,则有:
y1 =60+0.6×0.01x; y2 =3+0.6×0.06x .
即: y1 =0.006x +60 y2 =0.036x + 3
由图象可知,当照明时间小于 1900 时, y2 y1,故
用节能灯省钱;当照明时间等于 1900 小时, y2=y1 购买节能灯、白炽灯均可.
方法总结
1、建立数学模型——列出两个函数关系式
2、通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围。
3、选择出最佳方案。
三、巩固练习
学校准备去白云山春游,甲、乙两家旅行社原价都是每人 60 元,,且都表示要优惠。甲旅行社表示全部 8
折收费,乙旅行社表示,全部 9 折收费,但同时免去 2 个老师的费用。
(1)请分别写出选择甲、乙两家旅行社的费用 Y(元)与人数 X(人)间的函数关系式,并在同一坐标系
中画出两函数的图象。
(2)根据图象判断组织多少人春游选择甲旅行社合算?
四、归纳小结 引导学生从以下 3 个方面进行小结,(1)本节课我们学习了哪些知识?(2)学习过程中
用了哪些数学方法?(3)解决调运问题时要注意什么?以培养学生的归纳、概括能力。
五、布置作业
某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料,在需要支付制版费 600 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提下,甲、
乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件,甲印刷厂提出:凡印刷数量超过 2000 份的,超过部分的印刷费
可按 9 折收费,乙印刷厂提出:凡印刷数量超过 3000 份的,超过部分印刷费可按 8 折收费。 根据印刷数
量大小,请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
附:板书设计 一、问题引入
二、学以致用
三、巩固练习
四、归纳小结
五、布置作业
教后反思:
y 2
y 1
0
71.4
60
1900
3
y
x
14.4 课题学习 选择方案(第 5 课时)
教学内容 怎样租车 怎样调水
教学目标 (1)认识数学是解决实际问题的重要工具。
(2)体会数学与生活的联系,了解数学的价值,增强学生对数学的理解和学好数学的信心 。
(3)熟练掌握一次函数与方程,不等式关系,有机地把各种数学模型通过函数统一起来使
用,提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力,进一步感受建立数学模型的
思想方法。
教学重点 1.建立函数模型。2.灵活运用数学模型解决怎样租车、怎样调水问题。
教学难点 运用一次函数知识解决实际问题
教学准备 教师准备 多媒体
学生准备 三角尺
教学过程
一、学以致用 问题 2;怎样租车
某学校计划在总费用 2300 元的限额内,利用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动,每辆汽车上至少
有 1 名教师。现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表 :
甲种客车 乙种客车
载客量(单位:人/辆) 45 30
租金 (单位:元/辆) 400 280
(1)共需租多少辆汽车?
(2)给出最节省费用的租车方案。
分析;
(1)要保证 240 名师生有车坐
(2)要使每辆汽车上至少要有 1 名教师
根据(1)可知,汽车总数不能小于____;根据(2)可知,汽车总数不能大于____。综合起来可
知汽车总数为 _____。
设租用 x 辆甲种客车,则租车费用 y(单位:元)是 x 的函数,即
y=400x+280(6-x)
化简为: y=120x+1680
讨论:
根据问题中的条件,自变量 x 的取值应有几种可能?
为使 240 名师生有车坐,x 不能 小于____;为使租车费用不超过 2300 元,X 不能超过____。综合
起来可知 x 的取值为____ 。
在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中的哪种方案?试说明理
由。
方案一:4 两甲种客车,2 两乙种客车
y1=120×4+1680=2160
方案二:
5 两甲种客车,1 辆乙种客车;
y2=120×5+1680=2280
应选择方案一,它比方案二节约 120 元。
问题 3 怎样调水
从 A,B 两水库向甲乙两地调水,其中甲地需水 15 万吨,乙地需水 13 万吨,A,B 两水库各可调水 14 万吨,
从 A 地到甲地 50 千米,到乙地 30 千米,从 B 地到甲地 60 千米,到乙地 45 千米。设计一个调运方案,使
得水的调运量(单位:万吨×千米)最小
甲 乙 总计
A x 14-x 14
B 15-x x-1 14
C 15 13 28
分析:首先应考虑到影响水的调运量的因素有两个,即水量(单位:万吨)和运程(单位:千米),水的调
运量是两者的乘积(单位:万吨·千米);其次应考虑到由 A、B 水库运往甲、乙两地的水量共 4 个量,即
A--甲,A--乙,B--甲,B--乙的水量,它们互相联系。
设从 A 水库调往甲地的水量为 x 吨,则有:
设水的运量为 y 万吨·千米,则有:
y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)
讨论:1)化简这个函数,并指出其中自变量 x 的取值应有什么限制条件。
(2)画出这个函数的图像。
(3)结合函数解析式及其图像说明水的最佳调运方案。水的最小调运量是多少?
(4)如果设其他水量(例如从 B 水库调往乙地的水量)为 x 万吨,能得到同样的最佳方案么?
(1)y=5x+1275 1≤x≤14
(2)图像如图
(3)最佳方案为:从 A 调往甲 1 万吨水, 调往乙 13 万吨水;从 B 调往甲 14 万吨水。
水的最小调运量为 1280 万吨·千米。
(4)最佳方案相同。
二、巩固练习 习题材 14。3 第 8 题
三、归纳小结 通过这节课的学习,你有什么收获?
四、布置作业 复习题材 14 第 12 题
附:板书设计 一、问题引入 四、归纳小结
二、学以致用 五、布置作业
三、巩固练习
教后反思:
课 题 §15.1.1 同底数幂的乘法 时 间
教学目标
理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通
过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到般再到
特殊的认知规律
教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围
教学难点 同底数幂的乘法法则的应用
课时分配 1 课时
教学过程
(一) 回顾幂的相关知识
an 的意义:
an 表示 n 个 a 相乘,我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂;a 叫做底
数,n 是指数.
(二) 创设情境,感觉新知
1.问题:一种电子计算机每秒可进行 1012 次运算,它工作 103 秒可进行多
少次运算?
2.学生分析:
3.得到结果:1012×103=
12 10
10)
个
(10 ×(10×10×10)=
15 10
10 10)
个
(10 =1015.
4.通过观察可以发现 1012、103 这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把
像 1012×103 的运算叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和
学习这样的运算──同底数幂的乘法.
(三) 自主研究,得到结论
1.学生动手:计算下列各式:
(1)25×22 (2)a3·a2 (3)5m·5n(m、n 都是正
整数)
2.引导学生:注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描
述.
3.得到结论:(1)特点:这三个式子都是底数相同的幂相乘.
相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两
个幂的指数的和.
(2)一般性结论:
am·an 表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:
am·an= ( )a a a
m个a
· ( )a a a
n个a
= a a a
(m+n)个a
=am+n 于是我们得到
am·an=am+n(m、n 都是正整数),即为:同底数幂相乘,底数不
变,指数相加
如:a3·a2、≠a3×2 a3·b3≠(ab)3+3 a2+a≠a2+1(3)分析:底数不
变,指数要降一级运算,变为相加.
底数不相同时,不能用此法则(两种情况除外)(1) (-a)2·a3
(2)22×4(可用法则)
(四) 巩固成果,加强练习
例 1:计算:
(1)x2·x5 (2)a·a6 (3)xm·x3m+1
例 2:(1)2×24×23 (2) am·an·ap (3)-x2·xn+1
(4)( x-y)3·(x-y) ·(y-x)2 (5)如 ax=12 ay=8 求 ax+y 的值
(五)课堂小结:
(1)am·an=am+n 中底数 a 可代表具体的数,也可取单项式或多项式.
(2)在三个或三个以上同底数幂相乘时,仍使用该法则。
(3)a=a1,(x+y)=(x+y)1 提醒学生不要漏掉这个指数 1。
(4)运用幂的运算法则时,应注意同底数,符号不同时,先确定符号。注
意与整数加减区别
练习:课本 P142 练习
教后反思:
湖城学校 吴振坤
课 题 §15.1.2 幂的乘方 时 间
教学目标
经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的
意义,发展推理能力和
有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解
决一些实际问题
教学重点 会进行幂的乘方的运算,幂的乘方法则的总结及运用。
教学难点 幂的乘方法则的推导过程及灵活应用。
课时分配 1 课时
教学过程
(一) 回顾同底数幂的乘法
am·an=am+n(m、n 都是正整数)
(二) 自主探索,感知新知
64 表示_________个___________相乘. (62)4 表示_________个
___________相乘.
a3 表示_________个___________相乘. (a2)3 表示_________个
___________相乘.
(三) 推广形式,得到结论
1.(am)n 表示_______个________相乘
=________×________×…×_______×_______
=__________
即 (am)n= ______________(其中 m、n 都是正整数)
2.通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
(四) 巩固成果,加强练习
例:计算:(1)(103)5 (2)[(
3
2 )3]4 (3)[(-6)3]4
(4)(x2)5 (5)-(a2)7 (6)-(as)3
练习:P143 练习
例:判断题,错误的予以改正。
(1)a5+a5=2a10 ( )
(2)(s3)3=x6 ( )
(3)(-3)2·(-3)4=(-3)6=-36 ( )
(4)x3+y3=(x+y)3 ( )
(5)[(m-n)3]4-[(m-n)2]6=0 ( )
【巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.】
(五) 新旧综合
在上节课我们讲到,同底数幂相乘在不同底数时有两个特例可以
进行运算,上节我们讲了一种情况:底数互为相反数,这节我们研
究第二种情况:底数之间存在幂的关系
例:计算 23×42×83 (可化成 23 x(22)2 x(23)3)
例:计算 (1) (x3)4·x2 (2)(x2)n-(xn)2 (3)[(x2)3]7
(4)如 xm=2 求 x3m 的值
(六)课堂小结:(1);幂的乘方(am)n=amn, (其中 m、n 都是正整
数)方法:底数不变指数相乘。
(2)这里的底数,指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或
多项式。
(3)幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是指数相
乘,一个是指数相加。
(4)注意公式的逆用。如 a3m=(am)3
(七)作业 P148 习题集 15.1 第 1,2 题
湖城学校 吴振坤
课 题 §15.1.3 积的乘方 时 间
教学目标
经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力.学习积的乘方的
运算法则,提高解决问题的能力.进一步体会幂的意义.理解积的乘方运算
法则,能解决一些实际问题.
教学重点 积的乘方运算法则及其应用. 幂的运算法则的灵活运用.
教 学 难
点
积的乘方推导过程的理解和灵活运用
课时分配 1 课时
教学过程
(一) 回顾旧知识
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方
(二) 创设情境,引入新课
1. 问题:已知一个正方体的棱长为 2×103cm,你能计算出它的体积是多少
吗?
2. 学生分析(略)
3. 提问:
体积应是 V=(2×103)3cm3 ,结果是幂的乘方形式吗?底数是 2 和 103
的乘积,虽然 103 是幂,但总体来看,它是积的乘方。积的乘方如何运算呢?
能不能找到一个运算法则?有前两节课的探究经验,请同学们自己探索,发
教后反思:
现其中的奥秒.
(三) 自主探究,引出结论
1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( )
(2)(ab)3=______=_______=a( )b( )
(3)(ab)n=______=______=a( )b( )(n 是正整数)
2.分析过程:
(1)(ab)2 =(ab)·(ab)= (a·a)·(b·b)= a2b2,
(2)(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3;
(3)(ab)n= ( ) ( ) ( )ab ab ab
n个ab
= ( )a a a
n个a
· ( )b b b
n个b
=anbn
3.得到结论:
积的乘方:(ab)n=an·bn(n 是正整数)
把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于
幂的乘积.
4.积的乘方法则可以进行逆运算.即:
an·bn=(ab)n(n 为正整数)
an·bn= ( )a a a
n个a
· ( )b b b
n个b
──幂的意义
= ( ) ( ) ( )a b a b a b
n个(a b)
──乘法交换律、结合律
=(a·b)n ──乘方的意义
同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.
如:32×42=(3×4)2=122=144 又如;0.1256×86=(1/8×6)6=1
(四).范例学习,应用所学
(1)(2b)3
(2)(2×a3)2
(3)(-2x3)4
(4)-a3.a4.a+(a2)4+(-2a4)2
( 五)课堂小节(强调运用公式时注意符号
(六) 布置作业
1:课本 p148 习题 15.1 第 3,4 题。
湖城学校 吴振坤
课 题 § 15.1.4 整 式 的 乘
法 时 间
教学目标
探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则,
并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、
主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力
教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则
教学难点 多项式与多项式相乘的法则
课时分配 3 课时
教学过程
第一课时:
(一)知识回顾:回忆幂的运算性质:
am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m,n 都是正整数)
(二)创设情境,引入新课
1.问题:光的速度约为 3×105 千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约
是 5×102 秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?【1】
2.学生分析解决:(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107【2】
3.问题的推广:如果将上式中的数字改为字母,即 ac5·bc2,如何计算?【3】
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
(三)自己动手,得到新知
1.类似地,请你试着计算:(1)2c5·5c2;(2)(-5a2b3)·(-4b2c)【4】
2.得出结论:单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于
教后反思:
只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(四)巩固结论,加强练习
例:计算: (-5a2b)·(-3a) (2x)3·(-5xy2)
(-2x2y)3.(-1/8xy)
( 五) 小结:本节内容是单项式乘单项式,重点是对运算法则的理解应用. 应
用法则时注意使用乘法交换律和幂运算规律凤及符号的确定。
(七) 练习:P145 练习 1,2
第二课时:
(一) 知识回顾:
单项式乘以单项式的运算法则
(二) 创设情境,提出问题
1.问题:三家连锁店以相同的价格 m(单位:元/瓶)销售某种商品,它们在一个
月内的销售量(单位:瓶),分别是 a,b,c。你能用不同方法计算它们在这
个月内销售这种商品的总收入吗?
2.学生分析:【1】
3. 得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量,再求总收入,
即总收入为:________________
另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和
即总收入为:________________
所以:m(a+b+c)= ma+mb+mc
4.提出问题:根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?
(三) 总结结论【2】
单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相
加。
即:m(a+b+c)= ma+mb+mc
(四) 巩固练习
例: 2a2·(3a2-5b) ababab 2
1)23
2( 2 ) (-4x2) ·(3x+1);
练习:P146 练习 1,2
(五)附加练习
1.若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则 m-n 的值为______
2.计算:(a3b)2(a2b)3
3. 计算:(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)
4. 计算: )3
423
2()2
5-( 2 yxyxyxy
5.计算: )22
7(6)5)(3-( 2222 yxyxyxxy
6 已知 ,3,2 ba 求 )232()(3 2222 aabaabababbaab
的值
7.解不等式: 12)23()1(2 22 xxxxxx
8.若 mxx 32 2 与 22 mxx 的和中不含 x 项,求 m 的值,并说明
不论 x 取何值,它的值总是正数
(六)小结:单项式与多项式相乘,应注意“不漏乘”和“符号”。运算时各项
连同它的符号一起运算。
(七)作业课本 149 页习题 15.1 第 7 题
教后反思:
第三课时:
(一) 回顾旧知识
单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则
(二) 创设情境,感知新知
1.问题:为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长 a 米,宽 m 米的长方形绿
地增长 b 米,加宽 n 米,求扩地以后的面积是多少?
2. 提问:用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?
3.学生分析
4.得出结果:方法一:这块花园现在长(a+b)米,宽(m+n)米,因而面积为
(a+b)(m+n)米 2.
方法二:这块花园现在是由四小块组成,它们的面积分别为:
am 米 2、an 米 2、bm 米 2、bn 米 2,故这块绿地的面
积为(am+an+bm+bn)米 2.
(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面
积,
所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(三) 学生动手,推导结论
1. 引导观察:等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ,把
(m+n)看成一个整体,那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转
化为单项式与多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学
们试着做一做.
2.学生动手:
3. 过程分析:(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n) ----单×多
=am+an+bm+bn ----单×多
4.得到结论:
多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加.
(四) 巩固练习
例: )32)(2( 22 yxyxyx )65)(52( 2 xxx
练习: )yxy-y)(x(x y)-8y)(x-(x 2)1)(x(3x 22
P148 练习 1
例:先化简,再求值:(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中 a=-8,b=-6
练习:化简求值: )32)(12()1)(1(3)3)(2( xxxxxx ,
其中 x=
5
4
一块长 m 米,宽 n 米的玻璃,长宽各裁掉 a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻
璃与台面一样大小),问台面面积是多少?
(五) 深入研究
1. 计 算 : ①(x+2)(x+3) ; ②(x-1)(x+2) ; ③(x+2)(x-2) ; ④(x-5)(x-6) ;
⑤(x+5)(x+5);⑥(x-5)(x-5);并观察结果和原式的关系
(六)课堂小结:多项式与多项式相乘要“依次”进行,不重复不漏成,在相
乘时每一项都包括前面符号。
(七)布置作业:课本 P149 习题 15.1 第 9,10 题。
湖城学校 吴振坤
课 题 § 15.2.1 平 方 差 公
式 时 间
教学目标 经历探索平方差公式的过程.会推导平方差公式,并能运用公式进
行简单的运算,培养学生观察、归纳、概括的能力.
教学重点 平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征,灵活应用
平方差公式.
教学难点 准确把握运用平方差公式的特征
课时分配 1 课时
教学过程
(一) 学生动手,得到公式
1. 计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)
2.提出问题:
观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什
教后反思:
么规律?
2. 特点:
等号的一边:两个数的和与差的积,等号的另一边:是这两个
数的平方差
3. 再试一试:
【学生自己出相似的题目加以验证】
4. 得到结论
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
即 (a+b)(a-b)=a2-b2
(二) 熟悉公式
1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式?
)32)(32( baba )32)(32( baba
)32)(32( baba
)32)(32( baba ))(( cbacba
))(( cbacba
3. 认清公式:
(1)在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是 a,变号的
是 b.
(2)公式中的 a 与 b 可代表具体的数,也可是单项式或多项式。
(3)只有符合平方差公式的形式才可以用,否则不行。如(x+y)
(-x-y)
(三) 运用公式
1. 直接运用
例:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
2. 简便计算
例:(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
3. 练习: P153 练习 1,2
)2)(2( xyyx )25)(52( xx
)25.0)(5.0)(5.0( 2 xxx
22 )6()6( xx 100.5×99.5 99×101×10001
(四) 课堂小结
(1) 什么叫平方差公式?它有什么特征?
(2) 在应用平方差公式时,应注意什么?
(五)作业:课本 P156 习题 15.2 第 1.2 题。
湖城学校 吴振坤
课 题 §15.2. 2 完全平方
公式 时 间
教学目标 完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视学生
对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.
教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用
教学难点 准确把握完全平方公式特征和灵活应用
课时分配 1 课时
教学过程
第一课时
(一) 提出问题,学生自学
1.问题:根据乘方的定义,我们知道:a2=a·a,那么(a+b)2 应该写成什么
样的形式呢?(a+b)2 的运算结果有什么规律?计算下列各式,你能
发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______; (m+2)2=_______;
教后反思:
(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________; (m-2)2=_______;
2.学生探究
3.得到结果:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1
(m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4
(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1
(m-2)2=(m-2)(m-2=m2-4m+4
4.分析推广:结果中有两个数的平方和,而 2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是
两个数乘积的二倍。(1)(2)之间只差一个符号。
推广:计算(a+b)2=_____ ___ (a-b)2=_____ ___
(二) 得到公式,分析公式
1.结论: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2
倍.
2. 认清公式:(1)公式左边必须是一个二项式的平方,这个二项式可以加,也
可以减,而右边必须是左边这个二项式中每一项平方和,加上(或减去)这二
项乘积的 2 倍。
(2)在运用公式时,别把乘积的 2 倍这一项弄丢。如(m-n)2 错写成=m2+n2
3.几何分析:
图(1),可以看出大正方形的边长是 a+b,它是由两个小正方形和两个矩形组成,
所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.
(三) 运用公式
1 应用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2 (2)(y- 1
2
)2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)
2
练习:P155 练习 1,2
2 简便计算
例:运用完全平方公式计算:
(1)1022 (2)992
练习:计算: 50.012 49.92
附加练习:
计算: 2)4( yx 222 )43( cabba x5( )2=
4210 yxy
)3)(3( baba 2)1( xx 2)1( xx
在下列多项式中,哪些是由完全平方公式得来的?
442 xx 2161 a 12 x 22 yxyx
22
4
139 yxyx
3 公式的灵活运用
借助公式(a±b) 2=a2 ±2ab+b2 可以变形 a2+b2=(a±b)2 ±2ab.如:已知
a+b=5,ab=3 求 a2+b2 的值
(四)小结:完全平方公式的结构特征
公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左
边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍.
(五)作业课本 P156 页习题 15.2 第 3,4,8.9 题
15.3.1 同底数幂的除法
教学目标
(一)教学知识点
1.同底数幂的除法的运算法则及其应用.
2.同底数幂的除法的运算算理.
(二)能力训练要求
1.经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程,会进行同底数幂的除法运算.
2.理解同底数幂的除法的运算算理,发展有条理的思考及表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.经历探索同底数幂的除法运算法则的过程,获得成功的体验,积累丰富的数学经验.
2.渗透数学公式的简洁美与和谐美.
教学重点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.
教学难点
教后反思:
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.
教学方法
探索讨论、归纳总结的方法.
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]出示投影片
1.叙述同底数幂的乘法运算法则.
2.问题:一种数码照片的文件大小是 28K,一个存储量为 26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少
张这样的数码照片?
[生]1.同底数幂相乘,指数相加,底数不变.即:am·an=am+n(m、n 是正整数).
2.移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致,所以要先统一单位.移动存储器的容量为 26×
210=216K.所以它能存储这种数码照片的数量为 216÷28.
[生]216、28 是同底数幂,同底数幂相除如何计算呢?
[师]这正是我们这节课要探究的问题.
Ⅱ.导入新课
[师]请同学们做如下运算:
1.(1)28×28 (2)52×53
(3)102×105 (4)a3·a3
2.填空:
(1)( )·28=216
(2)( )·53=55
(3)( )·105=107
(4)( )·a3=a6
[生]1.(1)28×28=216
(2)52×53=55
(3)102×105=107
(4)a3·a3=a6
2.除法与乘法两种运算互逆,要求空内所填数,其实是一种除法运算,所以这四个小题等价于:
(1)216÷28=( )
(2)55÷53=( )
(3)107÷105=( )
(4)a6÷a3=( )
再根据第 1 题的运算,我们很容易得到答案:(1)28;(2)52;(3)102;(4)a3.
[师]其实我们用除法的意义也可以解决,请同学们思考、讨论.
[生](1)216÷28
(2)55÷53=
(3)107÷105
(4)a6÷a3=
[师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系?
(学生以小组为单位,展开讨论,教师可深入其中,及时发现问题)
[生甲]我们可以发现同底数幂相除,如果还是幂的形式,而且这个幂的底数没有改变.
[生乙]指数有所变化.(1)8=16-8;(2)2=5-3;(3)2=7-5;(4)3=6-3.所以商的指数应该等于被除
数的指数减去除数的指数.
[生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似.相同之处是底数不变.不同之处是
除法是指数相减,而乘法是指数相加.
[生丁]太对了.那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为:同底数幂相除,底数不变,指数相减.即:
am÷an=am-n.
[师]同学们总结得很好.但老师还想提一个问题:对于除法运算,有没有什么特殊要求呢?
[生]噢,对了,对于除法运算应要求除数(或分母)不为零,所以底数不能为零.
[师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则:
方法一:am÷an= =am-n
方法二:根据除法是乘法的逆运算
∵am-n·an=am-n+n=am
∴am÷an=am-n.
要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
即:am÷an=am-n(a≠0,m,n 都是正整数,并且 m>n)
例题讲解:(出示投影片)
1.计算:
(1)x8÷x2 (2)a4÷a (3)(ab)5÷(ab)2
2.先分别利用除法的意义填空,再利用 am÷an=am-n 的方法计算,你能得出什么结论?
(1)32÷32=( )
(2)103÷103=( )
(3)am÷an=( )(a≠0)
1.解:(1)x8÷x2=x8-2=x6.
(2)a4÷a=a4-1=a3.
(3)(ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
2.解:先用除法的意义计算.
32÷32=1 103÷103=1 am÷am=1(a≠0)
再利用 am÷an=am-n 的方法计算.
32÷32=32-2=30
103÷103=103-3=100
am÷am=am-m=a0(a≠0)
这样可以总结得 a0=1(a≠0)
于是规定:
a0=1(a≠0)
即:任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.
[生]这样的话,我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到:
am÷an=am-n(a≠0,m、n 都是正整数,且 m≥n).
[师]说得有理.下面请同学们完成一组闯关训练,看哪一组完成得最出色.
Ⅲ.随堂练习
课本练习.
让学生独立运算,然后交流计算心得,从而达到熟悉运算法则的目的.
Ⅳ.课时小结
这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算,揭示了同底数幂的除法的运算规律,并能运用运算
法则解决简单的计算问题,积累了一定的数学经验.
Ⅴ.课后作业
板书设计
§15.4.2.1 整
式的除法(一)
教学目标
(一)教学知识点
1.单项式除以单项式的运算法则及其应用.
2.单项式除以单项式的运算算理.
§15.4.1 同底数幂的除法
一、1.am·an=am+n(m、n 是正整数)
2.计算(1)28×28 (2)52×53
(3)102×105 (4)a3·a3
3.填空:( )·28=216→216÷28=( )
二、同底数幂的除法运算法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
即:am÷an=am-n(a≠0,m、n 都是正整数且 m≥n)
规定:a0=1 (a≠0)
三、应用
[例 1](略) [例 2](略)
教后反思:
(二)能力训练要求
1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程,会进行单项式与单项式的除法运算.
2.理解单项式与单项式相除的算理,发展有条理的思考及表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中,获得成功的体验,积累研究数学问题的经验.
2.提倡多样化的算法,培养学生的创新精神与能力.
教学重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用.
教学难点
探索单项式与单项式相除的运算法则的过程.
教学方法
自主探索法.
有同底数幂的除法的研究基础,学生可以用已有的知识与数学经验,自主探索得出单项式与单项式相
除的运算法则,并能用息的语言有条理地表达及应用.
教具准备
多媒体课件.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]做多媒体课件演示
问题:木星的质量约是 1.90×1024 吨.地球的质量约是 5.08×1021 吨.你知道木星的质量约为地球
质量的多少倍吗?
[生]这是除法运算,木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
继续播放:
讨论:(1)计算(1.90×1024÷(5.98×1021).说说你计算的根据是什么?
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?
8a3÷2a;5x3y÷3xy;12a3b2x3÷3ab2.(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?
Ⅱ.导入新课
[师]观察讨论(2)中的三个式子是什么样的运算.
[生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算.
[师]前一节我们学过同底数幂的除法运算,同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解
决“讨论”中的问题呢?
(学生以小组为单位进行探索交流,教师可参与到学生的讨论中,对遇到困难的同学及时予以启发和
帮助)
讨论结果展示:
可以从两方面考虑:
1.从乘法与除法互为逆运算的角度.
(1)我们可以想象 5.98×1021·( )=1.90×1024.根据单项式与单项式相乘的运算法则:单项式与单
项式相乘,是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变作为积的因式,可以继
续联想:所求单项式的系数乘以 5.98等于 1.90,所以所求单项式系数为 1.90÷5.98≈0.318,所求单项式
的幂值部分应包含 1024÷1021 即 103,由此可知 5.98×1021·(0.318×103)=1.90×1024.所以(1.90×1024)
÷(5.98×1021)=0.38×103.
(2)可以想象 2a·( )=8a3,根据单项式与单项式相乘的运算法则,可以考虑:8÷2=4,a3÷a=a2 即
2a·(4a2)=8a3.所以 8a3÷2a=4a2.
同样的道理可以想象 3xy·( )=6x3y;
3ab2·( )=12a3b2x3,考虑到 6÷3=2,x3÷x=x2,y÷y=1;12÷3=4,a3÷a=a2,b2÷b2=1.所以得
3xy·(2x2)=6x3y;3ab2·(4a2x3)=12a3b2x3.所以 6x3y÷3xy=2x2;12a3b2x3÷3ab2=4a2x3.
(用多媒体课件播放,帮助学生更直观地理解算理)
2.还可以从除法的意义去考虑.
(1)(1.90×1024)÷(5.98×1021)=
24 24
21 21
1.90 10 1.90 10
5.98 10 5.98 10
=0.318×103.
(2)8a3÷2a=
3 38 8
2 2
a a
a a
=4a.
6x3y÷3xy=
3 36 6
3 3
x y x y
xy x y
=2x2.
12a3b2x3÷3ab2=
3 2 3 3 2
2 2
12 12
3 3
a b x a b
ab a b
·x3=4a2x3.
上述两种算法有理有据,所以结果正确.
[师]请大家考虑运算结果与原式的联系.
[生甲]观察上述几个式子的运算,它们有下列共同特征:
(1)都是单项式除以单项式.
(2)运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则
连同它的指数一起作为商的一个因式.
(3)单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.
[生乙]其实单项式除以单项式可以分为系数相除;同底数幂相除,只在被除式里含有的字母三部分运
算.
[师]同学们总结得很好.能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则,而且能抓住法则的
实质所在,这是数学能力的提高与体现,老师为你们骄傲.下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则
解决一些计算问题,进一步体会运算法则的实质所在.
1.例:计算
(1)28x4y2÷7x3y
(2)-5a5b3c÷15a4b
(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3
(4)5(2a+b)4÷(2a+b)2
分析:(1)、(2)直接运用单项式除法的运算法则;(3)要注意运算顺序:先乘方,再乘除,再加减;
(4)鼓励学生悟出:将(2a+b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算.
解:(1)28x4y2÷7x3y
=(28÷7)·x4-3·y2-1
=4xy.
(2)-5a5b3c÷15a4b
=(-5÷15)a5-4b3-1c
=- 1
3
ab2c.
Ⅲ.随堂练习
a.课本 P189 练习 1、2.
1.解:(1)10ab3÷(-5ab)
=[10÷(-5)]·a1-1·b3-1
=-2b2.
(2)-8a2b3÷6ab2
=(-8÷6)a2-1b3-2
=- 4
3
ab.
2.解:
b.月球距离地球大约 3.84×105km,一架飞机的速度约为 8×102km/h.如果乘坐此飞机飞行这么远
的距离,大约需要多少时间?
答案:(3.84×105)÷(8×102)=480(h)=20(天).即如果乘坐此飞机到月球上去旅行的话,大约
需要 20 天才能到.
Ⅳ.课时小结
1.单项式的除法法则是_________________.
2.应用单项式除法法则应注意:
①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;
(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3
=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3
=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3
=(-56÷14)·x7-4·y5-3
=-4x3y2.
(4)5(2a+b)4÷(2a+b)2
=(5÷1)(2a+b)4-2
=5(2a+b)2
=5(4a2+4ab+b2)
=20a2+20ab+5b2
(3)-21x2y4÷(-3x2y3)
=[-21÷(-3)]x2-2y4-3
=7y.
(4)(6×108)÷(3×105)
=(6÷3)108-5
=2×103.
②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的
指数不小于除式中同一字母的指数;
③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;
④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.
Ⅴ.课后作业
1.课本 P191 习题 15.4─2、4、5 题.
2.预习“多项式与单项式的除法.”
Ⅵ.活动与探究
已知多项式 A=1343x-258,B=x2+5x-1,C=2x3-10x2+51x-259,D=2x5-x3+6x2-3x+1,你能用符号和加、
减、乘、除等运算符号把它们连结起来吗?
过程:从多项式的次数上去考查,发现 B 和 C 的次数之和等于 D 的次数,因此尝试计算 B×C,而后
再与 D 作比较,可以发现 A、B、C、D 的联系.
因为 B×C=2x5-x3+6x2-1346x+259
所以 B×C+A=2x5-x3+6x2-3x+1=D.
结果:D=B×C+A.
板书设计
§15.4.2.1 整式的除法(一)
一、(1.90×1024)÷(5.98×1021)=(1.90÷5.98)·(1024÷1021)=0.318×103
8a3÷2a=(8÷2)·(a3÷a)=4a2
6x3y÷3xy=(6÷3)·(x3÷x)·(y÷y)=2x2
12a3b2x3÷3ab2=(12÷3)·(a3÷a)·(b2÷b2)·x3=4a2x3.
二、单项式除以单项式的运算法则.
1.运算法则:
2.注意事项:
三、例:(略) 练习:(略)
教后反思:
§15.4.3.2 整式的除法
(二)
教学目标
(一)教学知识点
1.多项式除以单项式的运算法则及其应用.
2.多项式除以单项式的运算算理.
(二)能力训练要求
1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,会进行多项式除以单项式的除法运算.
2.理解多项式除以单项式的除法算理,发展有条理地思考及其表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,享受成功的喜悦,积累丰富的数学经验.
2.鼓励算法多样化,培养学生的创新能力.
教学重点
多项式除以单项式的运算法则的探究及其应用.
教学难点
探究多项式除以单项式的运算法则的过程.
教学方法
自主探索法
启发学生凭借已有的知识和数学经验,通过类比与转化,自主探索多项式除以单项式的运算法则及应
用,并能用语言有条理地叙述与表达.
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
出示投影片
1. 任意给一个非零数,按下列程序计算下去,写出输出结果.
2.计算下列各式,说说你是怎样计算的.
(1)(am+bm)÷m
(2)(a2+ab)÷a
(3)(4x2y+2xy2)÷2xy
[师]同学们可以任意给一个非零数,体会程序的思想及实质.
[生]我输入 2,按下列程序操作可输出 2.程序:m→m2→m2+m→m+1→m.
如果 m=2,则 2→4→6→3→2.
如果 m=3,则 3→9→12→4→3.
如果 m=-2,则-2→4→2→-1→-2.
[师]为什么按上述程序输入 m 的值是几,输出的也是几?你能用算式说明其中的道理吗?
[生]上面的程序可以用一个算式表示,即:(m2+m)÷m-1,而算式中(m2+m)÷m是多项式除以单
项式,这是个新知识,需要研究.
Ⅱ.导入新课
1.探究多项式除以单项式的运算法则.
[师]今天,我们共同探索多项式除以单项式的运算法则及算理,凭已有的数学经验,请同学们尝试完
成第 2 题及(m2+m)÷m,并交流计算经验与心得.
[生甲]根据除法的意义,我认为可以做如下运算:
(1)(am+bm)÷m= am bm am bm
m m m
=a+b.
(2)(a2+ab)÷a=
2 2a ab a ab
a a a
=a+b.
(3)(4xy+2xy)÷2xy=
2 2 2 24 2 4 2
2 2 2
x y xy x y xy
xy xy xy
=2x+y.
(m2+m)÷m-1=
2m m
m
-1=
2m
m
+ m
m
-1=m+1-1=m.
[生乙]对于这几个式子的运算,我认为还可以考虑利用乘法和除法互为逆运算得出.即要想求
(am+bm)÷m 是多少,需要求一个多项式,使它与 m 的积是 am+bm.即( )·m=am+bm.逆用乘法的
分配律可以得出(a+b)m=am+bm,所以,(am+bm)÷m=a+b.
同理可得:
(2)(a+b)a=a2+ab 所以(a2+ab)÷a=a+b.
(3)(2x+y)·2xy=4x2y+2xy2.
所以(4x2y+2xy2)÷2xy=2x+y.
[师生共析]从以上两位同学的分析中,我们不难得出:
(1)(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b
(2)(a2+ab)÷a=a2÷a+ab÷a=a+b.
(3)(4x2y+2xy2)÷2xy=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy
=2x+y.
于是,你能发现什么规律呢?
[生甲]多项式除单项式可以转化为单项式除以单项式.
[生乙]而且应该是多项式的每一项除以除数才行,还得注意每项前面的符号.
[师]你能不能说出多项式除以单项式的运算法则呢?
[生]多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得商相加.
2.应用法则,巩固夯实.
[师]下面请大家利用多项式除以单项式的运算法则解决一些计算问题.
(出示投影片)
[例 1]计算:
(1)(12a3-6a3+3a)÷3a
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
分析:1.多项式除以单项式,被除式有几项,商就有几项,不可丢项,比如容易丢掉与除数相同的
项;2.可以利用乘法与除法互为逆运算,检验结果是否正确;3.要求学生能说出每一步运算的依据,培
养学生言之有理,言之有据的好习惯;3.注意运算顺序,把计算结果书写完整.如(3)题应先化简括号
内的算式,然后进行多项式除以单项式的运算.
解:(1)(12a3-6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1.
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
=-3x2y2+5xy-y.
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8y)÷2x
=(x2-8x)÷2x
= 1
2
x-4.
[例 2]化简求值:
(1)( 3
4
a4b7+ 1
2
a3b8- 1
9
a2b6)÷(- 1
3
ab3)2,其中 a= 1
2
,b=-4;
(2)(m2-6mn+9n2)÷(m-3n)-(4m2-9n2)÷(2m-3n),其中 m=-3,n=- 1
3
.
分析:第(1)题先简化除式,再运用多项式除以单项式的法则运算.第(2)题注意逆用完全平方差
公式和平方差公式进行计算.
解答:(1)原式=( 3
4
a4b7+ 1
2
a3b8- 1
9
a2b6)÷( 1
9
a2b6)
= 3
4
a4b7÷( 1
9
a2b6)+ 1
2
a3b8÷( 1
9
a2b6)- 1
9
a2b6÷( 1
9
a2b6)
= 27
4
a2b+ 9
2
ab2-1.
当 a= 1
2
,b=-4 时,
原式= 27
4
×( 1
2
)2×(-4)+ 9
2
× 1
2
×(-4)2-1
= 27
4
-+36-1=28 1
4
.
(2)原式=(m-3n)2÷(m-3n)-[(2m+3n)(2m-3n)]÷(2m-3n)
=m-3n-(2m+3n)=-m-6n.
当 m=-3,n=- 1
3
时,-m-6n=-(-3)-6×(- 1
3
)=5.
方法总结:化简求值这类题,一定要先化简,再代值计算,不可直接代值计算.
Ⅲ.随堂练习
课本 P190 练习:
(学生板演后,评析)
解:(1)(6xy+5x)÷x
=6xy÷x+5x÷x
=6y+5.
(2)(15x2y-10xy2)÷5xy
=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy
=3x-2y.
Ⅳ.课时小结
[师]学习多项式除以单项式的运算后,你有何感想?
[生甲]多项式除以单项式是通过转化成单项式除单项式的运算实现的.由此,我进一步体会到温故知
新,转化思想的重要性.
[生乙]根据乘法和除法互为逆运算,我认为计算完后,可以用商与除数的乘积结果与被除数进行比较
的方法来检验.防止丢项或符号错误等.
Ⅴ.课后作业
课本 P191 习题 15.4─3、6、8 题.
Ⅵ.活动与探究
已知多项式 x+ax+bx+c 能够被 x2+3x-4 整除.
(1)求 4a+c 的值.
(2)求 2a-2b-c 的值.
(3)若 a、b、c 均为整数,且 c≥a>1,试确定 a、b、c 的大小.
解:令 x3+ax2+bx+c=(x2+3x-4)(x+m)
=x3+(m+3)x2+(3m-4)x-4m.
∴
3 ,
3 4 ,
4 .
m a
m b
m c
∴(1)4a+c=4(m+3)+(-4m)=12;
∴(2)2a-2b-c=2(m+3)-2(3m-4)-(-4m)=14;
板书设计
(3)(8a2-4ab)÷(-4a)
=8a2÷(-4a)-4ab÷(-4a)
=-2a+b.
(4)(25x3+15x2-20x)÷(-5x)
=-5x2-3x+4.
(3)消去 m,得 c=-4(a-3),
∵c≥a>1,∴-4(a-3)≥a>1,即 1a>b
结果:(1)4a+c=12 (2)2a-2b-c=14 (3)
c>a>b
§15.4.1 提公因式法
教学目标
(一)教学知识点
1.因式公解、公因式.
2.用提公因式法分解因式.
(二)能力训练要求
1.使学生了解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.
2.了解公因式概念和提取公因式的方法.
3.会用提取公因式法分解因式.
(三)情感与价值观要求
在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维,渗透化归的思想方法.
教学重点
会用提公因式法分解因式.
教学难点
如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.
教学方法
引导发现法.
§15.4.3.2 整式的除法(二)
一、探究多项式除以单项式的运算法则:
2
2
2 2
1.( )
2.( )
3.( )
4.(4 2 ) 2
m m m
am bm m
a ab a
x y xy xy
方法一:乘法与除法互为逆运算.除法→乘法.
方法二:除法的意义
多项式÷单项式→单项式÷单项式
多项式除以单项式的运算法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以
这个单项式,再把所得商相加.
二、应用举例.例 1(略) 例 2(略)
三、随堂练习
四、小结
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]请同学们完成下列计算,看谁算得又准又快.(出示投影片)
(1)20×(-3)2+60×(-3)
(2)1012-992
(3)572+2×57×43+432
(学生在运算与交流中积累解题经验,复习乘法公式)
[生]解:(1)20×(-3)2+60×(-3)
=20×9+60×-3
=180-180=0
或 20×(-3)2+60×(-3)
=20×(-3)2+20×3×(-3)
=20×(-3)(-3+3)=-60×0=0.
(2)1012-992=(101+99)(101-99)
=200×2=400
(3)572+2×57×43+432
=(57+43)2=1002
=10000.
[师]在上述运算中,大家或将数字分解成两个数的乘积,或者逆用乘法公式使运算变得
简单易行,类似地,在式的变形中,有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式,
这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解.
Ⅱ.导入新课
1.分析讨论,探究新知.
出示投影片
把下列多项式写成整式的乘积的形式
(1)x2+x=_________
(2)x2-1=_________
(3)am+bm+cm=__________
[生]根据整式乘法和逆向思维原理,可以做如下计算:
(1)x2+x=x(x+1)
(2)x2-1=(x+1)(x-1)
(3)am+bm+cm=m(a+b+c)
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,
也叫把这个多项式分解因式.
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形,所以需要逆向思维.
再观察上面的第(1)题和第(3)题,你能发现什么特点.
[生]我发现(1)中各项都有一个公共的因式 x,(2)中各项都有一个公共因式 m,是不
是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢?
[师]你分析得合情合理.
因为 ma+mb+mc=m(a+b+c).
于是就把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式 m,另
一个因式 a+b+c 是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题教学,运用新知.
出示投影片:
[例 1]把 8a3b2-12ab3c 分解因式.
[例 2]把 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
[例 3]把 3x3-6xy+x 分解因式.
[例 4]把-4a3+16a2-18a 分解因式.
[例 5]把 6(x-2)+x(2-x)分解因式.
(让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成,然后与同伴交流解题心得,教师深入
到学生中去发现问题,并对有困难的学生进行适时的引导和启发,最后师生共同评析、总结)
[例 1]分析:先找出 8a3b2 与 12ab3c 的公因式,再提出公因式.我们看这两项的系数 8
与 12,它们的最大公约数是 4,两项的字母部分 a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b.其中 a 的最
低次数是 1,b 的最低次数是 2.我们选定 4ab2 为要提出的公因式.提出公因式 4ab2 后,
另一个因式 2a2+3bc 就不再有公因式了.
解:8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).
总结:提取公因式后,要满足另一个因式不再有公因式才行.可以概括为一句话:括号
里面分到“底”,这里的底是不能再分解为止.
[例 2]分析:(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.这就是说,公因式可以是
单项式,也可以是多项式,是多项式时应整体考虑直接提出.
解:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
[例 3]解:3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1).
注意:x(3x-6y+1)=3x2-6xy+x,而 x(3x-6y)=3x2-6xy,所以原多项式因式分解为 x
(3x-6xy+1)而不是 x(3x-6y).这就是说,1 作为项的系数,通常可以省略,但如果单独
成一项时,它在因式分解时不能漏掉,可以概括为:某项提出莫漏 1.
[例 4]解:-4a3+16a2-18a
=-(4a3-16a2+18a)
=-2a(2a2-8a+9)
注意:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的
系数是正的.在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.可以用一句话概括:首项有负常
提负.
[例 5]分析:先找 6(x-2)与 x(2-x)的公因式,再提取公因式.因为 2-x=-(x-2),
所以 x-2 即公因式.
解:6(x-2)+x(2-x)
=6(x-2)-x(x-2)
=(x-2)(6-x).
总结:有时多项式的各项从表面上看没有公因式,但将其中一些项变形后,但可以发
现公因式,然后再提取公因式.
Ⅲ.随堂练习
1.课本练习
Ⅳ.课时小结
[师]今天我们学习了提公因式法分解因式.同学们在理解的基础上,可以用四句顺口溜
来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.
各项有“公”先提“公”,
首项有负常提负.
某项提出莫漏 1.
括号里面分到“底”.
Ⅴ.课后作业
课本习题
板书设计
15.4.2 公式法
教学内容:因式分解中的公式法
教学目
标
1、能说出公式的特点及公式在因式分解中的作用。
2、能较熟练地应用公式分解因式,把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。
3、培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法。
重点难
点
应用公式分解因式。
灵活应用公式和提公因式分解因式,并理解因式分解的要求。
教学准
备
教师准备 小黑板 是否需要
课件学生准备
§15.5.1 提公因式法
一、理解概念
1.分解因式
2.公因式
3.提公因式法
二、例题讲解
[例 1](略) [例 2](略)
[例 3](略) [例 4)(略)
[例 5](略)
三、随堂练习
四、小结
教后反思:
一、 创设情境,探求新知
问题 1:思考下列问题:
(1) 你能叙述多项式因式分解的定义吗?
(2) 运用提公因式法分解因式的步骤是什么?
(3) 你能将 a2-b2 分解因式吗?你是如何思考的?
引导学生积极思考,并讨论交流以求进一步加深印象。
1、多项式的因式分解其实就是整式乘法的逆运用,也就是把一个多项式化成了几个整式
的积的形式;
2、提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用
提公因式法对该多项式进行因式分解;
3、对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因式分解。
问题 2:观察平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点?
让学生分析就、讨论、总结,最后得出下列结论。
(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;
(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两个数的和,另一个因式是这两数的差;
(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在分解因式中,“平方差”是能得到分解因式
的多项式;
练一练:(见小黑板上的题目)
二、例题解析
例 1 分解因式:
(1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2
解:略
例 2 分解因式
(1)x4-y4 (2)a3b-ab
解:略
三、创设情境,再探新知
问题 1:根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法,分析和推测什么叫做运用完全
平方公式分解因式?能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点?
问题 2:把下列各式分解因式:
(1)a2+2ab+b2 (2)a2-2ab+b2
将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式。同样的道理,把整式乘
法的完全平方公式反过来写即是分解因式的完全平方公式。
追问:能不能用语言叙述呢?
两个数的平方和,加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和(或差)的
平方。
问题 3:下列各式是不是完全平方式?
(1)x2-4x+4 (2)a2+4ab+4b2 (3)a2-ab+b2 (4)x2+x+0.25
(5)x2-6x-9 (6)-x2+4xy-4y2
四、例题解析
例 分解因式
(1)16a2+24a+9 (2)3ax2+6axy+3ay2
解:略
五、小结反思,布置作业
问题 1:
举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征。
问题 2:
谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤。
问题 3:
谈谈多项式因式分解的注意点。
鼓励学生畅所欲言,必要时教师进行点拨,如问题 2 可以这样总结:
①如果多项式各项含有公因式,则第一步是提出这个公因式。
②如果多项式各项没有公因式,则第一步考虑用公式分解因式。
③第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个
多项式因式都不能分解为止。
作业:
1.习题 15.4 第 7 题
留白:
(供教师个性化设计)
板书设计:
15.4 公式法
一、 复习
二、 创设情境,探求新知
三、 例题解析
四、 创设情境,再探新知
五、 例题解析
六、 小结反思,布置作业
教后反思: 留白:(供心得体会与反思)
授课时间:_____年_____
月____日