2009泉州5月份质检理数试卷

2009泉州5月份质检理数试卷

‎2009年福建省泉州市高中毕业班第二次质量检测 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题 为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；‎ 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整笔迹清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据 的标准差：‎ ‎ 其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：‎ 其中为底面面积，为高 锥体体积公式：‎ 其中为底面面积，为高 球的表面积、体积公式：‎ ‎，‎ 其中为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．‎ ‎1． 复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知集合，，则“”是“”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎ ‎3． 双曲线有一条斜率为的渐近线，则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎4． 右边茎叶图中的数据是7名评委给参加校园歌手赛的两位选手甲、乙评定的成绩，则乙 选手成绩的众数出现的频率是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5． 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若、 m、n∥，则∥ B．若m∥、n∥、∥，则∥n C．若m⊥、n∥、∥，则mn D．若∥n 、m∥、n∥，则∥‎ ‎6． 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7． 若等比数列的首项为，且，‎ 则数列的公比是（ ）‎ ‎ A．3 B． ‎ C．27 D．‎ ‎8． 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，且 对恒成立，则下列正确的是（ ）‎ ‎ A． ‎ B．‎ ‎ C． ‎ D．‎ ‎9． 右边程序运行后，打印输出的结果是（ ）‎ ‎ A．和 B．1和 ‎ C．和 D．1和 ‎ ‎10．函数在区间单调递增，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．抛物线的准线方程是_____________．‎ ‎12．的展开式中，常数项为______________．‎ ‎13．如图，位于港口A正东方向50海里处的渔船出现故障．位于A南偏西30°，距A处 ‎30海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后，‎ 以35海里/小时的速度前往营救，则拖轮到达 B处至少需要__________小时．‎ ‎14．已知由样本数据点集 求得的回归直线方程为，且．若去掉两个数据点和 后重新求得的回归直线的斜率估计值为，则此回归直线的方程 为_________________________．‎ ‎15．有人通过观察等式：，后提出了一个猜想，“对任意大 ‎1的正整数m、n，都可分解为m个连续奇数的和”；并定义以这m个奇数为元素的 集合为的一个分拆．若的一个分拆的最小元素是133，则根据以上猜想和定义可 推算m的值为____________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知，向量，．设函数，且图像上相邻的两条对称轴的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 如图，三棱柱ABC中，侧面是菱形，且，底面 ABC是等腰三角形，，O是BC边上一点，⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AO⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线的焦点为F，准线为，交x轴于点A，并截圆 所得弦长为，M为平面内动点，△MAF周长为6．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，有人探究后，发现必是锐角．你赞成他的结论吗？请说明理由．‎ ‎19．（本题满分13分）‎ 受“国际金融风暴”影响，某企业决定实施投资转型．企业董事会将转型方案投资回报 率的调研任务交给A、B两调研组，每组3个方案，并要求各组从中选择一个回报率最高方 案向董事会推荐．由于时间紧迫，两调研组分别采用下列方法推荐：‎ A组：从3个方案中随机确定两个进行调研，再从这两个方案中，选择投资回报率较高 的推荐组董事会；‎ B组：从3个方案中随机确定两个，先后进行调研，再作比较，若后一方案回报率大于 前一方案，则选后面这个方案推荐；否则推荐未经调研的那个方案．‎ ‎（Ⅰ）求A组推荐出该组投资回报率最高方案的概率；‎ ‎（Ⅱ）设B组三个方案的投资回报率分别为、、，且，求B组推荐出该组投资回报率最方案的概率（用数字表示）和所推荐方案投资回报率的数学期望（用、、表示）；‎ ‎（Ⅲ）求在A组推荐出该组投资回报率最高方案的条件下，B组也推荐出该组中投资 回报率最高方案的概率．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 函数，，其中a为常数，且函数和的图像 在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．‎ ‎（Ⅰ）求此平行线的距离；‎ ‎（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把 的值称为两函数在处的偏差．求证：函数和 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．‎ 如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知数列，满足关系式，，．‎ 试分别求满足条件，的二阶矩阵M，N，并指出矩阵M对 应的变换的几何意义．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数），曲线与交于M，N 两点，求M，N两点间的距离．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 不等式对任意实数t恒成立，试求实数x的取值范围．‎ ‎2009年福建省泉州市高中毕业班质量检测（二）‎ 理科数学试卷答案 第Ⅰ卷 （选择题共50分）‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题意要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D A D B C D A B C A 第Ⅱ卷 （非选择题共100分）‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）‎ ‎11、；12、； 13、；14、 ；15、‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16、（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ……………………… 5分 ‎∵的图像上相邻的两条对称轴的距离是∴的周期为 ‎∴ ……………… 7分 ‎ ‎（Ⅱ）∵∴∵，∴ … 9分 则当，即时，取得最小值0；当，即时，取得最大值1 …………………… 13分 ‎17、（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）∵⊥面ABC，面ABC，∴⊥，‎ 又∵∠CB，∴，故O是BC的中点，‎ 由，得AO⊥BC ………………………… 3分 ‎∵⊥面ABC，面ABC，∴⊥AO，又，‎ ‎∴AO⊥面 ……………………………… 5分 ‎（Ⅱ）以O为原点，OC、O、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系。在△ABC中，，∴。故，，，∴， ……… 7分 设为平面的一个法向量，‎ 则，令，得 ‎∴为平面的一个法向量， ……10分 又，‎ 记直线与平面所成角为，，则，故∴直线与平面所成角的余弦值为。 ………………… 13分 ‎18、（本小题满分13分）‎ 解：（1）交圆于B、C两点。在直角△OAB中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，。‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 且，‎ 故点M的轨迹是以A、F为焦点且 长轴长为4的椭圆（挖去x轴的两点）。… 4分 设的方程为，‎ 则，，∴，‎ 故所求的方程为： …………… 6分 ‎（2） 赞成该结论。 …………………… 7分 证明如下：设点为上任一点，则∴，‎ ‎， ∴‎ ‎ ……………………… 10分 ‎，∵，∴‎ ‎∴，∴必为锐角。 ……… 13分 ‎19、（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）A组推荐出该组投资回报率最高方案的概率﹒……… 3分 ‎（Ⅱ）B组的三个方案以投资回报率为代号有下列六个排列方法：‎ ‎；；；；；﹒‎ 则按其推荐方法，其中第2、3、4种排列法能推荐到回报率最高方案，‎ ‎∴B组推荐出该组投资回报率最高方案的概率。 ……… 6分 ‎∵B组选到投资回报率为的方案的概率分别是，‎ ‎∴所推荐的方案的投资回报率的数学期望 ……… 9分 ‎（Ⅲ）记A组推荐出投资回报率最高方案的事件为C、B组推荐出投资回报率最高方案的事件为D，由（Ⅰ）（Ⅱ）知，。‎ 由于各小组的推荐工作相互独立，所以 …………… 10分 ‎∴在A组推荐出该组投资回报最高方案时，B组也同时推荐出本小组中投资回报率最高方案的概率为：﹒ ……… 13分 ‎（注：有交代“A组的调研与推荐和B组的调研与推荐工作相互独立”的情况下，而直接得出所求答案为的，可能组等值分3分。）‎ ‎20、（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即 又∵，∴。 ……………………… 2分 ‎∴，，∴函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,∴两平行切线间的距离为 。……… 4分 ‎（Ⅱ）由得，故在有解，‎ 令，则。当时，；‎ 当时，∵，∵，‎ ‎∴，∴‎ 故 ………………… 7分 即在区间上单调递减，故，∴‎ 即实数m的取值范围为 。 ………………… 9分 ‎（Ⅲ）解法一：‎ ‎∵函数和的偏差为：，‎ ‎∴，设为的解，则当，；‎ 当，，∴在单调递减，在单调递增 ‎∴ …………………………… 12分 ‎∵，，∴‎ 故 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。………… 14分 解法二：‎ 由于函数和的偏差：，‎ 令，；令，‎ ‎∵，，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增 ………… 12分 ‎∴，，∴‎ 即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。……… 14分 ‎21、选做题：（本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，‎ 满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。）‎ ‎（Ⅰ）（本小题满分7分） 选修4－2：矩阵与变换：‎ 解： 矩阵 ……………………… 2分 ‎，，… 6分 矩阵M对应的变换的几何意义是绕原点逆时针转45°﹒ ………… 7分 ‎（Ⅱ）（本小题满分7分） 选修4－4：坐标系与参数方程：‎ 解：曲线的直角坐标方程为：，‎ 曲线的变通方程为： ………………… 4分 联立方程组，消去x得：‎ ‎，解得或，代入，x没有实数解；‎ 代入，，， …………… 6分 ‎∴………………………… 7分 ‎（Ⅲ）（本小题满分7分） 选修4－5：不等式选讲：‎ 解：∵‎ ‎∴对任意实数t恒成立等价于 ‎ …… 4分 或或， ………………………… 6分 ‎ 解得实数x的取值范围为 。 ………………………………… 7分