数学卷·2018届江苏省泰安市长城中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届江苏省泰安市长城中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

泰安长城中学2016—2017学年第二学期期中考试 高二数学文科试卷 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1. 如果集合，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由交集的定义可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2. 命题“且，”的否定是（ ）‎ A. 且， B. 且，‎ C. 且， D. 且，‎ ‎【答案】D ‎【解析】依据存在性命题与全称性命题的关系可知：全称性命题的否定是存在性命题，应选答案C。‎ ‎3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A项,,函数为偶函数,不合题意;B项,,函数为奇函数, 不合题意;C项,,函数为奇函数, 不合题意;D项,,既不是奇函数,也不是偶函数,故选D.‎ ‎4. 设为虚数单位，复数 ，则复数 在复平面上对应的点在( ).‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得 ，‎ 即复数在复平面上对应的点 在第一象限.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。‎ A. 假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度；‎ C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。‎ ‎【答案】B ‎【解析】对题中所给的命题的结论进行否定可得：‎ 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是假设三内角都大于60度；...‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过（ ） ‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A. (1.5，4)点 B. (1.5，0）点 C. （1，2）点 D. （2，2）点 ‎【答案】A ‎【解析】由题意： ，回归方程过样本中心点，即回归方程过点 .‎ 本题选择A选项.‎ ‎7. 要证成立，只需证 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由不等式的性质，不等号两边为正时，两边平方，不等号方向不变。故选C。‎ 考点：本题主要考查不等式的性质，分析法的概念及步骤。‎ 点评：简单题，明确分析法的概念及步骤。‎ ‎8. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：当时，在区间上是增函数，由函数在区间上为增函数可得，，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：1.二次函数的性质；2.充分条件与必要条件....‎ ‎9. 定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为f(x+1)=−f(x)，‎ 所以f(x+2)=−f(x+1)=−[−f(x)]=f(x)‎ 所以f(x)是以2为周期的函数。‎ 又f(x)为偶函数,且在[−1,0]上递增，‎ 所以f(x)在[0,1]上递减，‎ 又2为周期,所以f(x)在[1,2]上递增,在[2,3]上递减，‎ 故f(2)最大，‎ 又f(x)关于x=2对称,且 离2近,所以f( )>f(3)，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．‎ ‎10. 已知函数的导函数为，且满足，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，‎ 令 有： ，‎ 函数的解析式： ，‎ 据此可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎11. 函数 在其定义域内可导，其图象如图所示， 则导函数 的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数f(x)的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，‎ 当x>0时，函数单调递增，‎ 所以导数f′(x)的符号是正，负，正，正。对应的图象为C.‎ 本题选择C选项....‎ ‎12. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是 （ ）‎ A. B. C. （1，2） D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解：令，由得即 ‎，所以函数在上为减函数，‎ 由，‎ 解得 故选D.‎ 考点：1、导数与函数的单调性；2、函数单调性的应用.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 已知复数，则它的共轭复数等于_________；‎ ‎【答案】2+i ‎【解析】由题意可得： .‎ ‎14. 读下面的流程图，当输入的值为-5时，输出的结果是________________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：由题第一次：；第二次：‎ 第三次：；第四次：； 则输出为 考点：算法程序框图的读法.‎ ‎15. 如图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a88=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，第一列成等差数列，且公差d= ，每行成等比数列，且公比q= ‎ 又a88是第8行第8个数 由已知 ，‎ ‎∴ .‎ 点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”.‎ ‎16. 已知函数f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1与x=处有极值, 则函数的单调递减区间为______________‎ ‎【答案】(-1，)...‎ ‎【解析】f′(x)=12x2+2ax+b,依题意有 ，‎ 即 ,解得 .‎ 所以f(x)=4x3−3x2−18x+5‎ 由f′(x)=12x2−6x−18<0，可得： ，‎ ‎∴(−1, )是函数的减区间.‎ 点睛： (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ 解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17. 已知复数 求复数 （2）若求实数的值 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用复数的运算法则结合题意可得 ；‎ ‎(2)利用题中所给条件得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得 .‎ 试题解析：‎ 解：（1）== ‎ ‎ （2）把代入已知方程，得 ‎ 整理，得，‎ ‎ ‎ ‎18. 已知命题，命题 ‎（1）若是的充分条件，求实数的取值范围 ‎（2）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：先解得.（1）由于是的充分条件，故，由此解得；（2）当时，.由于真，假，故一真一假.分别令真假和假真，求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）对于，对于，‎ 由已知，，∴∴.‎ ‎（2）若真：，若真：，‎ 由已知，、一真一假.‎ ‎①若真假，则，无解；‎ ‎②若假真，则，∴的取值范围为....‎ ‎19. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ ‎ 性别 是否需要志愿者 ‎ 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ 请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗？‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）（2）有关 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由频率近似概率可得需要志愿者提供帮助的老年人的比例为；‎ ‎(2)由题意求得，则有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.‎ 试题解析：...‎ 解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为 ‎（2）根据表中数据计算得：。‎ 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。‎ 点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．‎ ‎20. 已知函数满足①；②。‎ ‎(1)求函数的解析表达式；‎ ‎（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意列出方程组，求解方程组可得；‎ ‎(2)构造新函数，利用函数的特征结合题意可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 解：（1）即，又，又，。‎ 所以 ‎（2）法一：设，则由已知得：‎ 当即时，，此时；‎ 当即时，，解得：无解；‎ 当即时，，此时无解。‎ 综上所述，的取值范围为。‎ 法二：由已知得，在上恒成立。由于在上单调递增，所以，故即。‎ ‎21. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？‎ ‎【答案】应生产60件这种产品，最大利润为9 500元 ‎【解析】试题分析：‎ 利用题意得到利润函数 ，结合导函数研究原函数可得要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．‎ 试题解析：‎ 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)‎ 则L(x)＝500x－2 500－C(x)＝500x－2 500－＝300x－x3－2 500(x∈N)‎ 令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)‎ 又当0≤x<60时，L′(x)>0，x>60时，L′(x)<0‎ 所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．...‎ 所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．‎ 答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22. 设，函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）时，单调递增区间为；时单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（3）当时，函数的最小值是；‎ 当时，函数的最小值是 ‎【解析】试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数的导数，并求出方程的根，对是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数的增区间和减区间；（3）对是否在区间内进行分类讨论，从而确定函数的最小值，注意时，函数最小值的可能值为或，这时可对两式的值作差确定大小，从而确定两者的大小，从而确定函数在上的最小值.‎ 试题解析：在区间上，，‎ ‎（1）当时，，则切线方程为，即；‎ ‎（2）①当时，，故函数为增函数，即函数的单调递增区间为；‎ ‎②当时，令，可得，‎ 当时，；当，，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（3）①当时，即当时，函数在区间上是减函数，‎ 的最小值是；‎ ‎②当时，即当时，函数在区间上是增函数，‎ 的最小值是；‎ ‎③当时，即当时，函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以的最小值产生于与之间，又，‎ 当时，最小值为；‎ 当时，最小值为，‎ 综上所述，当时，函数的最小值是，‎ 当时，函数的最小值是.‎ 考点：1.利用导数求切线方程；2.函数的单调区间；3.函数的最值；4.分类讨论.‎