安徽省安庆市桐城市2020高三数学试卷（理）
数学试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|1-xx≥0}，B={x|y=lg(2x-1)}，则A∩B=( )
A. (0,1] B. [0,1] C. (12,1] D. (12,+∞)
2. 已知复数z=i(1-3i)1+i，则复数z-的虚部为( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3. 抛物线y=ax2的焦点是直线x+y-1=0与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )
A. x=-14 B. x=-1 C. y=-14 D. y=-1
4. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a⊥(a+b)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. -1 B. -2 C. 2 D. 1
5. 设x，y满足约束条件x-y+1≤0x+y-1≤0x+2y+1≥0，则z=2y-x的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在等比数列{an}中，“a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x-，方差为s2，则( )
A. x-=70，s2<75 B. x-=70，s2 >75
C. x->70，s2<75 D. x-<70，s2 >75
8. 以下关于函数f(x)=sin2x-cos2x的命题，正确的是( )
A. 函数f(x)在区间(0,23π)上单调递增
B. 直线x=π8是函数y=f(x)图象的一条对称轴
C. 点(π4,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
D. 将函数y=f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y=2sin2x的图象
1. 函数f(x)=e(x-n)2m(其中e为自然对数的底数)的图象如图所示，则( )
A. m>0，0
0，-10,b>0)的左、右顶点分别为A、B.右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交双曲线于M，N两点．P为直线l上一点，当∠APB最大时，点P恰好在M(或N)处，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
4. 如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB=22，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5. 二项式(x-12x)9的展开式中常数项是______．
6. 若关于x的不等式lnx+1x≤ax+b恒成立，则ba的最小值是______．
7. 今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有______种．(用数字作答)
1. 数列{an}满足anan+1an+2=an+an+1+an+2(anan+1≠1,n∈N*)，且a1=1，a2=2.若an=Asin(ωn+φ)+c(ω>0,0<φ<π)，则实数A=______
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
2. 已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-1cos2x-sin2x，方程f(x)=3在(0,+∞)上的解按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=sinan，求数列{bn}的前n项和Sn．
3. 如图，四边形ABCD是菱形，EA⊥平面ABCD，EF//AC，CF//平面BDE，G是AB的中点．
(1)求证：EG//平面BCF；
(2)若AE=AB，∠BAD=60°，求二面角A-BE-D的余弦值．
4. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
5. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．
(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；
(2)O为坐标原点，与OT平行的直线l'与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l'与直线l交于点P，试判断|PT|2|PA|⋅|PB|是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
6. 已知函数f(x)=lnx+1-xax(a∈R且a≠0)，g(x)=(b-1)x-xex-1x(b∈R)
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)当a=1时，若关于x的不等式f(x)+g(x)≤-2恒成立，求实数b的取值范围．
7. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=3．
(Ⅰ)写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；
(Ⅱ)
设直线l2过点P(-1,0)与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|⋅|PN|．
1. (1)已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，证明1a+1b+1c≥9；
(2)已知a，b，c均为正实数，且abc=1，证明a+b+c≤1a+1b+1c．
数学试卷（理）答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
CADAA AADCB AC
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13【答案】2116【答案】-1e【答案】348【答案】233
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=(sinx+cosx)2-1cos2x-sin2x，
即f(x)=sin2xcos2x=tan2x，
解f(x)=tan2x=3得2x=kπ+π3，x=k2π+π6，k∈Z，
依题意an=π6+π2(n-1)=nπ2-π3，n∈N*；
(Ⅱ)bn=sinan=sin(nπ2-π3)是周期T=2ππ2=4的数列，
b1=12，b2=32，b3=-12，b4=-32，
S1=12，S2=3+12，S3=32，S4=0，
从而S5=S4+b5=b1=12，S6=S5+b6=b1+b2=S2=3+12，
……，所以Sn是周期为4的数列，
Sn=12,n=4k-3,3+12,n=4k-2,32,n=4k-1,0,n=4k.(k∈N*).
18【答案】证明：(1)设AC∩BD=O，连结OE，OF，
∵CF//平面BDE，平面BDE∩平面ACFE=OE，
CF⊂平面ACFE，
∴OE//CF，
∵EF//AC，
∴OEFC为平行四边形，
又四边形ABCD是菱形，故EF=OC=OA，
∴AOFE为平行四边形，OF//AE，
∵EA⊥平面ABCD，
∴OF⊥平面ABCD，
设OA=a，OB=b，AE=c，
以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E(a,0，c)，G(a2,b2,0)，B(0,b，0)，C(-a,0，0)，F(0,0，c)，
FB=(0,b，-c)，FC=(-a,0，-c)，EG=(-a2,b2,-c)，
设平面BCF的法向量为n=(x,y，z)，
则n⋅FB=by-cz=0n⋅FC=-ax-cz=0，取z=b，得n=(-bca,c，b)，
∵n⋅EG=(-a2)⋅(-bca)+b2⋅c+(-c)⋅b=0，EG⊄平面BCF，
∴EG//平面BCF；
解：(2)设AE=AB=2，
∵∠BAD=60°，
∴OB=1，OA=3，
∴A(3,0,0)，B(0,1，0)，E(3,0,2)，D(0,-1,0)，
BE=(3,-1,2)，BA=(3,-1,0)，BD=(0,-2,0)，
设平面ABE的法向量n1=(x1,y1,z1)，
则n⋅BA=3x1-y1=0n⋅BE=3x1-y1+2z1=0，取x1=1，得n1=(1,3,0)，
设平面BDE的法向量m=(x2,y2,z2)，
则m⋅BE=3x2-y2+2z2=0m⋅BD=-2y2=0，取x2=2，得m=(2,0，-3)，
设二面角A-BE-D的平面角为θ，
则cosθ=|m⋅n1||m|⋅|n1|=24⋅7=77．
∴二面角A-BE-D的余弦值为77．
19【答案】解：(1)依题意，X的所有可能值为0，1，2，3.则P(X=0)=0.2(1-p)2；P(X=1)=0.8×(1-p)2+0.2×C21×p×(1-p)=0.8(1-p)2+0.4p(1-p)，
即P(X=1)=0.4p2-1.2p+0.8，P(X=2)=0.2p2+0.8×C21×p×(1-p)=0.2p2+1.6p(1-p)=-1.4p2+1.6p，
P(X=3)=0.8p2；X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.2p2-0.4p+0.2
0.4p2-1.2p+0.8
-1.4p2+1.6p
0.8p2
E(X)=1×(0.4p2-1.2p+0.8)+2×(-1.4p2+1.6p)+3×0.8p2=2p+0.8．
(2)当p=0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B树苗最终成活的概率为0.9+0.1×0.75×0.8=0.96．
②记Y为n
棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，
则Y～B(n,0.96)，E(Y)=0.96n，M(n)=300Y-50(n-Y)=350Y-50n，
E(M(n))=350E(Y)-50n=286n，要使E(M(n))≥200000，则有n≥699.3．
所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．
20【答案】解：(1)由e=ca=1-b2a2=12，b2=34a2，联立x+2y=4x2a2+4y23a2=1，
消去x，整理得：163y2-16y+16-a2=0，①
由△=0，解得：a2=4，b2=3，
∴椭圆的标准方程x24+y23=1，由①可知yT=32，则T(1,32)；
(2)设直线l'的方程为y=32x+t，由y=32x+tx+2y=4，
解得P的坐标为(1-t2,32+t4)，所以|PT|2=516t2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=32x+t3x2+4y2=12，
消去y整理得x2+tx+t23-1=0，则x1+x2=-tx1x2=t2-33，
△=t2-4(t23-1)>0，t2<12，
y1=32x1+t，y2=32x2+t，|PA|=(1-t2-x1)2+(32+t4-y1)2=132|2-t2-x1|，
同理|PB|=132|2-t2-x2|，
|PA|⋅|PB|=134|(2-t2-x1)(2-t2-x2)|=134|(2-t2)2-2-t2(x1+x2)+x1x2|，
134|(2-t2)2-2-t2(-t)+t2-33|=1348t2，
∴|PT|2|PA|⋅|PB|=5t21613t248=1513，
∴|PT|2|PA|⋅|PB|=1513为定值．
21【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=lnx+1ax-1a，
当a<0时，∴f'(x)>0，∴f(x)在|AB|=2单调递增；
当a>0时，由f'(x)>0得：x>1a；
由f'(x)<0得：00时，f(x)在(0,1a)
单调递减，在(1a,+∞)单调递增．
(Ⅱ)由题意：当a<0时，不等式f(x)+g(x)≤-2，
即lnx+1x-1+(b-1)x-xex-1x≤-2．
即b-1≤ex-lnxx-1x在(0,+∞)恒成立，
令h(x)=ex-lnxx-1x，则h'(x)=ex-1-lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2，
令u(x)=x2ex+lnx，则u'(x)=(x2+2x)ex+1x>0，
∴u(x)在(0,+∞)单调递增
又u(1)=e>0,u(12)=e4-ln2<0，所以，u(x)有唯一零点x0(120即h'(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x0)为h(x)在定义域内的最小值．分)
令k(x)=xex(12
查看更多