上海市嘉定区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析

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- 1 - 嘉定区 2019 学年高三第二次质量调研测试 数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.已知集合 {2,4,6,8}, {1,2,3}A B  ，则 A B  ______． 【答案】{2}. 【解析】 【分析】 利用集合的运算直接求交集 【详解】 A B  {2, 4,6,8} 1, 2,3} {2} . 故答案为：{2} 【点睛】考查了集合的运算求两集合的交集，属于容易题. 2.线性方程组 2 5 3 8 x y x y      的增广矩阵为_________． 【答案】 1 2 5 3 1 8      . 【解析】 【分析】 直接根据线性方程组的增广矩阵的含义求解. 【详解】线性方程组 2 5 3 8 x y x y      的增广矩阵为 1 2 5 3 1 8      , 故答案为: 1 2 5 3 1 8      【点睛】考查了线性方程组的增广矩阵的含义,属于容易题. 3.已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面积为______________. 【答案】 4π 【解析】 【分析】 根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. - 2 - 【详解】由题意，圆柱的底面半径为 1，母线长为 2， 根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为 2 2 4S rl     . 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准 确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.在 5( 2)x - 的二项展开式中， 3x 项的系数为_______． 【答案】 40 . 【解析】 【分析】 直接用二项展开式的通项公式求解. 【详解】 5 1 5 ( ) ( 2)r r r rT C x     ，故 3x 的系数为 2 2 5 ( 2) 40C   ． 故答案为： 40 【点睛】考查了二项式定理，利用通项公式求特定项的系数，属于容易题. 5.若实数 ,x y 满足 0 1 2 0 x y x y       ，则 z x y  的最大值为_______． 【答案】3. 【解析】 【分析】 画出可行域，求出线性目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如图所示： 令 z x y  ，则 y x z   ，易知截距越大，z 越大， 直线 : 0l x y  ，平移直线至 (2,1)B 时， max 2 1 3Z    . - 3 - 故答案为：3 【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题，属于容易题. 6.已知球的主视图的面积是 ，则该球的体积等于_________． 【答案】 4 3  . 【解析】 【分析】 先根据球的主视图的面积是 ，求出球的半径，再求球的体积. 【详解】设球半径为 r ，由 3 2 4 41 3 3 rS r r V          ． 故答案为： 4 3  【点睛】考查了三视图的概念，球的体积公式，属于容易题. 7.设各项均为正数的等比数列 na 的前 n 项和为 1 2 3, 1, 6nS a a a   ，则 6S  ______． 【答案】63. 【解析】 【分析】 先由 1 2 31, 6a a a   ,求出等比数列的公比 q，再和等比数列的前 n 项和公式求出 6S 【详解】由 1 2 31, 6a a a   ，得 2 6( 0) 2q q q q      6 6 1 1 2 631 2S     ． 故答案为: 63 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式，属于容易题. 8.已知函数 ( ) 2 log af x x  （ 0a  且 1a  ）的反函数为 1( )y f x ．若 1(3) 2f   ，则 a _____． 【答案】2. 【解析】 【分析】 由 1(3) 2f   ，得 (2) 3f  ，再代入解析式，求出 a 【详解】 1(3) 2 (2) 3 3 2 log 2 2af f a         ． - 4 - 故答案为：2 【点睛】本题考查了原函数与反函数间的关系，属于容易题. 9.设 2, 9 0z z  C ，则| 4|z   ________． 【答案】5. 【解析】 【分析】 先由 2 9 0z   ，求出 z ，再代入式子| 4|z  求模. 【详解】由 2 9 0 3z z i     ，则| 4 | | 3 4 | 5z i     ． 故答案为：5 【点睛】本题考查了在复数范围内解一元二次方程，及求复数的模，属于容易题. 10.从 4 对夫妇中随机抽取 3 人进行核酸检测，则所抽取的 3 人中任何两人都不是夫妻的概率 是_______（结果用数值表示）． 【答案】 4 7 . 【解析】 【分析】 从 4 对夫妇中随机抽取 3 人,故总数是 3 8C ，3 人中任何两人都不是夫妻可先从 4 对夫妇中选 3 对夫妻出来，有 3 4C 种选择，再从每对夫妻 2 人中选 1 人,有 1 1 1 2 2 2C CC 种，再算出所求概率. 【详解】从 4 对夫妇中随机抽取 3 人,故总数是 n  3 8C , 3 人中任何两人都不是夫妻可先从 4 对夫妇中选 3 对夫妻出来， 有 3 4C 种选择，再从每对夫妻 2 人中选 1 人,有 1 1 1 2 2 2C CC 种，即有 3 3 4 2m C  种，故所求概率 P = m n 3 3 4 3 8 2 4 7 C C   . 故答案为： 4 7 【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题. - 5 - 11.设 P 是双曲线 2 2 18 yx   的动点，直线 3 cos sin x t y t       （ t 为参数）与圆 2 2( 3) 1x y   相交于 A B、 两点，则 PA PB  的最小值是_________． 【答案】3. 【解析】 【分析】 先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心 (3,0)C ，再将 PA PB  变为 ( ) ( )C CAP PC CB   uuur uuur uuur uuur 2 2 PC CA  uuur uuur ，转化为动点 P 到C 的距离的最小值. 【详解】设圆心为 (3,0)C ，并且直线过 (3,0)C ，则 ( ) ( )C CAP PC CB   uuur uuur uuur uuur 2 2 PC CA  uuur uuur 又 2 1CA = uuur ， 2 PC = uuur 2 PC  ，又 min 2PC  ,则 PA PB  2 1PC  uuur 2 22 1 3   ． 故答案为：3 【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直 线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点. 12.在 ABC 中，内角 、 、A B C 的对边分别为 a b c、 、 ，若 2 2 2 2 3 sina b c bc A   ，则 A  ______． 【答案】 3  . 【解析】 【分析】 先用余弦定理对式子进行化简，再用辅助角公式转化为正弦型函数，然后利用正弦型函数的 有界性求解. 【详解】  2 2 2 2 2 2 22 cos 2 3 sina b c b c bc A b c bc A         2 22 sin 6bc A b c      ，而 2 2 sin 6 2 b cA bc       2 12 bc bc   , sin 16A       sin 16 3A A         ． 故答案为： 3  【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差公式，均值定理，属于中档题. - 6 - 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知 xR ，则“ 1x  ”是“| 2 | 1x   ”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分 又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先对“| 2 | 1x   ”等价变形，再利用集合法判断充要条件. 【详解】由| 2 | 1 1 3x x     ，则 (1, )p   ， (1,3)q  ，则 p  q， 故 p 为 q必要非充分条件. 故选：B． 【点睛】本题考查了用集合法判断充要条件，属于容易题. 14.下列函数中，既是 (0, ) 上的增函数，又是偶函数的是（ ）． A. 1y x  B. 2xy  C. 1 | |y x  D. lg | |y x 【答案】D 【解析】 【分析】 对选项的函数的单调性和奇偶性作判断. 【详解】对 A 奇函数；对 B 非奇非偶函数；对 C：是偶函数，在 (0, ) 是减函数. 故选：D 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题. 15.如图，若正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧面 1 1BCC B 内动点 P 到棱 1 1A B 的距离等于它到棱 BC 的距离，则点 P 所在的曲线为（ ）． - 7 - A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】 侧面 1 1BCC B 内动点 P 到棱 1 1A B 的距离等于它到棱 BC 的距离,转化成动点 P 到定直线 BC 和定点 1B 的距离相等，判断 P 点轨迹为抛物线. 【详解】 P 到棱 1 1A B 的距离即 P 到 1B 的距离,即点 P 到定直线和定点距离相等（注意：点不 在直线上）轨迹为抛物线，故此题选 C． 【点睛】本题将圆锥曲线与立体几何融合，主要考查转化与化归思想，利用圆锥曲线的定义 判断轨迹类型. 16.设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 nS 是 6 和 na 的等差中项．若对任意的 *nN ，都有 13 [ , ]n n S s tS   ，则t s 的最小值为（ ）． A. 2 3 B. 9 4 C. 1 2 D. 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据等差中项的概念列出关系式，再利用 na 与 nS 之间的关系，得到关于 nS 的递推关系式， 求得 nS 的表达式，再计算 nS 的取值范围，再计算 13 n n S S  的取值范围解出题目. - 8 - 【详解】由 2 nS 是 6 和 na 的等差中项，得 4 6n nS a  ，令 1n  得 1 2S  ，又 1n n na S S   ， 得 14 6n n nS S S    13 6n nS S    1 3 1 3 2 3 2n nS S                ， 则 3 2nS     是首项为 1 3 1 2 2S   ，公比为 1 3  的等比数列, 得 13 1 1 2 2 3 n nS       ． 若 n 为奇数， 3 ,22nS     ；若 n 为偶数， 4 3,3 2nS     ． 而 1( ) 3n n n f S S S   是关于 nS 的单调递增函数，并且 4 13 3 4f      ， 11(2) 2f  ，故t s 最小 值是 11 13 9 2 4 4   ，故此题选 B． 【点睛】本题考查了用 na 与 nS 之间的关系，由递推关系式求通项公式，以及求指数型函数和 双勾函数的值域，属于综合应用题. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤． 17.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，边长为 3， 5PC  ， PD  底面 ABCD ． （1）求四棱锥 P ABCD 的体积； （2）求异面直线 AD 与 BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）12；（2） 5arctan 3 . 【解析】 【分析】 （1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积. - 9 - （2）平移直线，找到异面直线 AD 与 BP 所成角，并计算角的大小. 【详解】解：（1）在 Rt PCD 中, 3, 5CD PC  ,则 4PD  ， 则 P ABCDV  1 3 ABCDS PD   21 3 4 123     ． （2）由 / /BC AD ，所以 PBC 即为异面直线 AD 与 BP 所成角（或其补角）， 由 BC CD ， BC PD⊥ ，且 PD CD D  ，得 BC ⊥面 PCD，又 PC  面 PCD， 所以 BC PC ，在 Rt PCB 中， 5 5tan arctan3 3PBC PBC     ． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题. 18.设常数 a R ，函数 2( ) 3sin 2 cosf x x a x  ． （1）若 ( )f x 为奇函数，求 a 的值； （2）若 36f      ，求方程 ( ) 2f x  在区间[0, ] 上的解． 【答案】（1） 0a  ；（2） 0, ,3x      . 【解析】 【分析】 （1） ( )f x 为奇函数,可得 (0) 0f  ，解出 a ，再代回验证看是否符合题意. （2）根据 36f      求出 a ，再解方程. 【详解】（1）当 ( )f x 为奇函数时，必有 (0) 0 0f a   , 当 0a  时， ( ) 3sin 2f x x 是奇函数，符合题意，故 0a  . （2）由题 2 3 33sin cos 3 26 3 6 2 4 af a a                        ， 得 2( ) 3 sin 2 2cos 3 sin 2 cos2 1 2sin 2 16f x x x x x x            ， 由 1( ) 2 sin 2 2 26 2 6 6f x x x k              或 52 26 6x k     ， - 10 - x k  或 ( )3x k k Z    ，所以在区间[0, ] 上的解为 0, ,3x      ． 【点睛】本题考查了奇函数的概念与性质，三解恒等变换，属中档题. 19.某村共有 100 户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为 2 万元．为了调整产业结 构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员  *x xN 户农民从事蔬菜 加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高 2 %x ，而从事蔬菜 加工的农民平均每户的年收入为 92 ( 0)50a x a     万元． （1）在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前 100 户农民的总年收入，求 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从 事蔬菜种植的农民的总年收入，求 a 的最大值． 【答案】（1） 0 50x  ；（2）9. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，表示出动员 x 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收 入，再解不等式. （2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题. 【详解】解：（1）动员 x 户农民从事蔬菜加工后，农民的总年收入为 (100 ) 2(1 2 %)x x   ， 由题得 (100 ) 2(1 2 %)x x   200 0 50x    ． （2）由题 92 (100 ) 2(1 2 %)50x a x x x        恒成立，其中 0 50x  ， 即 100 4 125 xa x    恒成立，又因为100 4 4001 2 1 925 25 x x x x      ， 当且仅当 25x  时等号成立，所以 max 9a  ． 【点睛】本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒成 立问题的处理方法，以及利用均值不等式求最值. 20.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b      过点 (0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点 - 11 - 相同．直线l 过点 (1,0)Q ，且与椭圆  相交于 A B、 两点． （1）求椭圆  的方程； （2）若直线 l 的一个方向向量为 (1,2)d  ，求 OAB 的面积（其中O 为坐标原点）； （3）试问：在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA MB  为定值？若存在，求出点 M 的坐标和定 值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 18 4 x y  ；（2） 16 9 ；（3）定点 11,04M      ，定值 7 16  . 【解析】 【分析】 （1）直接根据椭圆过点 (0,2)P ，求出b ，再根据椭圆的一个焦点是抛物线抛物线 2 8y x 的 焦点 (2,0) ，求得 c ，再求出b ，得到椭圆  的方程. （2）先求出直线方程，与椭圆  的方程联立，求出交点，再求出 OAB 的面积. （3）先设 x 轴上是存在点 M ( ,0)a 使得 MA MB  为定值，设出直线， ,A B 的坐标，表示出 MA MB  ，再分析怎样使 MA MB  为定值. 【详解】解：（1）椭圆过点 (0,2)P ，代入得 2b  ，抛物线 2 8y x 的焦点为 (2,0) ， 得 2 2 4a b  ，得 2 8a  ，故椭圆方程为 2 2 18 4 x y  ． （2） : 2 2l y x  ，将直线与椭圆联立 2 2 2 2 18 4 y x x y     ，解得 16 14,9 9A     ， (0, 2)B  ， 如图所示： 故 1 16| 2|| |2 9OABS  V 16 9  ． - 12 - （3）当直线斜率不为 0 时，设： : 1l x my  ， ( ,0)M a ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 将l 与椭圆联立得 2 22 2 7 0m y my    ，则有 1 2 2 2 2 my y m    ， 1 2 2 7 2y y m   ， 则   1 2 1 2MA MB x a x a y y     uuur uuur 1 2( 1 )( 1 )my a my a     1 2y y    2 2 1 2 1 21 (1 ) (1 )m y y a m y y a        2 2 2 2 7 21 (1 ) (1 )2 2 mm a m am m            2 2 2 2 8 2 4 5 2 m a a a m         2 2 2 ( 8 4 11 2 2)m a a m      2 2 4 118 2 aa m     由于该式不管 m 取何值均为定值，故 4 11 0a   ，得 11 4a  ，定值为 7 16  ． 当直线斜率为 0 时， (2 2,0)A ， ( 2 2,0)B  ， 11 11 72 2 2 24 4 16MA MB              uuur uuur ． 综上，定点 11,04M      ，定值 7 16  ． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，处理直线与 圆锥曲线位置关系的基本思路和方法：设而不解；联立方程组，根与系数的关系，还考查了 定点，定值问题. 21.已知 m 为正整数，各项均为正整数的数列 na 满足： 1 ,  2 ,     n n n n n a aa a m a      为偶数 为奇数 ，记数 列 na 的前 n 项和为 nS ． （1）若 1 8, 2a m  ，求 7S 的值； （2）若 35, 25m S  ，求 1a 的值； （3）若 1 1,a m 为奇数，求证：“ 1na m  ”的充要条件是“ na 为奇数”． 【答案】（1） 7 30S  ；（2） 1 7a  或 1 10a  ；（3）见解析. 【解析】 【分析】 - 13 - （1）利用递推公式直接代入求值. （2）分类讨论当 1a 为奇数和偶数的情况，再讨论 2a 为奇数和偶数的情况，求得 1a 的值. （3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明. 【详解】解：（1） 1 8a  ， 2m  ，则前 7 项为 8，4，2，1，3，5，7，故 7 30S  ． （2）由题 1 ,2 5,   n n n n n a aa a a      为偶数 为奇数 设 k 是整数． ①若 1a 为奇数,可设 1 2 1a k  ， k N ,则 2 2 4a k  是偶数，得 3 2a k  ， 则 1 2 3 5 5 25 4a a a k k       ，此时 1 7a  ，符合题意 ②若 1a 为偶数,可设 1 2a k ， k N ,则 2a k ， 当 2a 是偶数时，可设 2 ,k m m N   ，得 1 4 ,a m 2 2a m ， 3a m ， 则 1 2 3 7 25a a a m    ，此时 m 不存在． 当 2a 是奇数时，可设 2 1,k m m N    ，得 1 4 2a m  ， 2 2 1a m  ， 3 2 4a m  ，则 1 2 3 8 1 25a a a m     ，得 3m  ，得 1 10a  ． 综合①②可得， 1 7a  或 1 10a  ． （3）充分性：若 na 为奇数，则 1n na a m m    ； 必要性：先利用数学归纳法证： na m （ na 为奇数）； 2na m （ na 为偶数）． ① 1 1a m  ， 2 1 2a m m   ， 3 1 2 ma m  成立； ②假设 n k 时， ka m （ ka 为奇数）； 2ka m （ ka 为偶数）． ③当 1n k  时，当 ka 是偶数， 1 2 k k aa m   ；当 ka 是奇数， 1 2k ka a m m    ，此时 1ka  是偶数． 综上，由数学归纳法得 na m （ na 为奇数）； 2na m （ na 为偶数）． 从而若 1na m  时，必有 1na  是偶数．进而若 na 是偶数，则 12 2n na a m  矛盾，故 na 只 能为奇数． - 14 - 【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的 证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明. - 15 -