安徽省2013届高三第一次“四校”联考数学（理）试题

安徽省2013届高三第一次“四校”联考数学（理）试题

‎2012-2013学年度四校第一次联考 理科数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、若向量，，满足∥，且，则等于（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎3、命题，使；，都有．给出下列结论：‎ ‎①命题“”为真； ② 命题“”为假；‎ ‎③ 命题“”为真； ④ 命题“”为假．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．②④ B．②③ C．③④ D． ①②③‎ ‎4、以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ 开始 z=z·z0‎ n=n+1‎ n= 1‎ 结束 n>2013‎ Y 输出z N C． D．‎ ‎5、设，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6、设等比数列{an}的前n项和为Sn． 若，‎ 则a4=（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7、执行如图所示的程序框图，则输出的复数是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8、函数的图象大致是 A B C D ‎9、已知实数x，y满足，且，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎10、已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）‎ A．当时，有4个零点；当时，有1个零点；‎ B．当时，有3个零点；当时，有2个零点；‎ C．无论a为何值，均有2个零点；‎ D．无论a为何值，均有4个零点．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卷相应位置上．‎ ‎11、若的展开式中的第5项为常数，‎ 则________．‎ ‎12、某班有50名学生，一次数学考试的成绩 ‎ ‎，且，‎ 估计该班学生这次数学成绩在110分以上的人数 为__________ ．‎ ‎13、一个几何体的三视图及其有关数据如右图所示，‎ 则这个几何体的体积是____________ ．‎ ‎14、直三棱柱中，若，，则异面直线与[来源:学#科#网]‎ 所成角的大小为________ ．‎ ‎15、设的定义域是．给出下列几个命题：‎ ‎①在处取得小值；②是的一个单调递减区间；‎ ‎③的最大值为2；‎ ‎④使得取得最大值的点仅有一个 其中正确命题的序号是___________．（将你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16、（本小题满分12分）‎ 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）在中，，求的值．‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 甲、乙两只鸽子随机地飞入并排放置的6个小笼中的两个笼子（如图，其中数字代表笼子的序号）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（I）求甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数的概率；‎ ‎（II）记X=“甲、乙之间的笼子个数”，求X的分布列与期望．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图所示的多面体中，，面，，、分别是所在线段的中点，为矩形．‎ ‎（I）求证：∥面；‎ ‎（II）求平面与平面所成锐二面角大小．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 数列中，，；数列满足 ‎．‎ ‎（I）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求中最大项与最小项．‎ ‎20、（本小题满分13分）‎ 过抛物线上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．‎ ‎(Ⅰ) 求点P的坐标(用A、B的横坐标和表示)；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，试求的值．‎ ‎21、（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当时，求的单调区间；‎ ‎（II）若，求证：函数只有一个零点x0，且；‎ ‎（III）当时，记函数的零点为x0，若对任意且，都有成立，求实数m的最大值．‎ ‎（本题可参考数据：，，）‎ ‎ ‎ ‎2012-2013学年度四校第一次联考 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B B A B A B C A[来源:Z+xx+k.Com]‎ 二、填空题 ‎11、12　　　12、 10 13、 14、 15、②③④‎ 三、解答题 ‎16、解：（I）由 ； ……………………4分 ‎（II）由（I）知 ‎　　……………①‎ ‎，而，∴‎ 从而 　　　　　　……………②‎ 由①② ‎ 由 ……………………12分 ‎17、解：（I）； ……………………4分 ‎（II）X所有可能的取值为：0，1，2，3，4．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎[来源:学科网]‎ ‎． 　 ……………………12分 ‎18、解：以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间右手直角坐标系，则 ‎，，‎ ‎ …………………… 2分 ‎（I）∵，∴，‎ 而为面PAC的一个法向量， ∴ MN//面PAC； …………………… 6分 ‎（II），设面MNC的一个法向量为，‎ 由 ，可取，则．‎ 取面PAC的一个法向量，则，∴．‎ ‎ …………………… 12分 ‎19、解：（I），‎ ‎∴是公差为1的等差数列； …………………… 4分 又， ，　∴可求出 ， ‎ ‎ ∴．　　∴ ；　　　　　　　　　　…………………… 8分 ‎（II）令，则　，∴在及均递减，‎ ‎∴，，‎ 又当时，；当时，，‎ ‎∴ 最大项为，最小项为． …………………… 12分 ‎20、解：（Ⅰ）由已知可得两条切线的方程分别为：‎ ‎ AP：， BP：，‎ 联立上述两个方程解得； ……………………………… 4分 ‎（Ⅱ）设A、B的横坐标分别为和，由抛物线的定义可知：‎ ‎， ‎ ‎∴ ；‎ 另一方面，∵ F ，，‎ 从而 ‎ ‎∴　 ； ‎ ‎ ………………………………8分[来源:学.科.网]‎ ‎（Ⅲ）在（1）中所求得的两条切线方程中分别令即求出：，，‎ ‎∴ ， 又，∴ ；‎ ‎，‎ 的方程为：，故 点O到的距离为：，‎ ‎∴ ， 即 ， ‎ ‎ ∴ ． ………………………………13分 ‎21、解：（I）的定义域为．‎ ‎． 令或．‎ 当时，，函数与随x的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎―‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎―‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．‎ ‎…………………… 4分 ‎（II）证明：当时，‎ 由（I）知，的极小值为，极大值为．‎ 因为，‎ ‎，‎ 且在上是减函数，所以至多有一个零点．‎ 又因为，[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 所以函数只有一个零点x0，且 …………………… 9分 ‎（III）因为，‎ 所以任意且，‎ 由（II）可知，且．‎ 因为函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以 ．‎ 当时，‎ 所以 所以的最小值为 所以使得恒成立的m的最大值为 …………………… 14分 ‎ ‎