上海市嘉定区2020届高三上学期期中考试数学试题
嘉定区2019-2020学年第一学期期中考试
高三数学（卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.
1.函数的最小正周期为__ __．
【答案】
【解析】
试题分析：根据三角函数周期公式
考点：正余弦函数的周期公式
2.设，，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据指数函数的性质求出集合B，再进行集合运算即可．
【详解】由在R上为增函数，所以，
∴＝{x|x<1}，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题．
3.不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
原不等式即为或，分别解出，再求交集即可．
【详解】不等式10
即为0，
即为或，
即有x∈∅或x4，
则解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
4.命题A：|x－1|＜3，命题B：(x＋2)(x＋a)＜0；若A是B的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】(－∞,－4)
【解析】
【详解】对于命题A：∵|x－1|＜3，∴-2
4,即实数a的取值范围是(－∞,－4)
5.己知是函数的反函数，且.则实数________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由y＝f﹣1（x）是函数y＝x3+a的反函数且f﹣1（2）＝1知2＝13+a，从而解得．
详解】∵f﹣1（2）＝1，
∴2＝13+a，
解得，a＝1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用，属于基础题．
6.已知，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可．
【详解】∵第四象限角，，∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
7.在中角所对的边分别为，若则___________
【答案】
【解析】
,；由正弦定理，得，解得.
考点：正弦定理.
8.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝ ．（用数值表示）
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得，
从而由三角函数的定义可知，
从而＝．
故答案为：．
考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．
9.定义在R上的偶函数在为单调递增，则不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由偶函数的性质，再结合函数的单调性可得，再解绝对值不等式即可得解.
【详解】解：因为函数为定义在R上的偶函数，则由可得，又函数在为单调递增，则，解得，
故不等式的解集是：.
【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.
10.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，将其图象向右平移个单位，得
，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.
考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.
11.函数，的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
用三角函数的恒等变换化简f（x），结合基本不等式求出f（x）的最值即可.
【详解】
此时时取等，
但，所以，当时，有最小值为5，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目．
12.若关于的不等式的解集恰好是，则 ．
【答案】4
【解析】
【详解】试题分析： 设，对称轴为，此时，有题意可得;,且，由，解得：（舍去）或，可得，由抛物线的对称轴为得到，所以
考点：二次函数的性质
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程，得出的值，然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.
【详解】解方程，得，
因此，“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.
14.下列函数是在为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．
【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；
指数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；
余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；
反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；
故选：C.
【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．
15.已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定二次函数对称轴为，代入得，再结合定义域和函数图像的对称性可求得的取值范围
【详解】
如图，二次函数对称轴为，代入得，当时，，由二次函数的对称性可知，，的值域是，所以
故选：C
【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围，二次函数对称性问题，是基础题型，常规求解思路为：先确定对称轴，再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间
16.在中，，则角A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．
详解】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b2+c2﹣bc，
变形得：b2+c2﹣a2≥bc，
∴cosA，
又∵A为三角形的内角，
∴A的取值范围是（0，]．
故选：A．
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.已知.
（1）解关于x的不等式：.
（2）已知，，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将绝对值去掉，转化为两个一元二次不等式，解出后取并集即可.
（2）先化简集合B，由分、、、四种情况分别求解即可.
【详解】（1）∵即，
∴，或
由，即，得
由，即
∵，∴；
综上，.
（2）∵，∴A是B的子集；
由，解得，或；∴
（i）当时，，解得
（ii）时，可知，，得：
检验：，，可得，满足题意；
（iii）时，可知，，解得：
检验：，，解得，，符合题意；
（iv）时，由韦达定理可知，且，无解；
综上，
【点睛】本题考查了集合的基本关系，二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.
18.设的三个内角A，B，C的对均分别为a，b，c.满足：
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）；（2）为等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，可得tanA，从而可求A的大小；
（2）利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状．
【详解】（1）由正弦定理进行边角互化：
，又∴
（2）∵，
∴1﹣cosB+1﹣cosC＝1，
∴cosB+cosC＝1，
∴cosB+cos（120°﹣B）＝1，
∴cosBcosBsinB＝1，
∴cosBsinB＝1，
∴sin（B+30°）＝1，
∴B＝60°，
∴C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键．
19.已知我国华为公司生产某款手机年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且.
(Ⅰ)写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；
(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．
试题解析：（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）①当时，，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，
综合①②可知，当时，取得最大值为.
20.已知函数，其中.
（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）令，的最大值为A，函数在区间上单调递增函数，求的取值范围；
（3）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值.
【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）特值法：ω＝1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（
），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；
（2）当时，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h（x），进而求得h（x）的最大值A，由题意可知：对称轴，解得，即可求得θ的取值范围．
（3）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；
【详解】（1）当时，f（x）＝2sinx，
∴F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），
F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），
所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）当时，
∵∴
由题意，在区间上单调递减
∴抛物线对称轴，即
∴
（3）f（x）＝2sin2x，
将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2（x）+1的图象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．
令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
【点睛】本题考查二次函数性质，两角和的正弦公式，辅助角公式、诱导公式，，考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查分类讨论思想，属于中档题.
21.已知函数是奇函数（其中）
（1）求实数m的值；
（2）已知关于x的方程在区间上有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当时，的值域是，求实数n与a的值.
【答案】（1）；（2）；（3），.
【解析】
【分析】
（1）由f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），结合对数的真数大于0求出m的值；
（2）由题意问题转化为求函数在x∈[2，6]上的值域，求导判断出单调性，进而求得值域，可得k的范围．
（3）先判定函数的单调性，进而由x时，f（x）的值域为（1，+∞），根据函数的单调性得出n与a的方程，从而求出n、a的值．
【详解】（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴logalogaloga，
∴，
即1﹣m2x2＝1﹣x2对一切x∈D都成立，
∴m2＝1，m＝±1，
由于0，∴m＝﹣1；
（2）由（1）得，，∴
即，令，
则，
∴在区间上单调递减，当时，；当时，；所以，.
（3）由（1）得，，且
∵在与上单调递减
∵x∈（n，a﹣2），定义域D＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
①当n≥1时，则1≤n＜a﹣2，即a＞1+2，
∴f（x）在（n，a﹣2）上为减函数，值域为（1，+∞），
∴f（a﹣2）＝1，
即a，
∴a3，或a1（不合题意，舍去），且n＝1；
②当n＜1时，则（n，a﹣2）⊆（﹣∞，﹣1），
∴n＜a﹣21，
即a＜21，
且f（x）在（n，a﹣2）上的值域是（1，+∞）；
∴f（a﹣2）＝1，
即a，
解得a3（不合题意，舍去），或a1；
此时n＝﹣1（舍去）；
综上，a3，n＝1．
【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根，不等式以及单调性与奇偶性的综合运用，涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用，属中档题．
