数学卷·2017届上海市嘉定区高三下学期教学质量调研考试（二模）（2017

数学卷·2017届上海市嘉定区高三下学期教学质量调研考试（二模）（2017

‎2016-2017学年度嘉定区高三年级第二次质量调研 数 学 试 卷 2017.04‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）‎ 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1．函数的最小正周期是________________．‎ ‎2．设为虚数单位，复数，则____________．‎ ‎3．设为的反函数，则_____________．‎ ‎4．_______________．‎ ‎5．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成角的大小是______________．‎ ‎6．设等差数列的前项和为，若，则___________．‎ ‎7．直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点的个数 是______________．‎ ‎8 ．已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线 的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________．‎ ‎9．若，则满足的的取值范围是_______________．‎ ‎10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲 组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种 新产品研发成功的概率为______________．‎ ‎11．设等差数列的各项都是正数，前项和为，公差为．若数列也是公差 为的等差数列，则的通项公式为_____________．‎ ‎12．设，用表示不超过的最大整数（如，），对于给定 的，定义，其中，则当时，‎ 函数的值域是____________________．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13．命题“若，则”的逆否命题是………………………………（ ）．‎ ‎（A）若，则 （B）若，则 ‎（C）若，则 （D）若，则 D A B C D1‎ F H E M N G A1‎ B1‎ C1‎ ‎14．如图，在正方体中，、是 的三等分点，、是的三等分点，、‎ 分别是、的中点，则四棱锥 的左视图是…………………………………………（ ）．‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎15．已知△是边长为的等边三角形，、是△内部两点，且满足 ‎，，则△的面积为…………………（ ）．‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎16．已知是偶函数，且在上是增函数，若在 上恒成立，则实数的取值范围是……………………………………（ ）．‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在△中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，．‎ ‎（1）求△的面积；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ A B C D E F H G A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 如图，在长方体中，，，，平面截长方体得到一个矩形，且，．‎ ‎（1）求截面把该长方体分成的两部分体积之比；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 如图，已知椭圆：（）过点，两个焦点为和．圆的方程为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ y F1‎ ‎·‎ ‎·‎ F2‎ O A B x P Q ‎（2）过且斜率为（）的动直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点（点、在轴上方），当，，成等差数列时，求弦的长．‎ ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”．‎ ‎（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合；若不具有“性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；‎ ‎（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有个公共点，求实数的值．‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 给定数列，若满足（且），对于任意的，都有，则称数列为指数数列．‎ ‎（1）已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是指数数列（需说明理由）；‎ ‎（2）若数列满足：，，，证明：是指数数列；‎ ‎（3）若数列是指数数列，（），证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．‎ ‎2016-2017学年度嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷参考答案与评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6．‎ ‎7． 8． 9． 10． 11． 12．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）‎ ‎13．D 14．C 15．A 16．B 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）因为，所以由正弦定理得， ……………………（1分）‎ 又，故，， ……………………………………………（3分）‎ 所以，因为，所以．………（5分）‎ 所以．………………………………（6分）‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，，……………（4分）‎ ‎，因为，所以为锐角，所以（或由得到，）．………………………………（5分）‎ 所以，． ………………………（8分）‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）由题意，平面把长方体分成两个高为的直四棱柱，‎ ‎， ………………（2分）‎ ‎， …………………（4分）‎ 所以，．………………………………………………………………（6分）‎ ‎（2）解法一：‎ 作，垂足为，由题意，平面，故，‎ 所以平面． ………………………………………………………………（2分）‎ 因为，，所以，）‎ 因为，所以． ……………………………………………………（4分）‎ 又， ……………………………………………（6分）‎ 设直线与平面所成角为，则．………………………（7分）‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为． …………………（8分）‎ 解法二：‎ 以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，， ………………………（2分）‎ 故，， …………………………………（3分）‎ 设平面一个法向量为，则即 所以可取． ……………………………………………………………（5分）‎ 设直线与平面所成角为，则． ……………………（7分）‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为． ………………………………（8分）‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）由题意，， ………………………………………………………………（1分）‎ 设椭圆的方程为，将点代入，‎ ‎，解得（舍去）， ………………………………（3分）‎ 所以，椭圆的方程为． ………………………………………………（4分）‎ ‎（2）由椭圆定义，，，两式相加，得 ‎，因为，，成等差数列，所以 ‎，于是，即． …………………（3分）‎ 设，由解得，…………………（5分）‎ ‎（或设，则，解得，，所以）．‎ 所以，，直线的方程为，即，……（6分）‎ 圆的方程为，圆心到直线的距离， ………………（7分）‎ 此时，弦的长． …………………………………………（8分）‎ ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ ‎（1）由题意，，‎ 即对于任意实数成立， …………………………………………（1分）‎ 由诱导公式，函数具有“性质”，且所有的值的集合为． ……………………………………………………………（4分）‎ ‎（2）因为函数具有“性质”，所以，‎ 即是偶函数． ………………………………………………………………（1分）‎ 所以当时，，． ……………（2分）‎ 当时，函数在上递增，值域为． ……………（3分）‎ 当时，函数在上递减，在上递增，，，值域为． …………………………………（4分）‎ 同理，当时，，，值域为．…（5分）‎ 当时，函数在上递减，值域为． ……………（6分）‎ ‎（3）由题意，函数偶函数，又，‎ 所以函数是以为周期的函数． …………………………………………（1分）‎ 因为当时，，所以当时，，， …………………………………………………………（2分）‎ 一般地，当（）时，． …………………（3分）‎ 作出函数的图像，可知，当时，函数与直线交于点()，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分）‎ 当时，在区间上，函数有个周期，要使函数的图像与直线有个交点，则直线在每个周期内都有个交点，且第个交点恰好为，所以．‎ 同理，当时，．‎ 综上，． ……………………………………………………（6分）‎ ‎ （的值漏掉一个扣分）‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ ‎（1）对于数列，，，，因为，所以不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分）‎ 对于数列，对任意，因为，所以是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分）‎ ‎（2） 由题意，，所以数列是首项为，公比为的等比数列． ……………………………………………………………………（2分）‎ 所以．所以，‎ ‎，即的通项公式为（）． ………………（5分）‎ 所以，故是指数数列． …………………………（6分）‎ ‎（3）因为数列是指数数列，故对于任意的，有，令，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，． …………………………………………………………………………（2分）‎ 假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，‎ 则由，得，‎ 所以， ………………………………（3分）‎ 当为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，‎ 故不能成立； …………………………（5分）‎ 当为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，‎ 故也不能成立．…………………………（7分）‎ 所以，对任意，不能成立，即数列的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分）‎ ‎（另证：因为对任意，一定是偶数，而与为一奇一偶，故与也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立．）‎