高考理数 不等式及其解法
§7.1
不等式及其解法
高考理数
(课标专用
)
A组 统一命题·课标卷题组
考点 不等式的概念和性质
1.
(2018课标Ⅲ,12,5分)设
a
=log
0.2
0.3,
b
=log
2
0.3,则
( )
A.
a
+
b
<
ab
<0 B.
ab
<
a
+
b
<0 C.
a
+
b
<0<
ab
D.
ab
<0<
a
+
b
五年高考
答案 B
本题考查不等式及对数运算.
解法一:∵
a
=log
0.2
0.3>log
0.2
1=0,
b
=log
2
0.3
ab
,∴
ab
<
a
+
b
<0.故选B.
方法总结
比较代数式大小的常用方法
(1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断
差的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法.
(2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对
商式分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.
(4)特值验证法:对于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小.
2
.(2014课标Ⅰ,9,5分,0.700)不等式组
的解集记为
D
.有下面四个命题:
p
1
:
∀
(
x
,
y
)∈
D
,
x
+2
y
≥
-2,
p
2
:
∃
(
x
,
y
)∈
D
,
x
+2
y
≥
2,
p
3
:
∀
(
x
,
y
)∈
D
,
x
+2
y
≤
3,
p
4
:
∃
(
x
,
y
)∈
D
,
x
+2
y
≤
-1.
其中的真命题是
( )
A.
p
2
,
p
3
B.
p
1
,
p
2
C.
p
1
,
p
4
D.
p
1
,
p
3
答案 B
设
x
+2
y
=
m
(
x
+
y
)+
n
(
x
-2
y
),
则
解得
∵
∴
(
x
+
y
)
≥
,-
(
x
-2
y
)
≥
-
,
∴
x
+2
y
=
(
x
+
y
)-
(
x
-2
y
)
≥
0.
∴
x
+2
y
的取值范围为[0,+
∞
).故命题
p
1
,
p
2
正确,
p
3
,
p
4
错误.
方法总结
由
a
<
f
(
x
,
y
)<
b
,
c
<
g
(
x
,
y
)<
d
求
F
(
x
,
y
)的取值范围,可利用待定系数法解决,一般设
F
(
x
,
y
)=
mf
(
x
,
y
)+
ng
(
x
,
y
),用恒等变形求得
m
,
n
,再利用不等式的性质求得
F
(
x
,
y
)的取值范围.
一题多解
不等式组
表示的平面区域
D
如图阴影区域所示.
设
z
=
x
+2
y
,作出基本直线
l
0
:
x
+2
y
=0,经向上平移可知目标直线
l
:
z
=
x
+2
y
经过点
A
(2,-1)时
z
取得最
小值0,并且目标直线平移时,在
y
轴上的截距可以无限增大,∴
z
的取值范围为[0,+
∞
),故
p
1
,
p
2
为
真,
p
3
,
p
4
为假.故选B.
考点一 不等式的概念和性质
1
.(2017山东,7,5分)若
a
>
b
>0,且
ab
=1,则下列不等式成立的是( )
A.
a
+
<
y
>0,则
( )
A.
-
>0 B.sin
x
-sin
y
>0
C.
-
<0 D.ln
x
+ln
y
>0
答案 C
函数
y
=
在(0,+
∞
)上为减函数,
∴当
x
>
y
>0时,
<
,
即
-
<0,故C正确;
函数
y
=
在(0,+
∞
)上为减函数,
∴由
x
>
y
>0
⇒
<
⇒
-
<0,故A错误;
函数
y
=sin
x
在(0,+
∞
)上不单调,
当
x
>
y
>0时,不能比较sin
x
与sin
y
的大小,故B错误;
当
x
>0且
y
>0时,ln
x
+ln
y
>0
⇔
ln
xy
>0
⇔
xy
>1,
而
x
>
y
>0
xy
>1,故D错误.
3
.(2014山东,5,5分)已知实数
x
,
y
满足
a
x
<
a
y
(0<
a
<1),则下列关系式恒成立的是
( )
A.
>
B.ln(
x
2
+1)>ln(
y
2
+1)
C.sin
x
>sin
y
D.
x
3
>
y
3
答案 D
∵
a
x
<
a
y
,0<
a
<1,∴
x
>
y
,∴
x
3
>
y
3
.
4.
(2014四川,4,5分)若
a
>
b
>0,
c
<
d
<0,则一定有
( )
A.
>
B.
<
C.
>
D.
<
答案 D
解法一:
⇒
<
<0
⇒
<
<0
⇒
>
⇒
<
.
解法二:依题意取
a
=2,
b
=1,
c
=-2,
d
=-1,代入验证得A、B、C均错,只有D正确.
考点二 不等式的解法
1.(
2018北京,8,5分)设集合
A
={(
x
,
y
)|
x
-
y
≥
1,
ax
+
y
>4,
x
-
ay
≤
2},则
( )
A.对任意实数
a
,(2,1)∈
A
B.对任意实数
a
,(2,1)
∉
A
C.当且仅当
a
<0时,(2,1)
∉
A
D.当且仅当
a
≤
时,(2,1)
∉
A
答案 D
本题主要考查不等式组的解法,元素与集合的关系.
若(2,1)∈
A
,则有
解得
a
>
.结合四个选项,只有D说法正确.故选D.
易错警示
注意区分集合条件中的“或”与“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认
为是“或”而错选A.
2
.(2014江苏,10,5分)已知函数
f
(
x
)=
x
2
+
mx
-1,若对于任意
x
∈[
m
,
m
+1],都有
f
(
x
)<0成立,则实数
m
的
取值范围是
.
答案
解析
要满足
f
(
x
)=
x
2
+
mx
-1<0对于任意
x
∈[
m
,
m
+1]恒成立,
只需
即
解得-
<
m
<0.
考点一 不等式的概念和性质
1
.(2016浙江,8,5分)已知实数
a
,
b
,
c
.
( )
A.若|
a
2
+
b
+
c
|+|
a
+
b
2
+
c
|
≤
1,则
a
2
+
b
2
+
c
2
<100
B.若|
a
2
+
b
+
c
|+|
a
2
+
b
-
c
|
≤
1,则
a
2
+
b
2
+
c
2
<100
C.若|
a
+
b
+
c
2
|+|
a
+
b
-
c
2
|
≤
1,则
a
2
+
b
2
+
c
2
<100
D.若|
a
2
+
b
+
c
|+|
a
+
b
2
-
c
|
≤
1,则
a
2
+
b
2
+
c
2
<100
C组 教师专用题组
答案 D
利用特值法验证.令
a
=3,
b
=3,
c
=-11.5,排除A;令
a
=4,
b
=-15.5,
c
=0,排除B;令
a
=11,
b
=-10.
5,
c
=0,排除C,故选D.
2
.(2015湖北,10,5分)设
x
∈R,[
x
]表示不超过
x
的最大整数.若存在实数
t
,使得[
t
]=1,[
t
2
]=2,
…
,[
t
n
]=
n
,则正整数
n
的最大值是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
若
n
=3,则
即
得9
≤
t
6
<16,∴当
≤
t
<
时,有[
t
]=1,[
t
2
]=2,[
t
3
]=3,
∴
n
=3符合题意.
若
n
=4,则
即
得3
4
≤
t
12
<5
3
,
∴当
≤
t
<
时,有[
t
]=1,[
t
2
]=2,[
t
3
]=3,[
t
4
]=4,
故
n
=4符合题意.
若
n
=5,则
即
①
∵6
3
<3
5
,∴
<
,故①无解,
∴
n
=5不符合题意,则正整数
n
的最大值为4.
考点二 不等式的解法
1
.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m
2
的内接矩形花园(阴影部分),则其边长
x
(单位:m)的取值范围是
( )
A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]
答案 C
矩形的一边长为
x
m,则由相似三角形得其邻边长为(40-
x
)m,故矩形面积
S
=
x
(40-
x
)=-
x
2
+40
x
,由
S
≥
300得-
x
2
+40
x
≥
300,解得10
≤
x
≤
30.
2
.(2014浙江,6,5分)已知函数
f
(
x
)=
x
3
+
ax
2
+
bx
+
c
,且0<
f
(-1)=
f
(-2)=
f
(-3)
≤
3,则
( )
A.
c
≤
3 B.3<
c
≤
6 C.6<
c
≤
9 D.
c
>9
答案 C
由
得
解得
则有
f
(-1)=
c
-6,由0<
f
(-1)
≤
3,得6<
c
≤
9.
3
.(2013安徽,6,5分)已知一元二次不等式
f
(
x
)<0的解集为
,则
f
(10
x
)>0的解集为
( )
A.{
x
|
x
<-1或
x
>-lg 2} B.{
x
|-1<
x
<-lg 2}
C.{
x
|
x
>-lg 2} D.{
x
|
x
<-lg 2}
答案 D
依题意知
f
(
x
)>0的解集为
,令-1<10
x
<
,解得
x
D.
a
2
>
ab
>
b
2
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
三年模拟
答案 D
选项A,∵
c
为实数,∴取
c
=0,得
ac
2
=0,
bc
2
=0,此时
ac
2
=
bc
2
,故选项A不正确;选项B,
-
=
,∵
a
<
b
<0,∴
b
-
a
>0,
ab
>0,∴
>0,即
>
,故选项B不正确;选项C,∵
a
<
b
<0,∴取
a
=-2,
b
=-
1,则
=
=
,
=2,此时
<
,故选项C不正确;选项D,∵
a
<
b
<0,∴
a
2
-
ab
=
a
(
a
-
b
)>0,∴
a
2
>
ab
,又∵
ab
-
b
2
=
b
(
a
-
b
)>0,∴
ab
>
b
2
,故选项D正确,故选D.
2
.(2018河南商丘4月联考,4)若
a
<
b
<0,则下列不等关系中,不成立的是
( )
A.
>
B.
>
C.
<
D.
a
2
>
b
2
答案 B
对于A,
a
<
b
<0,两边同除以
ab
可得
>
,故A成立;对于B,
a
<
b
<0,则
a
<
a
-
b
<0,两边同除
以
a
(
a
-
b
)可得
<
,故B不成立;对于C,根据幂函数的单调性可知C成立;对于D,
a
<
b
<0,则
a
2
>
b
2
,故D成立,故选B.
3.
(2018江西南昌二中月考,4)若
a
>1,0<
c
<
b
<1,则下列不等式不正确的是
( )
A.log
a
2 018>log
b
2 018 B.log
b
a
(
c
-
b
)
b
a
D.(
a
-
c
)
a
c
>(
a
-
c
)
a
b
答案 D ∵
a
>1,0<
c
<
b
<1,∴log
a
b
<0,log
a
2 018>0,
∴log
b
2 018=
log
a
b
>log
a
c
,∴
<
,∴log
b
a
(
c
-
b
)
b
a
,∴C正确;
∵
a
c
<
a
b
,
a
-
c
>0,∴(
a
-
c
)
a
c
<(
a
-
c
)
a
b
,∴D错误.故选D.
4
.(2017河南百校联盟模拟,6)设
a
,
b
∈R,则“(
a
-
b
)
a
2
≥
0”是“
a
≥
b
”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
当(
a
-
b
)
a
2
≥
0时,由
a
2
≥
0得
a
-
b
≥
0,即
a
≥
b
,反之也成立,故“(
a
-
b
)
a
2
≥
0”是“
a
≥
b
”
的充要条件.
5.
(2016河南洛阳期中,1)若
a
<
b
<0,则下列结论不正确的是
( )
A.
>
B.
>0
C.
a
2
<
b
2
D.
a
3
<
b
3
答案 C
∵
a
<
b
<0,且
y
=
x
2
在(-
∞
,0)上单调递减,故
a
2
>
b
2
,C错误.
考点二 不等式的解法
1.
(2018福建四地六校4月联考,6)已知函数
f
(
x
)=
若
f
(2-
x
2
)>
f
(
x
),则实数
x
的取值范围
是( )
A.(-
∞
,-1)
∪
(2,+
∞
) B.(-
∞
,-2)
∪
(1,+
∞
)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
答案 D
易知
f
(
x
)在R上是增函数,∵
f
(2-
x
2
)>
f
(
x
),∴2-
x
2
>
x
,解得-2<
x
<1,则实数
x
的取值范围是(-
2,1).故选D.
2
.(2017河北重点八所中学一模,7)不等式2
x
2
-
x
-3>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
2
x
2
-
x
-3>0
⇒
(
x
+1)(2
x
-3)>0,解得
x
>
或
x
<-1.∴不等式2
x
2
-
x
-3>0的解集为
x
x
>
或
x
<-1
,故选B.
3.
(2018河南中原名校联考,13)已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数.当
x
>0时,
f
(
x
)=
x
2
-2
x
,则不等式
f
(
x
)>
x
的解集用区间表示为
.
答案
(-3,0)
∪
(3,+
∞
)
解析
设
x
<0,则-
x
>0,因为
f
(
x
)是奇函数,所以
f
(
x
)=-
f
(-
x
)=-(
x
2
+2
x
).又
f
(0)=0,于是不等式
f
(
x
)>
x
等价
于
或
解得
x
>3或-3<
x
<0.
故不等式的解集为(-3,0)
∪
(3,+
∞
).
4.
(2016福建泉州3月质检,14)设函数
f
(
x
)=
则使得
f
(
x
)
≤
1成立的
x
的取值范围是
.
答案
[-1,9]
解析
由
得0
≤
x
≤
9,由
得-1
≤
x
<0,故
f
(
x
)
≤
1的解集为[-1,9].
1.
(2018湖南湘东4月联考,11)若
∀
x
∈R,函数
f
(
x
)=2
mx
2
-2(4-
m
)
x
+1与
g
(
x
)=
mx
的值至少有一个为
正数,则实数
m
的取值范围为
( )
A.(0,4] B.(0,8) C.(2,5) D.(-
∞
,0)
B组 2016—2018年高考模拟·综合题组
(时间:15分钟 分值:30分)
选择题(每题5分,共30分)
答案 B
当
m
<0且
x
趋于+
∞
时,函数
f
(
x
)=2
mx
2
-2(4-
m
)
x
+1与
g
(
x
)=
mx
的值均为负值,不符合题意.
当
m
=0时,
g
(
x
)=0,
f
(
x
)=-8
x
+1,当
x
≥
时,
f
(
x
)
≤
0,
g
(
x
)=0,不符合题意.
∴
m
>0,易知
f
(
x
)的图象的对称轴为
x
=
,
f
(0)=1>0,当
≥
0,即0<
m
≤
4时,函数
f
(
x
)的图象
与
x
轴的交点都在
y
轴右侧,如图1所示,符合题意;
当
<0,即
m
>4时,要满足题意,需
f
(
x
)的图象在
x
轴上方,如图2所示,则
Δ
=4(4-
m
)
2
-8
m
=4(
m
-8)(
m
-2)<0,则4<
m
<8.
综上可得0<
m
<8.故选B.
名师点拨
易检验
m
≤
0时不满足条件,故关键是求
m
>0时满足条件的范围,
m
>0时,要讨论
f
(
x
)
的图象相对
g
(
x
)图象的位置,此时应从
f
(
x
)图象的对称轴入手,结合具体图象求解.
2
.(2018山东聊城一模,10)已知函数
f
(
x
)=|
x
|(10
x
-10
-
x
),不等式
f
(1-2
x
)+
f
(3)>0的解集为
( )
A.(-
∞
,2) B.(2,+
∞
) C.(-
∞
,1) D.(1,+
∞
)
答案 A
由于
f
(-
x
)=-
f
(
x
),所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故
f
(1-2
x
)+
f
(3)>0
⇒
f
(1-2
x
)>-
f
(3)=
f
(-3),所以1-2
x
>-3,故选A.
思路分析
根据条件判断函数的奇偶性和单调性,结合奇偶性和单调性的性质将不等式进行
转化求解即可.
解题关键
本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的
关键.
3
.(2018河南豫北名校4月联考,10)已知函数
f
(
x
)=e
1+
x
+e
1-
x
,则满足
f
(
x
-2)0的解集是( )
A.(-
∞
,-1)
∪
(3,+
∞
) B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(-
∞
,1)
∪
(3,+
∞
)
答案 C
关于
x
的不等式
ax
-
b
<0的解集是(1,+
∞
),即不等式
ax
<
b
的解集是(1,+
∞
),∴
a
=
b
<0,∴
不等式(
ax
+
b
)(
x
-3)>0可化为(
x
+1)(
x
-3)<0,解得-1<
x
<3,∴所求解集是(-1,3).故选C.
解题关键
根据不等式
ax
-
b
<0的解集得出
a
=
b
<0是解题的关键.
5.
(2016湖北优质高中联考,7)已知
g
(
x
)是R上的奇函数,当
x
<0时,
g
(
x
)=-ln(1-
x
),且
f
(
x
)=
若
f
(2-
x
2
)>
f
(
x
),则实数
x
的取值范围是
( )
A.(-
∞
,1)
∪
(2,+
∞
) B.(-
∞
,-2)
∪
(1,+
∞
)
C.(1,2)
D.(-2,1)
答案 D
若
x
>0,则-
x
<0,所以
g
(
x
)=-
g
(-
x
)=ln(
x
+1),所以
f
(
x
)=
则函数
f
(
x
)是R上的
增函数,所以当
f
(2-
x
2
)>
f
(
x
)时,2-
x
2
>
x
,解得-2<
x
<1,故选D.
思路分析
由已知条件得
x
>0时
g
(
x
)的解析式,进而得
f
(
x
)在R上的单调性,从而将原不等式化为
一元二次不等式,然后求解即可.
6
.(2017河北武邑中学第三次调研,9)已知定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足:当
x
≥
0时,
f
(
x
)=
x
3
,若不
等式
f
(-4
t
)>
f
(2
m
+
mt
2
)对任意实数
t
恒成立,则实数
m
的取值范围是
( )
A.(-
∞
,-
)
B.(-
,0)
C.(-
∞
,0)
∪
(
,+
∞
) D.(-
∞
,-
)
∪
(
,+
∞
)
答案 A
∵
f
(
x
)在R上为奇函数,且在[0,+
∞
)上为增函数,∴
f
(
x
)在R上是增函数,结合题意得-
4
t
>2
m
+
mt
2
对任意实数
t
恒成立
⇒
mt
2
+4
t
+2
m
<0对任意实数
t
恒成立
⇒
⇒
m
∈(-
∞
,-
),故选A.
