数学卷·2018届吉林省延边州汪清六中高二下学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届吉林省延边州汪清六中高二下学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年吉林省延边州汪清六中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（　　）‎ A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．‎ ‎2．n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数y=xne﹣x，则其导数y'=（　　）‎ A．nxn﹣1e﹣x B．xne﹣x C．2xne﹣x D．（n﹣x）xn﹣1e﹣x ‎4．当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：‎ x ‎（﹣∞.1）‎ ‎1‎ ‎（1，4）‎ ‎4‎ ‎（4，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ 则函数f（x）的图象的大致形状为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．抛物线y=x2的焦点坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．方程=的解为（　　）‎ A．4 或9 B．9 C．4 D．5‎ ‎7． |x|dx等于（　　）‎ A． xdx B． dx C．（﹣x）dx+xdx D． xdx+（﹣x）dx ‎8．函数y=x3+x2﹣x+1在区间[﹣2，1]上的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．﹣4‎ ‎9．已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是（　　）‎ A．（0，0） B．（3，2） C．（2，4） D．（3，﹣2）‎ ‎10．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为　 　．‎ ‎12．与椭圆焦点相同的等轴双曲线的标准方程为　 　．‎ ‎13．用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，共有　 　个，其中偶数有　 　个（结果用数字回答）．‎ ‎14．由定积分的几何意义可知dx=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．‎ ‎（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？‎ ‎（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？‎ ‎（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？‎ ‎16．三个女生和四个男生排成一排 ‎（Ⅰ）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？‎ ‎（Ⅱ）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？‎ ‎（Ⅲ）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？‎ ‎17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．‎ ‎18．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省延边州汪清六中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（　　）‎ A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．‎ ‎【分析】根据虚数单位i及其性质，我们分别计算出i2，i3，，再根据集合元素与集合的关系，逐一判断它们与集合S的关系，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，‎ ‎∴i∉S，故A错误；‎ i2=﹣1∈S，故B正确；‎ i3=﹣i∉S，故C错误；‎ ‎∉S，故D错误；‎ 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，元素与集合的关系，其中利用虚数单位i及其性质，计算出i2，i3，，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由于要求的式子是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n，根据排列数公式得出结论．‎ ‎【解答】解：∵n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n，‎ 故（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数y=xne﹣x，则其导数y'=（　　）‎ A．nxn﹣1e﹣x B．xne﹣x C．2xne﹣x D．（n﹣x）xn﹣1e﹣x ‎【分析】利用导数乘法法则进行计算，其中（e﹣x）′=﹣e﹣x，‎ ‎【解答】解：y′=nxn﹣1e﹣x﹣xne﹣x=（n﹣x）xn﹣1e﹣x，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查学生对导数乘法法则的运算能力，利用直接法求解．‎ ‎　‎ ‎4．当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：‎ x ‎（﹣∞.1）‎ ‎1‎ ‎（1，4）‎ ‎4‎ ‎（4，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ 则函数f（x）的图象的大致形状为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，故f（0）是函数的极小值，同理可得f（4）是函数的极大值，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：由图表可得函数f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，‎ 即函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f（0）是函数的极小值．‎ 同理，由图表可得函数f′（x）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0，‎ 即函数f（x）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f（4）是函数的极大值，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=x2的焦点坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】该抛物线的方程是x2=2py（p＞0）的形式，由此不难得到2p=1， =，所以抛物线的焦点坐标为：（0，）．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=x2的标准形式是x2=y，‎ ‎∴抛物线焦点在y轴上，开口向上，可得2p=1， =‎ 因此，抛物线的焦点坐标为：（0，）‎ 故选D ‎【点评】本题给出抛物线的标准方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．方程=的解为（　　）‎ A．4 或9 B．9 C．4 D．5‎ ‎【分析】利用组合数的性质，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：方程=，可得x=3x﹣8，或x+3x﹣8=28，‎ 解得x=4或x=9．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查组合数的性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7． |x|dx等于（　　）‎ A． xdx B． dx C．（﹣x）dx+xdx D． xdx+（﹣x）dx ‎【分析】根据绝对值的意义，则|x|dx=（﹣x）dx+xdx．‎ ‎【解答】解：|x|=，则|x|dx=（﹣x）dx+xdx，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查定积分的运算，考查分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=x3+x2﹣x+1在区间[﹣2，1]上的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．﹣4‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，比较端点值求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：y′=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），‎ 令y′＞0，解得：x＞或x＜﹣1，‎ 令y′＜0，解得：﹣1＜x＜，‎ ‎∴函数在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，1]递增，‎ ‎∴x=﹣1时，取极大值，极大值是2，‎ x=时，函数取极小值，极小值是，‎ 而x=﹣2时，y=﹣1，x=1时，y=2，‎ 故函数的最小值是﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是（　　）‎ A．（0，0） B．（3，2） C．（2，4） D．（3，﹣2）‎ ‎【分析】设抛物线的准线为l，过M作MB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，利用抛物线的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：设抛物线的准线为l，过M作MB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，‎ 由抛物线定义知|MF|=|MB|⇒|MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|AC|（折线段大于垂线段），当且仅当A，M，C三点共线取等号，即|MA|+|MF|最小．‎ 此时M的纵坐标为4，横坐标为2‎ 所以M（2，4）‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为　　．‎ ‎【分析】本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．‎ ‎【解答】解：长方形区域的面积为3，‎ 阴影部分部分的面积为=x3|=1，‎ 所以点M取自阴影部分部分的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎　‎ ‎12．与椭圆焦点相同的等轴双曲线的标准方程为　　．‎ ‎【分析】根据椭圆方程算出椭圆焦点坐标为（±4，0），再由等轴双曲线与椭圆共焦点，列式即可解出该双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为 ‎∴c===16，可得焦点坐标为（±4，0）‎ 由于双曲线是等轴双曲线，可设双曲线方程为（a＞0）‎ ‎∵双曲线与椭圆焦点相同，‎ ‎∴a2+a2=42=16，可得a=2‎ 因此，该双曲线方程为 故答案为：‎ ‎【点评】本题给出椭圆与等轴双曲线有相同的焦点，求双曲线的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，共有　60　个，其中偶数有　24　个（结果用数字回答）．‎ ‎【分析】用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，就是求从5个元素中抽取3个的所有排列；要使所得三位数为偶数，则必须使得个位数为2，4，再分别求当个位数为2，4时，没有重复数字的三位数的个数．‎ ‎【解答】解：用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，就是求从5个元素中抽取3个的所有排列，故有A53=60个 要使所得三位数为偶数，则必须使得个位数为2，4‎ 当个位数为2时，共有没有重复数字的三位数A42=12个 当个位数为4时，共有没有重复数字的三位数A42=12个 故三位数为偶数的共有24个 故答案为60，24．‎ ‎【点评】本题的考点是排列、组合及简单计数原理，主要考查排列的计算，考查分类计数原理，求三位数为偶数的关键是判断出必须使得个位数为2，4‎ ‎　‎ ‎14．由定积分的几何意义可知dx=　2π　．‎ ‎【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．‎ ‎【解答】解：根据定积分的几何意义，则 ‎ dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，‎ 故 dx=×π×22=2π．‎ 故答案为：2π．‎ ‎【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．‎ ‎（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？‎ ‎（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？‎ ‎（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？‎ ‎【分析】（1）分三类情况讨论：第一类从高一年级选1个班，第二类从高二年级选一个班，第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理计算可得答案；‎ ‎（2）分三步分析：第一步从高一年级选一个班，第二步从高二年级选1个班，第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法，由分步乘法计数原理计算可得答案；‎ ‎（3）分三类情况讨论：第一类从高一、高二两个年级各选一个班，第二类从高一、高三两个年级各选1个班，第三类从高二、高三年级各选一个班，由分步乘法计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，分三类情况讨论：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；‎ 第二类从高二年级选一个班，有7种不同的方法；‎ 第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．‎ 由分类加法计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法；‎ ‎（2）分三步分析：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；‎ 第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；‎ 第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．‎ 由分步乘法计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法；‎ ‎（3）分三类情况讨论，‎ 第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；‎ 第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；‎ 第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，‎ 故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法．‎ ‎【点评】本题考查分步、分类计数原理的应用，注意分析题意，明确分步分析还是分类讨论．‎ ‎　‎ ‎16．三个女生和四个男生排成一排 ‎（Ⅰ）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？‎ ‎（Ⅱ）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？‎ ‎（Ⅲ）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？‎ ‎【分析】（Ⅰ）用捆绑法，分两步进行，先3名女生看为一个整体，再将其与4名男生进行全排列，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）用插空法，分两步进行，先将4名男生全排列，有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（Ⅲ）用排除法，首先计算7人进行全排列的情况数目，再计算两端都站女生即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，的情况数目，用排除法即可得答案 ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有A33种情况，‎ 再将其与4名男生进行全排列，有A55种情况，‎ 则共有A55×A33=720种排法；‎ ‎（Ⅱ）用插空法，先将4名男生全排列，有A44种情况，‎ 排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A53种情况，‎ 则共有A44A53=1440种排法；‎ ‎（Ⅲ）用排除法，7人进行全排列，有A77种排法，‎ 两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有A32•A55种站法，‎ 则共有A77﹣A32•A55=4320种排法．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的运用，注意优先分析特殊位置、特殊元素；其次要掌握不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法等常见问题的处理方法．‎ ‎　‎ ‎17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．‎ ‎【分析】根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：‎ ‎（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜＞然后根据cos＜＞≥‎ ‎0则异面直线BE与AC所成角即为＜＞，若cos＜＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π﹣＜＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．‎ ‎（2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜，＞再根据若cos＜，＞≥0则直线BE和平面ABC的所成角为﹣＜，＞，若cos＜，＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜，＞﹣然后再根据诱导公式和cos＜，＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．‎ 则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…‎ ‎∴，‎ ‎∴COS＜＞==﹣ …‎ 所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…‎ ‎（2）设平面ABC的法向量为则 知 知取，…‎ 则…‎ 故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…‎ ‎【点评】‎ 本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（﹣1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（﹣1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；‎ ‎（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y0），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依 题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，‎ 即 解得a=1，b=0．‎ ‎∴f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．‎ 令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．‎ 若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），‎ 则f'（x）＞0，‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ 若x∈（﹣1，1），‎ 则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．‎ 所以，f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值．‎ ‎（Ⅱ）解：曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．‎ 设切点为M（x0，y0），‎ 则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．‎ 因f'（x0）=3（x02﹣1），‎ 故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）‎ 注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0）‎ 化简得x03=﹣8，‎ 解得x0=﹣2．‎ 所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．‎ ‎【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由，得．再由椭圆C经过点，能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由，‎ 得． ①…‎ 由椭圆C经过点，得． ②…‎ 联立①②，解得 b=1，． … ‎ 所以椭圆C的方程是． …‎ ‎（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．‎ 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，‎ 消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．…‎ 令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，． …‎ 所以． …‎ 因为，‎ 设 k2﹣1=t（t＞0），‎ 则． …‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时△AOB面积取得最大值．…‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算．考查运算推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎