高考卷 全国普通高考全国卷一（理）全解全析

高考卷 全国普通高考全国卷一（理）全解全析

2007年全国普通高考全国卷一（理）全解全析 一、选择题 1． 是第四象限角， 5tan 12    ，则 sin  A． 1 5 B． 1 5  C． 5 13 D． 5 13  2．设 a是实数，且 1 1 2 a i i    是实数，则 a  A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 3．已知向量 ( 5,6)a    ， (6,5)b   ，则 a  与b  A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0) ， (4,0)，则双曲线方程为 A． 2 2 1 4 12 x y   B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 10 6 x y   D． 2 2 1 6 10 x y   5．设 ,a b R ，集合{1, , } {0, , }ba b a b a   ，则b a  A．1 B． 1 C．2 D． 2 6．下面给出的四个点中，到直线 1 0x y   的距离为 2 2 ，且位于 1 0 1 0 x y x y        表示的 平面区域内的点是 A． (1,1) B． ( 1,1) C． ( 1, 1)  D． (1, 1) 7．如图，正棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 2AA AB ，则异面直线 1A B 与 1AD 所成角的余弦值为 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 8．设 1a  ，函数 ( ) logaf x x 在区间[ , 2 ]a a 上的最大值与最小值之 差为 1 2 ，则 a  A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 9． ( )f x ， ( )g x 是定义在 R上的函数， ( ) ( ) ( )h x f x g x  ，则“ ( )f x ， ( )g x 均为偶函 数”是“ ( )h x 为偶函数”的 D C B A C 1 B1 D1 A1 A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 10． 2 1( )nx x  的展开式中，常数项为 15，则 n= A．3 B．4 C．5 D．6 11．抛物线 2 4y x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F且斜率为 3的直线与抛物线在 x轴上方 的部分相交于点 A， AK l ，垂足为 K，则△AKF的面积是 A．4 B．3 3 C． 4 3 D．8 12．函数 2 2( ) cos 2cos 2 xf x x  的一个单调增区间是 A． 2( , ) 3 3   B． ( , ) 6 2   C． (0, ) 3  D． ( , ) 6 6    二、填空题 13．从班委会 5名成员中选出 3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 14．函数 ( )y f x 的图象与函数 3log ( 0)y x x  的图象关于直线 y x 对称，则 ( )f x  ____________。 15．等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 1S ， 22S ， 33S 成等差数列，则{ }na 的公比为 ______。 16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边 长为 2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题 17．设锐角三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2 sina b A （Ⅰ）求 B的大小； （Ⅱ）求 cos sinA C 的取值范围。 18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为  1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1期付款，其利润为 200元；分 2期或 3期付款，其利润为 250 元；分 4期或 5期付款，其利润为 300元，表示经销一件该商品的利润。 （Ⅰ）求事件 A：“购买该商品的 3位顾客中，至少有 1位采用 1期付款”的概率 ( )P A ； （Ⅱ）求的分布列及期望 E 。 19．四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC  底面 ABCD，已知 45ABC   ， 2AB  ， 2 2BC  ， 3SA SB  。 （Ⅰ）证明： SA BC ； （Ⅱ）求直线 SD与平面 SAB所成角的大 小。 20．设函数 ( ) x xf x e e  （Ⅰ）证明： ( )f x 的导数 '( ) 2f x  ； （Ⅱ）若对所有 0x  都有 ( )f x ax ，求 a的取值范围。 21．已知椭圆 2 2 1 3 2 x y   的左右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 的直线交椭圆于 B、D两点，过 2F 的直线交椭圆于 A、C两点，且 AC BD ，垂足为 P （Ⅰ）设 P点的坐标为 0 0( , )x y ，证明： 2 2 0 0 1 3 2 x y   ； （Ⅱ）求四边形 ABCD的面积的最小值。 22．已知数列{ }na 中， 1 2a  ， 1 ( 2 1)( 2)n na a    ， 1,2,3,n   （Ⅰ）求{ }na 的通项公式； （Ⅱ）若数列{ }nb 中， 1 2b  ， 1 3 4 2 3 n n n bb b    ， 1,2,3,n  ，证明： 4 32 n nb a   ， 1,2,3,n   D B C A S 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A A C C D D B D C A 1． 是第四象限角， 5tan 12    ，则 sin － 2 1 5 131 tan     2．设 a是实数， 1 1 2 a i i    = (1 ) 1 ( 1) (1 ) 2 2 2 a i i a a i       是实数，则 a  1，选 B。 3．已知向量 ( 5,6)a    ， (6,5)b   ， 30 30 0a b       ，则 a  与b  垂直，选 A。 4．已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0) ， (4,0)，则 c=4，a=2， 2 12b  ，双曲线方 程为 2 2 1 4 12 x y   ，选 A。 5．设 ,a b R ，集合{1, , } {0, , }ba b a b a   ，∵ a≠0，∴ 0,a b a b    ，∴ 1b a   ， ∴ 1, 1a b   ，则b a  2，选 C。 6．给出的四个点中，到直线 1 0x y   的距离都为 2 2 ，位于 1 0 1 0 x y x y        表示的平面 区域内的点是(－1，－1)，∵ 1 1 1 0 1 ( 1) 1 0          ，选 C。 7．如图，连接 BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线 1A B与 1AD 所成的 角，设 AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B= 5 a，A1C1= 2 a，∠A1BC1 的余弦值为 4 5 ，选 D。 8． 设 1a  ， 函 数 ( ) logaf x x 在 区 间 [ , 2 ]a a 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 分 别 为 log 2 , log 1a aa a  ，它们的差为 1 2 ，∴ 1log 2 2a  ， a  4，选 D。 9． ( )f x ， ( )g x 是定义在 R上的函数， ( ) ( ) ( )h x f x g x  ，若“ ( )f x ， ( )g x 均为偶函 数”，则“ ( )h x 为偶函数”，而反之若“ ( )h x 为偶函数”，则“ ( )f x ， ( )g x 不一定均为 偶函数”，所以“ ( )f x ， ( )g x 均为偶函数”，是“ ( )h x 为偶函数”是充分而不必要的条 D C B A C 1 B1 D1 A1 件，选 B。 10． 2 1( )nx x  的展开式中，常数项为 15，则 2 23 3 31( ) ( ) 15 n n n nC x x   ，所以 n可以被 3整除， 当 n=3时， 1 3 3 15C   ，当 n=6时， 2 6 15C  ，选 D。 11．抛物线 2 4y x 的焦点 F(1，0)，准线为 l： 1x   ，经过 F 且斜率为 3 的直线 3( 1)y x  与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A(3，2 3 )， AK l ，垂足为 K(－1， 2 3 )，∴ △AKF的面积是 4 3，选 C。 12．函数 2 2( ) cos 2cos 2 xf x x  = 2cos cos 1x x  ，从复合函数的角度看，原函数看作 2( ) 1g t t t   ， cost x ，对于 2( ) 1g t t t   ，当 1[ 1, ] 2 t  时， ( )g t 为减函数，当 1[ ,1] 2 t 时， ( )g t 为增函数，当 2( , ) 3 3 x    时， cost x 减函数，且 1 1( , ) 2 2 t  ，∴ 原 函数此时是单调增，选 A。 二、填空题： 题号 13 14 15 16 答案 36 3 ( )x xR 1 3 2 3 13．从班委会 5名成员中选出 3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，先从其余 3人中选出 1人担任文娱委员，再从 4人中选 2人担任 学习委员和体育委员，不同的选法共有 1 2 3 4 3 4 3 36C A     种。 14．函数 ( )y f x 的图象与函数 3log ( 0)y x x  的图象关于直线 y x 对称，则 ( )f x 与函数 3log ( 0)y x x  互为反函数， ( )f x  3 ( )x xR 。 15．等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 1S ， 22S ， 33S 成 等 差 数 列 ， 1 1 n na a q  ， 又 2 1 34 3S S S  ， 即 2 1 1 1 1 1 14( ) 3( )a a q a a a q a q     ， 解 得 { }na 的 公 比 1 3 q  。 16．一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱 的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为 AB=2，则该三角形的斜边 EF上的中线 DG= 3，∴ 斜边 EF的长为 2 3。 G D C 1 B 1 A1 B C F E A 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）由 2 sina b A ，根据正弦定理得 sin 2sin sinA B A ，所以 1sin 2 B  ， 由 ABC△ 为锐角三角形得 π 6 B  ． （Ⅱ） cos sin cos sinA C A A        cos sin 6 A A       1 3cos cos sin 2 2 A A A   3 sin 3 A       ． 由 ABC△ 为锐角三角形知， 2 2 A B     ， 2 2 6 3 B        ． 2 3 3 6 A      ， 所以 1 3sin 2 3 2 A       ． 由此有 3 33 sin 3 2 3 2 A         ， 所以， cos sinA C 的取值范围为 3 3 2 2        ， ． （18）解： （Ⅰ）由 A表示事件“购买该商品的 3位顾客中至少有 1位采用 1期付款”． 知 A表示事件“购买该商品的 3位顾客中无人采用 1期付款” 2( ) (1 0.4) 0.216P A    ， ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A     ． （Ⅱ）的可能取值为 200元， 250元，300元． ( 200) ( 1) 0.4P P     ， ( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P P          ， ( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P P            ． 的分布列为  200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 200 0.4 250 0.4 300 0.2E       240 （元）． （19）解法一： （Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为O，连结 AO，由侧面 SBC⊥底面 ABCD，得 SO⊥底面 ABCD． 因为 SA SB ，所以 AO BO ， 又 45ABC  ∠ ，故 AOB△ 为等腰直角三角形， AO BO⊥ ， 由三垂线定理，得 SA BC⊥ ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA BC⊥ ，依题设 AD BC∥ ， 故 SA AD⊥ ，由 2 2AD BC  ， 3SA  ， 2AO  ，得 1SO  ， 11SD  ． SAB△ 的面积 2 2 1 1 1 2 2 2 S AB SA AB        ． 连结DB，得 DAB△ 的面积 2 1 sin135 2 2 S AB AD  设D到平面 SAB的距离为 h，由于 D SAB S ABDV V  ，得 1 2 1 1 3 3 h S SO S  ， 解得 2h  ． 设 SD与平面 SAB所成角为 ，则 2 22sin 1111 h SD     ． 所以，直线 SD与平面 SBC所成的我为 22arcsin 11 ． 解法二： （Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为O，连结 AO，由侧面 SBC⊥底面 ABCD，得 SO⊥平面 ABCD． 因为 SA SB ，所以 AO BO ． 又 45ABC  ∠ ， AOB△ 为等腰直角三角形， AO OB⊥ ． O D BC A S 如图，以O为坐标原点，OA为 x轴正向，建立直角坐标系O xyz ， ( 2 0 0)A ，， ， (0 2 0)B ， ， ， (0 2 0)C ， ， ， (0 01)S ，，， ( 2 0 1)SA    ，， ， (0 2 2 0)CB   ， ， ， 0SA CB     ，所以 SA BC⊥ ． （Ⅱ）取 AB中点 E， 2 2 0 2 2 E        ， ， ， 连结 SE，取 SE中点G，连结OG， 2 2 1 4 4 2 G        ， ， ． 2 2 1 4 4 2 OG         ， ， ， 2 2 1 2 2 SE         ， ， ， ( 2 2 0)AB   ， ， ． 0SE OG  ， 0AB OG  ，OG与平面 SAB内两条相交直线 SE， AB垂直． 所以OG 平面 SAB，OG与DS 的夹角记为 ，SD与平面 SAB所成的角记为  ，则 与  互余． ( 2 2 2 0)D ， ， ， ( 2 2 21)DS   ， ，． 22cos 11 OG DS OG DS      ， 22sin 11   ， 所以，直线 SD与平面 SAB所成的角为 22arcsin 11 ． （20）解： （Ⅰ） ( )f x 的导数 ( ) e ex xf x    ． 由于 e e 2 e e 2x -x x x ≥ ，故 ( ) 2f x ≥ ． （当且仅当 0x  时，等号成立）． （Ⅱ）令 ( ) ( )g x f x ax  ，则 ( ) ( ) e ex xg x f x a a      ， （ⅰ）若 2a≤ ，当 0x  时， ( ) e e 2 0x xg x a a      ≥ ， 故 ( )g x 在 (0 )，∞ 上为增函数， 所以， 0x≥ 时， ( ) (0)g x g≥ ，即 ( )f x ax≥ ． D B C A S O E G y x z B 1F O 2F P D A y x C （ⅱ）若 2a  ，方程 ( ) 0g x  的正根为 2 1 4ln 2 a ax    ， 此时，若 1(0 )x x ， ，则 ( ) 0g x  ，故 ( )g x 在该区间为减函数． 所以， 1(0 )x x ， 时， ( ) (0) 0g x g  ，即 ( )f x ax ，与题设 ( )f x ax≥ 相矛盾． 综上，满足条件的 a的取值范围是  2∞， ． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距 3 2 1c    ， 由 AC BD⊥ 知点 P在以线段 1 2F F 为直径的圆上，故 2 2 0 0 1x y  ， 所以， 2 2 22 0 0 02 1 1 3 2 2 2 2 y x yx    ≤ ． （Ⅱ）（ⅰ）当 BD的斜率 k存在且 0k  时， BD的方程为 ( 1)y k x  ，代入椭圆方程 2 2 1 3 2 x y   ，并化简得 2 2 2 2(3 2) 6 3 6 0k x k x k     ． 设 1 1( )B x y， ， 2 2( )D x y， ，则 2 1 2 2 6 3 2 kx x k     ， 2 1 2 2 3 6 3 2 kx x k    2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 3( 1)1 (1 ) ( ) 4 3 2 kBD k x x k x x x x k              ； 因为 AC与BC相交于点 P，且 AC的斜率为 1 k  ， 所以， 22 2 2 14 3 1 4 3( 1) 1 2 33 2 kkAC k k         ． 四边形 ABCD的面积 2 2 2 2 22 2 2 2 1 24( 1) ( 1) 96 2 (3 2)(2 3) 25(3 2) (2 3) 2 k kS BD AC k k k k                  ≥ ． 当 2 1k  时，上式取等号． （ⅱ）当 BD的斜率 0k  或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积 4S  ． 综上，四边形 ABCD的面积的最小值为 96 25 ． （22）解： （Ⅰ）由题设： 1 ( 2 1)( 2)n na a    ( 2 1)( 2) ( 2 1)(2 2)na      ( 2 1)( 2) 2na    ， 1 2 ( 2 1)( 2)n na a     ． 所以，数列 2na  是首项为 2 2 ，公比为 2 1 的等比数列， 2 2( 2 1)nna    ， 即 na 的通项公式为 2 ( 2 1) 1n na     ， 1 2 3n  ，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当 1n  时，因 2 2 ， 1 1 2b a  ，所以 1 12 b a ≤ ，结论成立． （ⅱ）假设当 n k 时，结论成立，即 4 32 k kb a  ≤ ， 也即 4 30 2 3k kb a   ≤ ． 当 1n k  时， 1 3 42 2 2 3 k k k bb b      (3 2 2) (4 3 2) 2 3 k k b b      (3 2 2)( 2) 0 2 3 k k b b      ， 又 1 1 3 2 2 2 3 2 2 3kb      ， 所以 1 (3 2 2)( 2)2 2 3 k k k bb b      2(3 2 2) ( 2)kb   4 4 3( 2 1) ( 2)ka  ≤ 4 1 2ka   ． 也就是说，当 1n k  时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 4 32 n nb a  ≤ ， 1 2 3n  ，，，…．