2018届高三数学一轮复习： 第10章 第7节 课时分层训练64

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第7节 课时分层训练64

课时分层训练(六十四) 离散型随机变量及其分布列 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．某射手射击所得环数 X 的分布列为( ) X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( ) A．0.28 B.0.88 C．0.79 D.0.51 C [根据 X 的分布列知，所求概率为 0.28＋0.29＋0.22＝0.79.] 2．设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的 成功次数，则 P(X＝0)等于( ) A．0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 C [由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝1 3.] 3．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68 C1015 的是( ) A．P(X＝2) B.P(X≤2) C．P(X＝4) D.P(X≤4) C [X 服从超几何分布，故 P(X＝k)＝Ck7C10－k8 C1015 ，k＝4.] 4．(2017·郑州模拟)已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ i 2a(i＝1,2,3,4)，则 P(2＜X≤4)等于( ) A. 9 10 B. 7 10 C.3 5 D.1 2 B [由分布列的性质知， 1 2a ＋ 2 2a ＋ 3 2a ＋ 4 2a ＝1， 则 a＝5， ∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ 3 10 ＋ 4 10 ＝ 7 10.] 5．设随机变量 X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 1 3 1 6 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1,2)时，F(x)等于( ) A.1 3 B.1 6 C.1 2 D.5 6 D [∵a＋1 3 ＋1 6 ＝1，∴a＝1 2. ∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝1 2 ＋1 3 ＝5 6.] 二、填空题 6．抛掷 2 颗骰子，所得点数之和 X 是一个随机变量，则 P(X≤4)＝________. 1 6 [相应的基本事件空间有 36 个基本事件， 其中 X＝2 对应(1,1)；X＝3 对应(1,2)，(2,1)；X＝4 对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以 P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝ 1 36 ＋ 2 36 ＋ 3 36 ＝1 6.] 7．设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1 3 2－3q q2 则 q 等于________. 【导学号：01772413】 3 2 － 33 6 8．口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，从中任意取 3 只球，以 X 表示取出 的球的最大号码，则 X 的分布列为________. 【导学号：01772414】 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 [X 的可能取值为 3,4,5.又 P(X＝3)＝ 1 C35 ＝ 1 10 ，P(X＝4)＝C23 C35 ＝ 3 10 ，P(X＝5) ＝C24 C35 ＝3 5. ∴随机变量 X 的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 ] 三、解答题 9．一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出 2 个球， 至少得到 1 个白球的概率是7 9. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的分布 列. 【导学号：01772415】 [解] (1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为事件 A，设袋 中白球的个数为 x， 则 P(A)＝1－C210－x C210 ＝7 9 ，得到 x＝5.故白球有 5 个.5 分 (2)X 服从超几何分布， P(X＝k)＝Ck5C3－k5 C310 ，k＝0,1,2,3.8 分 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 12 分 10．(2015·山东高考)若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字， 十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字 之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得－1 分；若能被 10 整除，得 1 分． (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X)． [解] (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.4 分 (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C39＝84，随机变量 X 的取值为： 0，－1,1，因此 P(X＝0)＝C38 C39 ＝2 3 ， P(X＝－1)＝C24 C39 ＝ 1 14 ， P(X＝1)＝1－ 1 14 －2 3 ＝11 42.8 分 所以 X 的分布列为 X 0 －1 1 P 2 3 1 14 11 42 10 分 则 E(X)＝0×2 3 ＋(－1)× 1 14 ＋1×11 42 ＝ 4 21.12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．若随机变量 X 的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，2] B.[1,2] C．(1,2] D.(1,2) C [由随机变量 X 的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1) ＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是(1,2]．] 2．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然 后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 ________. η 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 [η的所有可能值为 0,1,2. P(η＝0)＝C11C11 C12C12 ＝1 4 ，P(η＝1)＝C11C11×2 C12C12 ＝1 2 ， P(η＝2)＝C11C11 C12C12 ＝1 4. ∴η的分布列为 η 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 ] 3．(2017·江南名校联考)PM2.5 是指悬浮在空气中的直径小于或等于 2.5 微 米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准 GB3 095—2 012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方 米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的 数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气 质量达到一级的概率； (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记ξ表示抽到 PM2.5 监测数据超标的 天数，求ξ的分布列． [解] (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一 天空气质量达到一级”为事件 A，则 P(A)＝C13C27 C310 ＝21 40.5 分 (2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中 N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ＝k)＝Ck3C3－k7 C310 (k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝C03C37 C310 ＝ 7 24 ，P(ξ＝1)＝C13C27 C310 ＝21 40 ， P(ξ＝2)＝C23C17 C310 ＝ 7 40 ，P(ξ＝3)＝C33C07 C310 ＝ 1 120.8 分 因此ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 12 分