2018-2019学年广东省深圳市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省深圳市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省深圳市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，，则（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过集合B中，用列举法表示出集合B，再利用交集的定义求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合， 所以 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以及准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（  ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，‎ 出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，‎ 所以的概率为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；‎ 由于函数是偶函数，但它在区间上单调递增，故排除B；‎ 由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除C；‎ 由于函数是偶函数，且满足在区间上单调递减，故满足条件．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎4．如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（  ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知函数，下列结论不正确的是（   ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数在区间内单调递减 C．函数的图象关于轴对称 D．把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 ‎【答案】D ‎【解析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减”及诱导公式得出，进而得出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数其最小正周期为，故选项A正确；‎ 函数在上为减函数，故选项B正确；‎ 函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确 把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知直线是平面的斜线，则内不存在与（   ）‎ A．相交的直线 B．平行的直线 C．异面的直线 D．垂直的直线 ‎【答案】B ‎【解析】根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线．‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7．若，且，则“”是“函数有零点”的（   ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，，函数与有交点，‎ 故函数有零点；‎ 当有零点时，不一定取， 只要满足都符合题意．‎ 所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数零点的概念，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数零点的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8．如图，中，分别是边的中点，与相交于点，则（   ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量的加减法的法则，利用是的重心，进而得出， 再利用向量的加减法的法则，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，点分别是边的中点，与相交于点，‎ 所以是的重心，则，‎ ‎ 又因为，‎ 所以 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形重心的性质，其中解答中熟记三角形重心的性质，以及向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（   ）‎ 其中，，例如：。试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）‎ A．0.99 B．0.98 C．0.97  D．0.96‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题设中的余弦公式得 ‎，‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知函数，若存在实数，满足，则实数的取值范围为（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出， 再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，方程有解，‎ 则，‎ 化简得，即，‎ 因为，所以，‎ 当时，化简得， 解得；‎ 当时，化简得， 解得，‎ 综上所述的取值范围为．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎11．设为虚数单位，复数的模为______。‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，则复数的模为．‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，‎ 则，，‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为 ______．‎ ‎【答案】0.56‎ ‎【解析】根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，‎ 所以两人均中靶的概率为，‎ 故答案为：0.56‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人 ‎【答案】16‎ ‎【解析】利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，‎ 通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．函数的部分图象如图，其中，，．则 ____； _____．‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】由图求得， 再由求出，利用图象过点，求出， 进而求出，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据三角函数的部分图象，可得 即，因为，所以，‎ 又由图可知，‎ 根据，解得，‎ 因为，所以，所以．‎ 故答案为：2 ；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___； _____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，正三棱柱的棱长均为，‎ 所以，‎ 由题意可得，‎ 又由得，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ 在等边中，边上的高为 因为，∴‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知的三个内角的对边分别是，且． ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】（1）通过正弦定理得，进而求出， 再根据，进而求得的大小；‎ ‎（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出， 再根据余弦定理，求得， 进而求得的周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，由正弦定理得，‎ 又由，则，所以，‎ 又因为，则，所以．‎ ‎（2）由三角形的面积公式，可得，解得，‎ 又因为，‎ 解得，即，所以，‎ 所以的周长为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点 ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）设，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】（1）由三角函数的定义得出， 通过当时，，， 进而求出的值；‎ ‎（2）利用三角恒等变换的公式化简得，得出，进而得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角函数的定义，可得 当时，，即，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由三角恒等变换的公式，化简可得：‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 即的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表 周跑量（km/周）‎ 人数 ‎100‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎180‎ ‎220‎ ‎150‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:‎ 注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑 ‎（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 ‎（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表: ‎ 周跑量 小于20公里 ‎20公里到40公里 不小于40公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元）‎ ‎2500‎ ‎4000‎ ‎4500‎ 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 中位数为29.2，分布特点见解析； (3)3720元 ‎【解析】（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；‎ ‎（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；‎ ‎（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：‎ ‎（2）中位数的估计值：‎ 由，‎ 所以中位数位于区间中，‎ 设中位数为，则，‎ 解得，因为，‎ 所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．‎ ‎（3）依题意可知，休闲跑者共有人，‎ 核心跑者人，‎ 精英跑者人，‎ 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎20．如图长方体中，，分别为棱，的中点 ‎（1）求证:平面平面；‎ ‎（2）请在答题卡图形中画出直线与平面的交点（保留必要的辅助线），写出画法并计算的值（不必写出计算过程）．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ；画图见解析 ‎【解析】（1）推导出平面，得出，得出，从而得到，进而证出平面，由此证得平面平面．‎ ‎（2）设，在平面内过点作的平行线，交于点，可得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在长方体中，，‎ 分别为棱，的中点，所以平面，则，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以，‎ 因为在中，，所以，所以，‎ 又因为，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面 ‎（2）设，在平面内过点作的平行线，连接交于点，‎ 则即为直线和平面的交点，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎21．已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）设函数恰有两个零点，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】（1）当时，利用指数函数和二次函数的图象与性质，得到函数的单调性，即可求得函数的最小值；‎ ‎（2）利用零点定理结合一元二次不等式根与系数的关系即可求出的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，函数，‎ 当时，，由指数函数的性质，可得函数在上为增函数，且；‎ 当时，，由二次函数的性质，可得函数在上为减函数，在上为增函数，‎ 又由函数， 当时，函数值取最小值为；‎ 故当时，最小值为．‎ ‎（2）因为函数恰有两个零点，‎ ‎（ⅰ）当时，函数有一个零点，令得，‎ 因为，所以，‎ 此时函数也恰有一个零点，，解得（舍去）．‎ ‎（ⅱ）函数恰有两个零点 ，，‎ 解得或，‎ 又由，‎ 因为，所以，即，‎ 即，解得；‎ 当时，结合上述无解；‎ 当时，结合上述可得；‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与二次函数的图象与性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记基本初等函数的性质，以及函数零点的性质，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎