上海市格致中学2019届高三下学期三模考试数学试题

上海市格致中学2019届高三下学期三模考试数学试题

格致中学高三三模数学试卷 一.填空题 ‎1.已知幂函数过点，则的反函数为____‎ ‎【答案】（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得。‎ ‎【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.‎ ‎【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题。‎ ‎2.已知关于、的方程组有无穷多组解，则实数的值为___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据若方程组有无穷多组解，则满足，即可解得方程组中的参数值。‎ ‎【详解】由题得，且有，解得.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次方程组的解，属于基础题。‎ ‎3.在△中，，，且的大小是，则___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可知，AC已知，可得BC，又，由余弦定理可得AB。‎ ‎【详解】由题得，，，又，‎ ‎，解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题。‎ ‎4.函数（，）在区间上存在反函数，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若函数在区间上存在反函数，则在该区间上单调，由此可得m的范围。‎ ‎【详解】由题得的定义域为，的对称轴为，‎ 故m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查反函数的性质，属于基础题。‎ ‎5.已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把复数分母有理化，再根据z在第四象限和，可得关于x，y的不等式组，进而可得点P在平面上形成的区域面积。‎ ‎【详解】由题得，z在第四象限，则有，整理得 ‎，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：‎ 则其面积.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性。‎ ‎6.某几何体的一条棱长为，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，这条棱的投影长分别为、、5，那么____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知投影长度，设棱长a为长方体的体对角线，列方程组，即可解得a的值。‎ ‎【详解】由题，设a为长方体的体对角线，三视图中的三个投影是三个面上的对角线，长方体边长分别为x，y，z，如图：‎ 由已知可得，，，，解得.‎ ‎【点睛】本题的解题关键在于把三视图的投影和棱长a对应到一个长方体中，长方体的长宽高设而不求，即能解出棱长a。‎ ‎7.已知是首项为，公差为1的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可求得数列的通项，进而求得，再由数列的性质可得的取值范围。‎ ‎【详解】由题得，则，对任意的，都有成立，而关于的单调性为时单调递减，时单调递减，且时，时。而时，最大，所以 ‎，且，故.‎ ‎【点睛】此题是关于数列单调性的问题，引用函数的单调性加以解决，但需考虑定义域是正整数集，难度属于中等。‎ ‎8.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义，化简，再利用函数的单调性，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】解：，‎ 因为且函数在上单调递增，‎ 所以，‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎9.已知函数，记（），若是递减数列，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使函数时单调递减，则，解得t，要使函数单调递减，则必须满足，解得t，又函数在时单调递减，则，解得t，联立解得即可。‎ ‎【详解】由题得在单调递减，则有，解得，同理在单调递减，则有，又函数在 时单调递减，则有，解得，故.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性求分段函数中的参数范围，需要注意分段点也要满足题意。‎ ‎10.某些篮球队的12名成员来自高一、高二共10个班级，其中高一（3）班，高二（3）班各有2人，其余班级各有1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求基本事件总数，再求6人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这6人来自不同班级的概率。‎ ‎【详解】由题得从12名成员中选6人有种选法，即基本事件总数为，这6人来自不同班级有三种情况：a.两人分别来自高一（3）班和高二（3）班，余下4人来自其它4个不同班级，b. 1人来自高一（3）班或高二（3）班，余下5人来自其它5个班级，c.6人来自除高一（3）班和高二（3）班各的其它6个班级，基本事件个数为，故6人来自不同班级的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查利用计数原理求概率，在计算基本事件时运用了分类计数原理，解题关键是分清情况求6人来自不同班级的种数。‎ ‎11.函数（，）部分图像如图所示，且，对于不同的，若，有，则的单调递增区间是____‎ ‎【答案】（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像可得函数周期T和A的值，以及，且b-a为半周期，由，有，可得角，进而确定函数的解析式，从而求出它的单调递增区间。‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期为，，，则，又，若时，有，那么，即，且，即，解得，则，令，‎ 解得，因此函数在区间（）上单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查通过给出函数的图像及其特定条件，求函数的单调递增区间，是常考题型。‎ ‎12.已知函数()（其中是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于轴对称，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先设上的一点坐标为，再由该点关于y轴对称写出上的点的坐标为，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有，对这个式子进行整理化简得，令，在定义域内求的值域，即得a的范围。‎ ‎【详解】存在函数图像上的一点与函数图像上一点关于y轴对称，则有，‎ 即，，‎ 令，则在上单调递增，故.‎ ‎【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于y轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。‎ 二. 选择题 ‎13.已知，是虚数单位，是共轭复数，则下列说法与“为纯虚数”不等价的是（ ）‎ A. B. 或，且 C. 且 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的基本概念逐一判断。‎ ‎【详解】A.若z为纯虚数，则（且），那么，故有若，则z为纯虚数，因此与“为纯虚数”等价；B.令，则，由或，得，，又，故，B正确；C. 且与“为纯虚数”等价；D.若，有，与“为纯虚数”不等价，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数基本概念的辨析，属于基础题。‎ ‎14.已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据入射角等于反射角的性质作图即得。‎ ‎【详解】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型。‎ ‎15.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．‎ ‎【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,‎ 过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，‎ ‎∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,‎ 在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，‎ ‎∴cos cos cos< cos,又均锐角， ∴，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．‎ ‎16.已知， ，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.‎ ‎【详解】当|x|＞1时，；‎ 当|x|＜1时，1；‎ 当x＝1时，-1；‎ 当x＝﹣1时，不存．‎ ‎∴f（x）‎ ‎∴只有A选项符合f（x）大致图像，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．‎ 三. 解答题 ‎17.在四棱锥中，底面为菱形，平面，且 是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析 （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:证明线面平行有两种方法：一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；求线面角有两种方法：一是先做再证，最后求出，是一种传统方法，另一种是建立空间直角坐标系，利用法向量求线面角,本题采用第二种方法.‎ 试题解析;‎ ‎（法1）（Ⅰ）连，交于点，连接 ‎ ‎∵底面为菱形 ∴为中点，又∵是的中点 ‎∴是△的中位线，∴‎ 又∵∴‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz ‎ ‎ ‎（略写）求得平面PBC的法向量， ‎ ‎∴‎ ‎ ∴直线和平面所成的角的正弦值为 ‎18.如图所示，某人在斜坡处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高米，塔所在山高米，米，观测者所在斜坡近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，‎ ‎（1）以射线为轴的正向，为轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡所在直线方程；‎ ‎（2）当观察者视角最大时，求点的坐标（人的身高忽略不计）.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图，即直线CD的斜率，点，根据点斜式可直接求出直线CD的方程；（2）由可知，由可得关于点P横坐标x的函数，进而求出视角最大时，点的坐标。‎ ‎【详解】解：（1）由题意知 ‎ 则直线的斜率为 ‎（2）记 ‎ ‎ 等号当 当观测者位于处视角最大为 ‎【点睛】本题考查三角函数实际应用，解题关键在于用已知条件表示出，得到关于x的函数。‎ ‎19.已知抛物线（），其准线方程，直线过点（），且与抛物线交于、两点，为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线方程，并注明：的值与直线倾斜角的大小无关；‎ ‎（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线方程可知准线方程为，由此可得抛物线方程为，由向量的坐标运算表示出 的值，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简的值，即得结果；（2）先根据两点间距离公式表示，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值，可得解析式。‎ ‎【详解】解：由题意，，所以抛物线的方程为 ‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，，‎ ‎．‎ 当直线的斜率存在时，则，设的方程为，，，‎ 由消去，得，故 ‎ 所以，．‎ 综上，的值与直线倾斜角的大小无关 ‎（2）设，则，‎ ‎ ‎ 因为，所以 ‎【点睛】本题综合考查抛物线和向量，在证明向量数量积的大小与斜率无关时运用了设而不求的方法，是圆锥曲线问题中常用的解题方法，也考查了利用二次函数性质求函数解析式，考查比较全面。‎ ‎20.已知函数，单调递增，其中，，记为函数的最小值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（3）求的取值范围，使得存在满足条件的，满足.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入可得，再由基本不等式，可得的值；（2）将a=1代入，令，得到新函数在上单调递增，求导讨论函数单调性即得b的范围；（3）由，，可得，利用基本不等式可知可以取到最小值，又有，即可得a的取值范围。‎ ‎【详解】解:（1），时等号成立 则； ‎ ‎（2），令 那么在上单调递增，‎ 则，即，‎ 因为，且，则，‎ 所以，即 ‎ ‎（3），‎ 由，所以，，‎ 则 由，知则，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值，利用导数研究函数单调性。‎ ‎21.设数列的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、成等比数列，则称函数为“型”数列.‎ ‎（1）若是“型”数列，且，，求的值；‎ ‎（2）若是“型”数列，且，，求的前项和；‎ ‎（3）若既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.‎ ‎【答案】(1)2；(2) (3)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知是“型”数列，即成等比数列，那么可知是等比数列，由条件可直接求出，进而得的值；（2）当n为奇数时，当n为偶数时，根据已知可计算出，由此得到；（3）先写出时的“型”数列和“型”数列，公比分别为和，再写出和时的“型”数列，公比分别为和，根据数列中的公共项可得公比之间的关系，再由时的3个“型”数列的通项公式，可推得是等比数列。‎ ‎【详解】解：（1）由是“”数列，所以成等比，所以成等比数列，且公比，‎ 则 ‎ ‎（2）由是“”数列，所以成等比，所以当为奇数时：‎ ‎；‎ 由是“”数列，所以成等比，所以当为偶数时：；‎ ‎（3）由是“”数列，所以成等比，‎ 设其公比为，又是“”数列，则成等比数列，设其公比为，同理，设的公比为，的公比为（。‎ 那么，所以。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎。‎ 综上得：，，所以是等比数列 ‎【点睛】本题考查了求等比数列的前n项和以及求它的极限值，对于第三个问充分考查了等比数列的性质，解题的关键是化抽象为具体，分别列出“型”数列，和“型”数列当时的前几项，然后根据公共项推出公比之间的关系，进而证明是等比数列，题目有一定的综合性。‎ ‎ ‎