高三数学（理数）总复习练习专题十三 直线与圆的方程

高三数学（理数）总复习练习专题十三 直线与圆的方程

‎1．(2015·广东，5，易)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0‎ D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ ‎【答案】　A　由题意，可设切线方程为2x＋y＋b＝0，则＝，解得b＝±5，故选A.‎ ‎2．(2015·山东，9，中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎【答案】　D　由题知，反射线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在的直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，‎ ‎∴＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.故选D.‎ ‎1．(2012·浙江，3，易)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A　由l1∥l2，得－＝－，解得a＝1或a＝－2，代入检验符合，即“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．(2013·课标Ⅱ，12，难)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B. C. D. ‎【答案】　B　①当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时(如图1)，由得yE＝.又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.‎ 图1‎ ‎②当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时(如图2)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈(0＜a＜1)．‎ 图2‎ ‎∵对于任意的a＞0恒成立，‎ ‎∴b∈∩，‎ 即b∈，故选B.‎ 方法点拨：本题考查直角坐标系下直线方程的应用，利用数形结合，函数与不等式，分类讨论思想求解，注意考虑问题角度的全面性．‎ ‎3．(2014·四川，14，中)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎【解析】　易得A(0，0)，B(1，3)．设P(x，y)，则消去m，得x2＋y2－x－3y＝0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB，|PA|·|PB|≤＝5.‎ ‎【答案】　5‎ ‎4．(2011·安徽，15，难)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；‎ ‎②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；‎ ‎③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；‎ ‎④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；‎ ‎⑤存在恰经过一个整点的直线．‎ ‎【解析】　若x，y为整数，则x＋y也为整数，故直线x＋y＝既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．‎ 直线y＝x－过整点(1，0)，故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．‎ 当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．‎ 直线y＝x－恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．‎ ‎【答案】　①③⑤‎ 考向1　直线及其方程 ‎1．表示直线方向的两个量 ‎(1)直线的倾斜角 ‎①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．‎ ‎②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.‎ ‎(2)直线的斜率 ‎①定义：当α≠90°时，tan α表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tan α；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．‎ 每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．‎ ‎②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝‎ .‎ ‎2．直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方　程 局 限 性 点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)‎ ＝ 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)‎ ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线均适用 ‎(1)(2015·河南开封调研，6)设A(－1，2)，B(3，1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)∪ B.∪(2，＋∞)‎ C. D. ‎(2)(2015·江西南昌质检，18，12分)若点P是函数f(x)＝ex－e－x－3x图象上任意一点．‎ ‎①设在点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围；‎ ‎②求在点P(ln 2，f(ln 2))处的切线方程．‎ ‎【解析】　(1)如图所示，直线y＝kx过定点O(0，0)，kOA＝－2，kOB＝.‎ 若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线．数形结合得k∈.故选C.‎ ‎(2)①由导数的几何意义可知，函数y＝f(x)＝ex－e－x－3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值，而 y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，‎ 即tan α≥－1.因为α∈[0，π)，‎ 所以倾斜角α的范围为∪.‎ ‎②由①知y′＝ex＋e－x－3，‎ 所以在点P(ln 2，f(ln 2))处的切线斜率为 k＝eln 2＋e－ln 2－3＝－.‎ 又f(ln 2)＝eln 2－e－ln 2－3ln 2‎ ‎＝－3ln 2＝(1－2ln 2)，‎ 由点斜式得在点P处的切线方程为 y－(1－2ln 2)＝－(x－ln 2)，‎ 即x＋2y－3＋5ln 2＝0.‎ ‎【点拨】　题(1)为斜率范围的求解，求边界的斜率是关键，注意倾斜角为90°时，直线无斜率；题(2)求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y＝tan x在x∈[0，π)上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件．‎ ‎ 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤 ‎(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；‎ ‎(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎2．求斜率的常用方法 ‎(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝(x1≠x2)来求斜率．‎ ‎(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．‎ ‎(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－.‎ ‎3．求直线方程的两种方法 ‎(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．‎ ‎(2)待定系数法，具体步骤为：‎ ‎①设所求直线方程的某种形式；‎ ‎②由条件建立所求参数的方程(组)；‎ ‎③解这个方程(组)求出参数；‎ ‎④把参数的值代入所设直线方程．‎ 在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意．‎ ‎(1)(2014·江苏苏州调研，6)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.‎ ‎(2)(2014·河北沧州期末，18，12分)根据所给条件求直线的方程：‎ ‎①直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎②直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎③直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.‎ ‎(1)【解析】　如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．‎ 又kPA＝＝－1，‎ kPB＝＝1，故k∈[－1，1]．‎ 又当0≤k≤1时，0≤α≤；‎ 当－1≤k<0时，≤α<π.‎ 故倾斜角α的取值范围为 ∪.‎ ‎【答案】　∪ ‎(2)解：①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎②由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3，4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎③当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，符合题意；‎ 当斜率存在时，设斜率为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 易错点拨：题(1)在已知斜率的取值范围，求倾斜角的范围时，误认为tan α在[0，π)上为增函数，而得到α∈的错误结果．‎ 考向2　两直线的位置关系 ‎1．两条直线的位置关系 斜 截 式 一 般 式 方程 y＝k1x＋b1，‎ y＝k2x＋b2‎ A1x＋B1y＋C1＝0，‎ A2x＋B2y＋C2＝0‎ 相交 k1≠k2‎ A1B2－A2B1≠0‎ 垂直 k1k2＝－1‎ A1A2＋B1B2＝0‎ 平行 k1＝k2且b1≠b2‎ 或 重合 k1＝k2且b1＝b2‎ A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0‎ 两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．‎ ‎2．距离 距离类型 公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．‎ ‎(1)(2015·山东菏泽期末，12)已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则α＝________；若l1∥l2，则α＝________.‎ ‎(2)(2015·广东中山检测，20，14分)已知点A(2，－1)，‎ ‎①求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；‎ ‎②求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离；‎ ‎③是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】　(1)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，‎ 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.‎ 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.‎ 因为A1B2－A2B1＝0是l1∥l2的充要条件，所以2sin2α－1＝0，所以sin α＝±.‎ 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，‎ 即sin α≠－1.所以α＝kπ±，k∈Z.‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.‎ ‎(2)①过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2，－1)，当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；‎ 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，解得k＝，‎ 此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎②过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与OA垂直的直线，由l⊥OA，得klkOA＝－1，所以kl＝－＝2，‎ 由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，‎ ‎|OA|＝＝.‎ 即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，且最大距离为.‎ ‎③不存在，由②可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是根据两直线的位置关系构建三角方程求解，但应注意角α的不唯一性及k∈Z；题(2)①的易错点在于忽略斜率不存在的情况．‎ ‎ 两直线的位置关系问题的解题策略 ‎(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，‎ 可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．‎ ‎(2)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：‎ ‎①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；‎ ‎②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0；‎ ‎③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)或A2x＋B2y＋C2＝0.‎ ‎(2014·山西太原检测，17，12分)解答下列问题：‎ ‎(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；‎ ‎(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线方程．‎ 解：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，‎ 则d＝＝1，‎ ‎∴c＝3或c＝－7.‎ 即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.‎ ‎(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，‎ 则＝，‎ ‎∴c＝－3或c＝9.‎ 即所求直线方程为：3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.‎ ‎1．(2015·河北石家庄调研，3)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0‎ ‎【答案】　A　由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.‎ ‎2．(2014·山东济南三模，6)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A　由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，‎ ‎∴m＝3或m＝－2.‎ ‎∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．‎ ‎3．(2015·湖北武汉一模，5)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a等于(　　)‎ A．－6或－2 B．－6‎ C．2或－6 D．－2‎ ‎【答案】　A　集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0.因为M∩N＝∅，所以两直线平行，或直线ax＋2y＋a＝0过点A(2，3)，因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.‎ 思路点拨：解答本题的关键是将M∩N＝∅转化为两直线的位置关系，进而构建方程求解，注意考虑要全面．‎ ‎4．(2015·安徽合肥期末，8)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， ‎【答案】　D　由题意，a＋b＝－1，ab＝c，两条直线之间的距离为d＝＝＝，又0≤c≤，故≤d≤.‎ ‎5．(2014·福建泉州一模，5)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎【答案】　C　方法一：∵点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，∴4m＋3n－10＝0.‎ 欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．‎ 当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.‎ ‎∴m2＋n2的最小值为4.‎ 方法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，‎ 直线与两坐标轴交于A，B，‎ 直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，‎ 斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根．‎ ‎∵S△OAB＝OA·OB＝AB·h，‎ ‎∴h＝＝＝2，‎ ‎∴m2＋n2的最小值为h2＝4.‎ ‎6．(2015·福建厦门一模，12)已知a＞0，b＞0，若直线l1：x＋a2y＋2＝0与直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________．‎ ‎【解析】　依题意可得，1×(a2＋1)＋a2·(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，‎ ‎∴ab＝＝a＋≥2.‎ 当且仅当a＝，‎ 即a＝1，b＝2时，ab取到最小值2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎7．(2014·河北秦皇岛检测，14)直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为________．‎ ‎【解析】　由解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，‎ ‎∴可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.‎ 在直线l上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得 ＝，解得k＝(k＝2舍去)，‎ ‎∴直线l2的方程为x－2y＝0.‎ ‎【答案】　x－2y＝0‎ ‎8．(2015·北京东城期末，13)如图所示，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________．‎ ‎【解析】　如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜kFD，即kFD∈(4，＋∞)．‎ ‎【答案】　(4，＋∞)‎ 方法点拨：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．‎ ‎1．(2015·课标Ⅱ，7，中)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎【答案】　C　∵kAB＝＝－，kBC＝＝3，∴kAB·kBC＝－1.‎ ‎∴AB⊥BC.‎ ‎∴△ABC为直角三角形且AC为圆的直径，‎ ‎∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，‎ ‎∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，‎ ‎∴|MN|＝|y1－y2|＝ ‎＝＝4.‎ ‎2．(2015·湖南，8，中)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】　B　由题意AB⊥BC，则AC为圆直径，‎ 则＋＝2(O为圆心)，‎ ‎∴|＋＋|＝|2＋|，‎ 显然当P，O，B共线时模最大，‎ ‎∴|＋＋|max＝7，故选B.‎ ‎3．(2015·课标Ⅰ，14，易)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．‎ ‎【解析】　如图所示，设圆心M(a，0)(a＞0)，‎ 则|MB2|＝|A1M|＝4－a.‎ 在Rt△MOB2中，‎ ‎|OB2|2＋|OM|2＝|MB2|2，‎ 即4＋a2＝(4－a)2，‎ 解得a＝，4－a＝.‎ 故所求圆的标准方程为 ＋y2＝.‎ ‎【答案】　＋y2＝ ‎4．(2015·江苏，10，中)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．‎ ‎【解析】　设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，‎ r＝＝＝，‎ 当m<0时，1＋无最大值，且1＋<1；当m＝0时，r＝1；‎ 当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取“＝”)，所以r≤＝.‎ 所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎【答案】　(x－1)2＋y2＝2‎ ‎1．(2012·陕西，4，易)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)‎ A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 ‎【答案】　A　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，显然点P(3，0)在圆内，故直线l与圆C相交．‎ ‎2．(2012·天津，8，中)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．[1－，1＋]‎ B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)‎ C．[2－2，2＋]‎ D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)‎ ‎【答案】　D　∵直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，‎ ‎∴圆心(1，1)到直线的距离为 d＝＝1，‎ ‎∴mn＝m＋n＋1≤.‎ 设t＝m＋n，则t2≥t＋1，‎ 解得t∈(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)．‎ ‎3．(2013·山东，9，中)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)‎ A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0‎ ‎【答案】　A　方法一：如图，‎ 圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．‎ 又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，‎ ‎∴kAB＝－2.‎ 故直线AB的方程y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故选A.‎ 方法二：直线AB是以PC为直径的圆(x－2)2＋＝与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在直线，‎ ‎∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0.‎ 方法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则直线PA的方程为(x1－1)(x－1)＋y1·y＝1，‎ 直线PB的方程为(x2－1)(x－1)＋y2y＝1.‎ 又PA，PB都经过P(3，1)，‎ ‎∴(x1－1)(3－1)＋y1×1＝1，　　①‎ ‎(x2－1)(3－1)＋y2×1＝1，　　②‎ 由①，②知(x－1)(3－1)＋y×1＝1经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，而过两点的直线唯一，∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0.‎ ‎4．(2014·江西，9，中)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.π B.π C．(6－2)π D.π ‎【答案】　A　由题意易知∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．‎ 设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，‎ ‎∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.‎ 又|OD|＝＝，‎ ‎∴圆C的最小半径为，‎ ‎∴圆C面积的最小值为π＝π.‎ ‎5．(2014·江苏，9，易)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．‎ ‎【解析】　圆心为(2，－1)，半径r＝2.‎ 圆心到直线的距离d＝＝，‎ 所以弦长为2＝2＝.‎ ‎【答案】　 方法点拨：利用圆心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解．‎ ‎6．(2014·湖北，12，易)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______.‎ ‎【解析】　如图，由题设条件知，∠AOB＝∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝90˚，∴a＝1，b＝－1，a2＋b2＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎7．(2014·课标Ⅱ，16，中)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ ‎【解析】　由已知圆心(0，0)，半径r＝1，M位于直线y＝1上，过M作圆的切线，切点为C，D(如图)．‎ 则∠OMN≤∠CMD，‎ ‎∴∠CMD≥90°.‎ 当∠CMD＝90°时，则△OCM为等腰直角三角形，故OC＝CM＝1.‎ ‎∴所求x0的取值范围是－1≤x0≤1.‎ ‎【答案】　[－1，1]‎ ‎8．(2014·北京，19，14分，中)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．‎ 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：‎ 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.‎ 当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，‎ 故直线AB的方程为x＝±.‎ 圆心O到直线AB的距离d＝，‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，‎ 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.‎ 圆心O到直线AB的距离 d＝.‎ 又x＋2y＝4，t＝－，故 d＝ ‎＝ ‎＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ 考向1　圆的方程的确定与应用 ‎1．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程与一般方程 名称 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)‎ x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ ‎(D2＋E2－4F＞0)‎ 圆心 ‎(a，b)‎ 半径 r ‎　　(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ 圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别．‎ ‎2．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．‎ ‎(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点M在圆上；‎ ‎(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点M在圆外；‎ ‎(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点M在圆内．‎ ‎(1)(2014·陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．‎ ‎(2)(2015·山西长治调研，13)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．‎ ‎(3)(2015·江苏盐城检测，17，14分)已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．‎ ‎①求x＋y的最大值和最小值；‎ ‎②求的最大值和最小值．‎ ‎【解析】　(1)两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等．‎ 圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)方法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4，0)，设圆心为C(a，b)．‎ ‎∵圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，‎ ‎∴圆心C一定在线段AB的垂直平分线上．‎ 则解得∴C(2，1)．‎ r＝|CA|＝＝.‎ ‎∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.‎ 方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则解得 故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.‎ 方法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.‎ ‎∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.‎ ‎(3)①设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．‎ 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，‎ 即＝1，‎ 解得t＝－1或t＝－－1.‎ ‎∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.‎ ‎②可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．‎ 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，‎ 即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.‎ ‎∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ ‎【点拨】　本题(2)中方法一，借助圆的几何性质，求出圆心及半径，直接代入标准方程；方法二、三利用待定系数法求解，设出圆的标准方程，列出方程组求解；(3)中涉及与圆上点有关的最值问题，求解关键是充分利用圆的几何性质，根据所求代数式的几何意义，数形结合求解．‎ ‎ 1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤 ‎(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；‎ ‎(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；‎ ‎(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．‎ ‎2．确定圆心位置的方法 ‎(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；‎ ‎(2)圆心在任一弦的中垂线上；‎ ‎(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．‎ ‎3．与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法 ‎(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；‎ ‎(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；‎ ‎(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎(1)(2014·湖南衡阳名校联考，13)圆心在直线y＝－4x上且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________．‎ ‎(2)若典型例题1(3)题干不变，求的最大值和最小值．‎ ‎(1)【解析】　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，‎ 根据已知条件得 解得 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ ‎【答案】　(x－1)2＋(y＋4)2＝8‎ ‎(2)解： ‎＝，‎ 求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．‎ 又圆心到定点(－1，2)的距离为，‎ ‎∴的最大值为＋1，最小值为－1.‎ 考向2　直线与圆、圆与圆的位置关系的确定与应用 ‎1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.‎ 方法 位置关系　　　‎ 几何法 代数法 相交 d0‎ 相切 d＝r Δ＝0‎ 相离 d>r Δ<0‎ ‎2．圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：‎ 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d>R＋r d＝R＋r R－r0)，‎ 圆心到直线x－y＝0的距离d＝，‎ 则有＋＝r2，‎ 解得r＝1，∴圆心为(0，1)，r＝1，‎ ‎∴圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎5．(2014·河南郑州三模，9)在圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．4 B．8 C．12 D．16 ‎【答案】　B　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝16，∴圆心M(1，4)，半径r＝4，如图所示，‎ 显然E在圆的内部，设过E点的弦长为l，则l＝2＝2(d表示弦心距)．‎ 由图可知0≤d≤|ME|＝，‎ ‎∴当d＝0时，lmax＝2×4＝8＝|AC|(此时AC为圆的直径)；‎ 当d＝时，lmin＝2＝2＝|BD|(此时AC⊥BD)．‎ ‎∴S四边形ABCD＝|AC||BD|＝×8×2＝8，故B正确．‎ ‎6．(2015·天津四校联考，6)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，则|2x－y－2|的最小值是(　　)‎ A．5－ B．4－ C.－1 D．5 ‎【答案】　A　将x2＋y2－4x＋6y＋12＝0化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，|2x－y－2|＝×，从几何意义上讲，上式表示在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上的点到直线2x－y－2＝0的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可．由直线和圆的位置关系可知＝－1＝－1，所以|2x－y－2|的最小值为×(－1)＝5－.‎ 思路点拨：解答本题的关键是将|2x－y－2|转化为与圆上的点到直线2x－y－2＝0的距离有关的最值问题求解．‎ ‎7．(2014·山西晋城二模，15)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．‎ ‎【解析】　设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，则圆C的圆心坐标是(0，1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.‎ ‎【答案】　x2＋(y－1)2＝10‎ ‎8．(2014·湖北黄石一模，15)设命题p：(x，y，k∈R且k＞0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．‎ ‎【解析】　如图所示，命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．‎ 由题知B，‎ 则 解得0＜k≤6.‎ ‎【答案】　(0，6]‎ ‎9．(2015·山东青岛质检，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点．若△ABC的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．‎ ‎【解析】　由题意得圆心C(m，2)，半径r＝4.因为点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28＜0，解得3－2＜m＜3＋2.设圆心C到直线AB的距离为d，则d≤|CP|.又S△ABC＝d·|AB|‎ ‎＝d·2≤＝＝16，当且仅当d2＝r2－d2，即d2＝16，d＝4时取等号，因此|CP|≥4，≥4，即m≥3＋2或m≤3－2.综上，实数m的取值范围为(3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2)．‎ ‎【答案】　(3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2)‎ ‎(时间：90分钟__分数：120分)‎ 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．(2015·河南安阳期末，3)xcos α＋ysin α＋1＝0，α∈的倾斜角为(　　)‎ A．α B.＋α C．π－α D.－α ‎【答案】　B　设直线xcos α＋ysin α＋1＝0的倾斜角为θ，则斜率k＝tan θ＝－＝＝tan.‎ 又α∈，所以θ＝＋α.‎ ‎2．(2015·山西太原二模，3)“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A　由a＝2得两直线斜率满足(－2)×＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a)×＝－1，解得a＝±2，故选A.‎ ‎3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)‎ A. B. C．8 D．2‎ ‎【答案】　D　∵直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，‎ ‎∴＝≠－，∴m＝8，即直线6x＋my＋14＝0为3x＋4y＋7＝0，∴两平行直线间的距离为＝2.故选D.‎ ‎4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C：x2＋y2＝25，直线l在x轴、y轴上的截距分别为6和8，‎ 则圆上的点到直线l的最大值为(　　)‎ A. B．5 C．10 D. ‎【答案】　D　　由题意知，直线l的方程为4x＋3y－24＝0，则圆心到直线的距离为d＝＝.故圆上的点到直线l的最大值为＋5＝.‎ 易错点拨：解答本题易求出d后，误选A.‎ ‎5．(2015·河南南阳一模，5)已知直线Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，O是坐标原点，则·＝(　　)‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ ‎【答案】　A　因为圆心O到直线Ax＋By＋C＝0的距离为＝1，所以∠MON＝，所以·＝|| ||cos∠MON＝2×2×＝－2.‎ ‎6．(2014·辽宁沈阳四校联考，8)若直线xcos θ＋ysin θ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sin θ)2＝相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　A　依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin2θ－1|＝，|cos θ－cos2θ|＝，所以cos θ－cos2θ＝或cos θ－cos2θ＝－(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos2θ＝，得cos θ＝.又θ为锐角，所以sin θ＝，故该直线的斜率是－＝－，故选A.‎ ‎7．(2015·湖南岳阳一模，6)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1，0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＝－1或4x＋3y－4＝0‎ B．x＝－1或4x－3y＋4＝0‎ C．x＝1或4x－3y＋4＝0‎ D．x＝1或4x＋3y－4＝0‎ ‎【答案】　B　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l 的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ 思路点拨：解题的关键是用好|PQ|＝2，构建方程求斜率，但要注意斜率不存在的情况．‎ ‎8．(2015·江西抚州调研，7)已知函数f(x)＝x2＋4ln x，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[5，＋∞) B．[4，5]‎ C. D．(－∞，4)‎ ‎【答案】　B　因为f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时，f′(x0)∈[4，5]．又因为k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5]．‎ ‎9．(2013·重庆，7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5－4 B.－1 C．6－2 D. ‎【答案】　A　圆C1，C2的图象如图所示．‎ 设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4，故选A.‎ ‎10．(2014·湖北孝感四校联考，10)已知A(－2，0)，B(0，2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点．如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，那么△PAB面积的最大值是(　　)‎ A．3－ B．4‎ C．3＋ D．6‎ ‎【答案】　C　依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，∴△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，故选C.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎11．(2015·安徽淮南一模，13)已知曲线y＝3x2＋2x在点(1，5)处的切线与直线2ax－y－6＝0平行，则a＝________.‎ ‎【解析】　由已知得y′＝6x＋2，则曲线y＝3x2＋2x在点(1，5)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝8.根据两直线平行的条件得2a＝8，故a＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎12．(2015·天津四校联考，13)过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.‎ ‎【解析】　∵(1－2)2＋()2＝3＜4，‎ ‎∴点(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部．‎ 当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2，0)与点(1，)的连线垂直于直线l.∵＝－，∴所求直线l的斜率k＝.‎ ‎【答案】　 ‎13．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．‎ ‎【解析】　x2＋y2－8x＋15＝0化成标准形式为(x－4)2＋y2＝1，该圆的圆心为M(4，0)，半径为1.根据题意，只需要圆心M(4，0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1即可，所以有d＝≤2，化简得k(3k－4)≤0，解得0≤k≤，所以k的最大值是.‎ ‎【答案】　 ‎14．(2015·福建宁德质检，12)设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}．若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　集合A，B实际上是圆上的点的集合，即A，B表示两个圆，A∩B≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆的圆心距不大于两圆半径之和2，即≤2，整理成关于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，根据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤.‎ ‎【答案】　 三、解答题(共4小题，共50分)‎ ‎15．(12分)(2015·安徽蚌埠质检，18)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝2.‎ 化简可得(x－5)2＋y2＝16，则此曲线的方程为(x－5)2＋y2＝16.‎ ‎(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．‎ 由直线l2是此圆的切线，连接CQ，‎ 则|QM|＝ ‎＝，‎ 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，‎ 此时|CQ|＝＝4，则|QM|的最小值为＝4.‎ ‎16．(12分)(2015·河北唐山调研，18)已知定点M(0，2)，N(－2，0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．‎ ‎(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；‎ ‎(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)∵点M，N到直线l的距离相等，‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点．‎ ‎∵M(0，2)，N(－2，0)，‎ ‎∴直线MN的斜率kMN＝1，‎ MN的中点坐标为C(－1，1)．‎ 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2，2)，‎ ‎∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；‎ 当l过MN的中点时，k＝kCD＝.‎ 综上可知，k的值为1或.‎ ‎(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，‎ ‎∴d＝ ＞，‎ 解得k＜－或k＞1.‎ ‎17．(12分)(2015·山东日照调研，18)已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．‎ ‎(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；‎ ‎(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．‎ 解：(1)由条件知点M在圆O上，‎ 所以1＋a2＝4，则a＝±.‎ 当a＝时，点M为(1，)，‎ kO M＝，k切＝－，‎ 此时切线方程为y－＝－(x－1)，‎ 即x＋y－4＝0；‎ 当a＝－时，点M为(1，－)，‎ kOM＝－，k切＝，‎ 此时切线方程为y＋＝(x－1)，‎ 即x－y－4＝0.‎ 所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.‎ ‎(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，‎ 则d＋d＝OM2＝3.‎ 又有|AC|＝2，|BD|＝2，‎ 所以|AC|＋|BD|＝2＋2.‎ 则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)‎ ‎＝4×[5＋2]‎ ‎＝4×(5＋2)．‎ 因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，所以(|AC|＋|BD|)2≤4×＝40.所以|AC|＋|BD|≤2，即|AC|＋|BD|的最大值为2.‎ ‎18．(14分)(2014·江西九江三模，19)已知点P是圆F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的中垂线与PF1交于M点．‎ ‎(1)求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得|HK|＝|KQ|，连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．‎ 解：(1)由题意得，F1(－，0)，F2(，0)，‎ 圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，‎ 从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2，‎ ‎∴点M的轨迹是以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2，‎ 则短半轴长b＝＝＝1，‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)如图，设K(x0，y0)，则＋y＝1.‎ ‎∵|HK|＝|KQ|，‎ ‎∴Q(x0，2y0)．‎ ‎∴|OQ|＝＝2，‎ ‎∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．‎ 又A(－2，0)，‎ ‎∴直线AQ的方程为y＝(x＋2)．‎ 令x＝2，得D.‎ 又B(2，0)，N为DB的中点，‎ ‎∴N.‎ ‎∴＝(x0，2y0)，＝.‎ ‎∴·＝x0(x0－2)＋2y0· ‎＝x0(x0－2)＋ ‎＝x0(x0－2)＋ ‎＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0.‎ ‎∴⊥.‎ ‎∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．‎