高三数学总复习练习第三章 三角函数、解三角形
第三章 三角函数、解三角形
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础盘查一 角的有关概念
(一)循纲忆知
了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)三角形的内角必是第一、二象限角( )
(2)第一象限角必是锐角( )
(3)不相等的角终边一定不相同( )
(4)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(人教A版教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
3．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在第________象限．
答案：一、三
基础盘查二 弧度的定义和公式
(一)循纲忆知
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)( )
(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位( )
答案：(1)× (2)√
2．(人教A版教材练习改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
基础盘查三 任意角的三角函数
(一)循纲忆知
理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)三角函数线的长度等于三角函数值( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负( )
(3)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限( )
(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(人教A版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则cos θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝________.
答案： － －
3．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则 sin α＝________.
答案：
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
角的概念
(1)分类
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C －是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B 法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[类题通法]
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
[提醒] 三角函数线是有向线段．
[一题多变]
[典型母题]
设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，求 sin α的值．
[解] 设P与原点的距离为r，
∵P(－4a,3a)，a＜0，
∴r＝＝|5a|＝－5a.
∴sin α＝＝－.
[题点发散1] 若本例中“a＜0”，改为“a≠0”，求 sin α的值．
解：当a＜0时，sin α＝－；
当a＞0时， r＝5a, sin α＝.
[题点发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α， cos α， tan α的值．
解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，
当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
[题点发散3] 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的值．
解：由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cos α＝＝－， tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cos α＝＝－， tan α＝.
[类题通法]
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2.
[一题多变]
[典型母题]
已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
[解] 设圆心角是θ，半径是r，
则⇒(舍)，
故扇形圆心角为.
[题点发散1] 去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r，
则2r＋rθ＝10.
S＝θ·r2＝r(10－2r)＝r(5－r)
＝－2＋≤，
当且仅当r＝时，Smax＝，θ＝2.
所以当r＝，θ＝2时，扇形面积最大．
[题点发散2] 若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，
∴正方形边长为r，
∴圆心角的弧度数是＝.
答案：
[题点发散3] 若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.
解：
设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，
得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
[类题通法]
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
一、选择题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2
0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.
2．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B tan(α－π)＝⇒tan α＝.
又因为α∈，所以α为第三象限的角，
所以sin＝cos α＝－.
3．已知f(α)＝，则f的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos ＝－.
4．(2015·福建泉州期末)若tan α＝2，则的值为( )
A. B．－
C. D.
解析：选D 法一：(切化弦的思想)：因为tan α＝2,
所以 sin α＝2cos α， cos α＝sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1, 所以解得 sin2α＝.
所以＝＝＝＝.故选D.
法二：(弦化切的思想)：因为＝＝＝＝.故选D.
5．(2015·湖北黄州联考)若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵△ABC是锐角三角形，则A＋B＞，∴A＞－B＞0，B＞－A＞0，∴sin A＞sin＝cos B，sin B＞sin＝cos A，
∴cos B－sin A＜0, sin B－cos A＞0，
∴点P在第二象限，选B.
6．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 015)的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
即f(2 015)＝－3.
二、填空题
7．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
解析：∵α∈，∴cos α ＝－＝－，
∴tan α＝ ＝－.
答案：－
8．化简：＋＝________.
解析：原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
9．(2015·绍兴二模)若f(cos x)＝cos 2x, 则f(sin 15°)＝________.
解析：f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.
答案：－
10．(2015·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，
则cos α＋sin α ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α＋ sin α，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
答案：0
三、解答题
11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
第三节三角函数的图象与性质
基础盘查 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
(一)循纲忆知
1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间( )
(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线( )
(3)函数y＝sin是奇函数( )
(4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)( )
(5)正切函数在整个定义域内是增函数( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
3．(2015·皖南八校模拟)函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的最大值与最小值的和是( )
A．－2 B．0
C．－ D．－
解析：选C f(x)＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，所以函数f(x)的最大值是，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－，故选C.
4．(人教A版教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为____________________．
答案：
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
正弦、余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域为；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函数的值域为R.
[题组练透]
1．函数y＝的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由2sin x－1≥0, 得sin x≥，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
2．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 当x∈时，2x－∈，sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
3．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
解析：由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
4．求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.
[类题通法]
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cos x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
正弦函数的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；余弦函数的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；正切函数的单调递增区间是(k∈Z)．
[典题例析]
写出下列函数的单调区间：
(1)y＝sin；
(2)y＝|tan x|.
解：(1)y＝sin＝－sin，
它的递增区间是y＝sin的递减区间，
它的递减区间是y＝sin的递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的递减区间为，k∈Z；
递增区间为，k∈Z.
(2)观察图象(图略)可知，y＝|tan x|的递增区间是，k∈Z，递减区间是，k∈Z.
[类题通法]
三角函数的单调区间的求法
(1)代换法：
所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．
(2)图象法：
函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．
[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
[演练冲关]
1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2)
解析：选A 由＜x＜π，ω＞0得，＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin x在上递减，所以
解得≤ω≤.
2．函数y＝cos的单调递增区间为_____________________________________．
解析：函数y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z.
答案：(k∈Z)
|(常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
1．正弦、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
2．正弦、余弦函数的最小正周期为T＝2π，函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的周期是T＝；正切函数的最小正周期为T＝π，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝.
3．正弦函数y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z.余弦函数y＝cos x的对称轴是x＝kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z，即弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；正切函数没有对称轴，其对称中心为，k∈Z.
[多角探明]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
归纳起来常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心；
(3)三角函数对称性的应用.
角度一：三角函数的周期
1．函数y＝－2cos2＋1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
解析：选A 因为y＝－cos＝sin 2x，所以是最小正周期为π的奇函数．
2．(2015·长沙一模)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析：由题意知，1＜＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案：2或3
角度二：求三角函数的对称轴或对称中心
3．(2015·揭阳一模)当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f( )
A．是奇函数且图象关于点对称
B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．是奇函数且图象关于直线x＝对称
D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称
解析：选C ∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，
∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
∴f(x)＝sin＝sin.
∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x.
∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．
角度三：三角函数对称性的应用
4．(2015·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选D 由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，又由题图知
·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos πx，故f＝cos＝.
5．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：kπ＋(k∈Z)
[类题通法]
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
一、选择题
1．函数y＝ 的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
解析：选C ∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．(2015·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.
3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin|x|
解析：选B 注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②.
4．(2015·沈阳质检)已知曲线f(x)＝sin 2x＋cos 2x关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知f(x)＝2sin，其对称中心为(x0,0)，故2x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0＝－＋(k∈Z)，又x0∈，∴k＝1，x0＝，故选C.
5．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C 由题意得函数f(x)的周期T＝2＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入上式得sin＝1，所以φ＝，所以f(x)＝sin，于是f＝sin＝cos＝.
6．(2015·豫北六校联考)若函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，且－＜φ＜，则函数y＝f为( )
A．奇函数且在上单调递增
B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减
D．奇函数且在上单调递减
解析：选D 因为函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，则＋φ＝kπ＋，k∈Z.即φ＝kπ－，k∈Z，又－＜φ＜，则φ＝－，则y＝f＝cos＝cos＝－sin 2x，所以该函数为奇函数且在上单调递减，故选D.
二、填空题
7．函数y＝cos的单调减区间为______________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f
＝f，则f的值为________．
解析：∵f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±2.
答案：2或－2
10．已知函数f(x)＝sin，其中x∈.当a＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则a的取值范围是________．
解析：若－≤x≤，则－≤2x＋≤，此时－≤sin≤1，即f(x)的值域是.
若－≤x≤a，则－≤2x≤2a，－≤2x＋≤2a＋.因为当2x＋＝－或2x＋＝时，
sin＝－，所以要使f(x)的值域是，则≤2a＋≤，即≤2a≤π，
所以≤a≤，即a的取值范围是.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得sin 2xcos φ＝0，
由已知上式对∀x∈R都成立，
∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π.
∴＋φ＝，φ＝.
∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
12．设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0,1]时，求函数y＝g(x)的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝sin－cos－1＝·sin－1，所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6.
由2kπ－≤－≤2kπ＋，k∈Z，
得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时，
y＝f(x)的最大值，
当x∈[3,4]时，x－∈，sin∈，f(x)∈，
即当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值为.
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
基础盘查一 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
(一)循纲忆知
了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
(二)小题查验
(人教A版教材习题改编)函数y＝sin的振幅为________，周期为________，初相为________．
答案： 4π －
基础盘查二 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
(一)循纲忆知
熟练运用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
(二)小题查验
(人教A版教材例题改编)用“五点法”作函数y＝2sin的图象，试写出相应的五个点坐标．
答案：，(2π，2)，，(5π，－2)，
基础盘查三 y＝sin x变换到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
(一)循纲忆知
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题，并能进行图象变换．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象( )
(2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x
上所有点的横坐标变为原来的ω倍( )
(3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象( )
(4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0( )
(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．(人教A版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象，则这个简谐运动的函数表达式为________________．
答案：y＝2sinx，x∈[0，＋∞)
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法，即把已知点的坐标代入三角函数式y＝Asin(ωx＋φ)＋b，求出需要确定的系数A，ω，φ，b，得到三角函数的解析式．
[题组练透]
1．(2015·山西四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜，得φ＝－，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
2．(2015·东北三校联考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
[类题通法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“
谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
1．五点作图法是画正弦函数、余弦函数草图的重要方法，正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[一题多变]
[典型母题]
(2014·重庆高考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
[解析] 把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.
[答案]
[题点发散1] 将本例变为：由函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到y＝2sin的图象？
解：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y
＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
[题点发散2] 将本例中函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．
解析：把f(x)＝sin图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝sin的图象，此图象关于y轴对称．则m＋＝kπ＋(k∈Z)；m＝2kπ＋(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.
答案：
[题点发散3] 将本例变为：若将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝tan(ω＞0)的图象，与函数y＝tan的图象重合，所以－＝＋kπ(k∈Z)，所以k＝0时，ω的最小值为.
答案：
[类题通法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此0，ω>0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式．
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．
解：(1)由T＝2知＝2得ω＝π.
又因为当x＝时f(x)max＝2，知A＝2.
且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
故φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin
＝2sin，
故f(x)＝2sin.
(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝k＋(k∈Z)．
由≤k＋≤.
得≤k≤，又k∈Z，知k＝5.
故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，
当x＝8时f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简，得
sin≥
⇒2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
命题点一 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式
命题指数：☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题
1．(2014·大纲卷)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：选C ∵b＝sin 35°，∴b>a.
∵b－c＝cos 55°－＝＝＝<0，
∴bb>a，故选C.
2．(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－.
法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝，cos α＝，这时sin α＋2cos α＝符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
3．(2012·江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 法一：∵tan θ＋＝＝4，
∴4tan θ＝1＋tan2 θ，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.
法二：∵tan θ＋＝＋＝＝，
∴4＝，故sin 2θ＝.
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选B.
命题点二 三角函数的图象与性质 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
2．(2014·四川高考)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
解析：选A 因为y＝sin(2x＋1)＝sin，故可由函数y＝sin 2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，选A.
3．(2014·福建高考)将函数y＝sin x 的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x) 的图象，则下列说法正确的是 ( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：选D 函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，A错；f(x)＝cos x的周期为2π，B错；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x不关于直线x＝对称，C错；函数f(x)的对称中心是点k∈Z，D对．
4．(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
解析：选A 因为－＝·，所以ω＝2，又因为2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，所以φ＝－，故选A.
5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选A ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos，最小正周期为π；④y＝tan，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为
①②③，故选A.
6．(2014·辽宁高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：选B 将y＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin，即y＝3sin的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈，k∈Z，即函数y＝3sin的单调递增区间为＋kπ，＋kπ，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin在区间上单调递增，故B正确，画出函数 y＝3sin的简图(如图)，可知函数f(x)在区间上不具有单调性，故C，D错误．
7．(2014·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C 由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.
8．(2014·安徽高考)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：法一：f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位得函数y＝sin的图象，由函数y＝sin的图象关于y轴对称可知sin－2φ＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.
法二：由f(x)＝sin＝cos的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ＋＝kπ，k∈Z，故φ＝－，又φ>0，故φmin＝.
答案：
9．(2014·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.
答案：π
10．(2014·北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
11．(2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin ＋1＝2，
即sin＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
12．(2014·福建高考)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝－＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础盘查一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(一)循纲忆知
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立( )
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和 cos Acos B大小不确定( )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(人教A版教材例题改编)已知sin α＝－，α是第四象限角，则cos＝________.
答案：
3．计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．
答案：
4．(北师大版教材例题改编)若tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为________．
答案：
基础盘查二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(一)循纲忆知
能利用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)cos θ＝2cos2 －1＝1－2sin2( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．(人教A版教材习题改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
答案：
3．计算：＝________.
答案：
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
[题组练透]
1．已知sin α＝，α∈，则＝________.
解析：＝
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.
∴原式＝－.
答案：－
2．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，
又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
答案：
3．(2014·江苏高考)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×
＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α
＝×＋×
＝－.
[类题通法]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
[典题例析]
1．(2015·东北三校第二次联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋ cos α)2＝1＋2sin α cos α＝，∴sin 2α＝－，∴sin2＝＝＝.
2．计算的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B ＝
＝＝＝.
[类题通法]
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
[演练冲关]
1．(2015·赣州模拟)已知sin＋cos α＝，则sin的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由条件得sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝.∴sin＝.
2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
角的变换技巧
α＝(α＋β)－β；
α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－.
[一题多变]
[典型母题]
(2015·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
[解] (1)∵α，β∈，从而－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×
＝.
[题点发散1] 在本例条件下，求sin(α－2β)的值．
解：∵sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，
cos β＝，sin β＝.
∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－
cos(α－β)sin β＝－.
[题点发散2] 若本例中“sin α＝”变为“tan α＝，”其他条件不变，求tan(2α－β)的值．
解：∵tan α＝，tan(α－β)＝－，
∴tan(2α－β)＝tan＝ ＝＝.
[题点发散3] 若本例条件变为：已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β)的值．
解：∵＜α＜π，0＜β＜，cos＝－，
sin＝，
∴＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos＝cos＝
coscos＋sinsin＝×＋×＝.
则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
[类题通法]
1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
3．注意角的变换技巧．
一、选择题
1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝.
2．(2015·山西四校联考)已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是( )
A. B.
C．－ D．1
解析：选C 由已知得cos α＝，sin α＝－，cos＝cos α＋ sin α＝－.
3．(2015·四川成都五校联考)已知锐角α满足 cos 2α＝cos，则sin 2α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵cos 2α＝cos，
∴cos2α－sin2α＝coscos α＋sinsin α .
∵α为锐角，
∴cos α－sin α＝， ∴sin 2α＝.
4．化简的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D 法一：＝
＝1.
法二：令α＝0，则原式＝＝1.
5．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝.
6．(2015·广东中山一模)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵α∈，∴2α∈(0，π)．
∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin 2α＝＝，
而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×(－)＋×＝.
二、填空题
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝.①
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
8．计算＝________.
解析：＝＝
＝＝.
答案：
9．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：因为α为锐角，cos＝，
所以sin＝，sin 2＝，
cos 2＝，
所以sin＝sin
＝×－×＝.
答案：
10．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：法一：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos－sin2α＝1－－＝.
法二：令α＝0，则原式＝＋＝.
答案：
三、解答题
11．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，
且＝，即cos α＝2sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
∴sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.
12．已知函数f(x)＝sinsin.
(1)求函数f(x)在[－π，0]上的单调区间．
(2)已知角α满足α∈，2f(2α)＋4f＝1，求f(α)的值．
解：f(x)＝sinsin
＝sincos＝sin x.
(1)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)2f(2α)＋4f＝1⇒sin 2α＋2sin＝1
⇒2sin αcos α＋2(cos2α－sin2α)＝1
⇒cos2α＋2sin αcos α－3sin2α＝0
⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.
∵α∈，
∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝，
∴f(α)＝sin ＝.
第六节简单的三角恒等变换
基础盘查 三角变换公式
(一)循纲忆知
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)当α是第一象限角时，sin＝ ( )
(2)对任意角α，tan2 ＝都成立( )
(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的( )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(北师大版教材例题改编)已知cos α＝，则tan ＝________.
答案：±
3．(2015·保定模拟)已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－，
∴tan 2θ＝＝＝.
|(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．化简：＝________.
解析：原式＝＝2cos α.
答案：2cos α
2．化简：.
解：原式＝
＝＝＝cos 2x.
3．化简：·.
解：·
＝·
＝·
＝·＝.
[类题通法]
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角.
角度一：给值求值
1．(2014·广东高考) 已知函数f(x)＝Asin ，x∈R，且f＝.
(1)求A 的值；
(2)若 f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴Asin＝⇒Asin＝⇒A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∵f(θ)－f(－θ)＝，
∴3sin－3sin＝，
展开得3－3＝，化简得sin θ＝.
∵θ∈，∴cos θ＝.
∴f＝3sin
＝3sin＝3cos θ＝.
角度二：给角求值
2．(2015·衡水中学二调)－＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选D －＝－＝
＝＝＝－4.
3．化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1.
答案：1
角度三：给值求角
4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
[类题通法]
三角函数求值有三类
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
(2014·天津高考)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由x∈得2x－∈，
则sin∈，
即函数f(x)＝sin∈.
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，
最小值为－.
[类题通法]
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
[演练冲关]
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)当α∈时，若f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈.
所以4α＋＝.故α＝.
[A卷——夯基保分]
一、选择题
1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D ∵cos2＝＝，∴cos2＝.
2．(2015·青岛二模)设tan＝，则tan＝( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：选C 因为tan＝＝，所以tan α＝，故tan＝＝－4.故选C.
3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 依题意，角α的终边经过点P(2,3)，则tan α＝，tan 2α＝＝－，于是tan＝＝－.
4．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos
代入原式，得
6sincos＝sin，
∵α∈，∴cos＝，
∴sin 2α＝cos
＝2cos2－1＝－.
5．cos·cos·cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A cos·cos·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
6．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意有
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，
又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
故β＝.
二、填空题
7．(2014·山东高考)函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
8.若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
9.的值为________．
解析：原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案：1
10.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解：(1)f＝cos2＋sincos ＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x) ＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin ＝＋sin .
又因为 sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
12．已知，0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)法一：∵cos＝coscos β＋sinsin β
＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<π，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
[B卷——增分提能]
1．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan＝，
∴tan α＝＝＝，
由
解得sin α＝.
(2)由(1)知cos α＝＝ ＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，
∴sin(β－α)＝＝ ＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
2．已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．
解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ
＝sin(ωx＋φ)．
∵函数f(x)的最小正周期为2π，
∴2π＝T＝，解得ω＝1.
将点M代入函数f(x)的解析式，
得sin＝.
∵＜φ＜π，∴＜＋φ＜，
∴＋φ＝，∴φ＝.
故f(x)＝sin＝cos x.
(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α，β∈，
∴sin α＝ ＝，sin β＝ ＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
∴f(2α－β)＝cos(2α－β)
＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×＝.
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围是[－2,1]．
第七节正弦定理和余弦定理
基础盘查一 正弦定理与余弦定理
(一)循纲忆知
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B( )
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一( )
(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(人教A版教材练习改编)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，则a＝________.
答案：10(3－)
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B的值为________．
答案：
基础盘查二 三角形中常用的面积公式
(一)循纲忆知
会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积( )
(2)三角形中已知三边无法求其面积( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．已知△ABC中，a＝2，b＝3，cos C＝，则此三角形的面积S的值为________．
答案：
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．正弦定理
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
[典题例析]
(2014·辽宁高考)在△ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c .已知 ·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由·＝2得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝ ＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因a＝b>c，所以C是锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
[类题通法]
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
[演练冲关]
在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a－2bsin A＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值．
解：(1)因为a－2bsin A＝0，
所以sin A－2sin Bsin A＝0.
因为sin A≠0，所以sin B＝.
又B为锐角，则B＝.
(2)由(1)知B＝，因为b＝，
根据余弦定理得7＝a2＋c2－2accos，
整理，得(a＋c)2－3ac＝7.
由已知a＋c＝5，则ac＝6.
又a>c，可得a＝3，c＝2.
于是cos A＝＝＝，
所以·＝||·||cos A
＝cbcos A＝2××＝1.
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
三角形中常见的结论
(1)A＋B＋C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)三角形内的诱导公式：
sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；
tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(5)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .
(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．
[一题多变]
[典型母题]
(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不确定
[解析] 依据题设条件的特点，由正弦定理，
得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，
从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，
∴A＝，故选B.
[答案] B
[题点发散1] 本例的条件变为：若2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
解：选B 法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)．
则cos C＝＝<0，
∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①
由余弦定理及C＝，可得a2＋b2－c2＝ab.②
所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.
所以S△ABC＝absin＝×6×＝.
5．(2015·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－，所以C＝.
6．(2015·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 根据正弦定理：＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，得cos B＝＝，故B＝，故选C.
二、填空题
7．(2014·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B ＝ ________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝，又B∈，且b>a，所以B＝或.
答案：或
8．(2015·苏北四市联考)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．
解析：由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
答案：7
9．(2015·云南第一次检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于________．
解析：依题可得sin B＝，又S△ABC＝acsin B＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16.
答案：16
10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．
解析：由正弦定理＝＝
得＝
＝，
即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)·cos B，
化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，
因此＝3.
答案：3
三、解答题
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cos C＋ccos B＝0.
(1)求C；
(2)若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．
解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C，
sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C.
又sin A≠0，得cos C＝.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴
解得a＝1，b＝3.
故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.
12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC中，C＝2A，cos A＝，且2·＝－27.
(1)求cos B的值；
(2)求AC的长度．
解：(1)∵C＝2A，∴cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝，
∴sin C＝，sin A＝.
∴cos B＝－cos(A＋C)＝sin A·sin C－cos A·cos C＝.
(2)∵＝，∴AB＝BC.
∵2·＝－27，cos B＝，
∴||||＝24，
∴BC＝4，AB＝6，
∴AC＝
＝ ＝5.
[B卷——增分提能]
1．(2014·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得
cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴cos B的最小值为.
2．(2015·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值．
解：(1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，
即(cos C＋1)2＝0，∴cos C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin C＝sin A，∴sin A＝sin C＝.
∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，
∴absin C＝sin Asin B，
∴sin C＝，由正弦定理得：2sin C＝，
解得c＝1.
3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)．
(1)若λ＝时，证明：△ABC为直角三角形；
(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值．
解：(1)证明：∵λ＝，∴a＋b＝c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，
∵C＝，∴sin B＋sin＝，
sin B＋cos B＋sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，
则sin＝，
从而B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.
若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；
若B＝，△ABC亦为直角三角形．
(2)若·＝λ2，则a·b＝λ2，∴ab＝λ2.
又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，
故9λ2－λ2＝9，λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.
第八节正弦定理和余弦定理的应用
基础盘查 实际应用中的常用术语(仰角与俯角、方位角、方向角)
(一)循纲忆知
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为( )
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )
(3)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．(北师大版教材习题改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案：D
3．(2015·北京朝阳区模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中心C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.
解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，
则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α，
∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，
∴△A1AC∽△CBB1，
∴＝，
∴AA1·BB1＝900，
∴3 600tan αtan 2α＝900，
∴tan α＝，tan 2α＝，BB1＝60tan 2α＝45.
答案： 45
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图)．
[典题例析]
(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
解析：在Rt△ABC中，AC＝100 m，在△MAC中，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在Rt△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m.
即山高MN为150 m.
答案：150
[类题通法]
求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
[演练冲关]
要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
解：如图，设电视塔AB高为x m，
则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得
BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，
则BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，
解得x＝40，所以电视塔高为40米．
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)两点都不可到达；
(2)两点不相通的距离；
(3)两点间可视但有一点不可到达.
角度一：两点都不可到达
1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝
·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°
＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．
∴A，B两点间的距离为 km.
角度二：两点不相通的距离
2.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．
即AB＝.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
解：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 m.
即A，B两点间的距离为200 m.
角度三：两点间可视但有一点不可到达
3.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.
解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
答案：20
[类题通法]
求距离问题的注意事项
(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图)．
2．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．
[典题例析]
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[类题通法]
解决测量角度问题的注意事项
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
[演练冲关]
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.
由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
一、选择题
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为
2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
解析：选B 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.
4．(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.
5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
6．(2015·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)0.
则cos A＝>0，
∵0.
因此得角A的取值范围是.
二、填空题
7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
8.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.
解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3.
答案：3
9．如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.
解析：如图，在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝20 m.
又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40.在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60 m，故通信塔CD的高为60 m.
答案：60
10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)
解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
三、解答题
11．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，
立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
解析：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h 才能靠近渔轮．
12.(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．
命题点一 简单的三角恒等变换 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2－1
解析：选C 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－
＝－＝
＝＝
＝＝＝.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B 由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝sin＝－.
法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
4．(2014·江西高考)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
解：(1)当a＝，θ＝时，f(x)＝sin＋cos＝－sin x＝ cos x－ sin x＝sin ，
因为x∈[0，π]，从而－x∈，
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈知cos θ≠0，
解得
命题点二 解三角形 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中、低 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
2．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则 的值为( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×2－1＝.
3．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
解析：由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.
答案：2
4．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c，
因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，
所以cos A＝＝－.
答案：－
5．(2014·江苏高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得
cos A＝＝＝－.
由于0
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