高三数学总复习练习第六章 章末检测

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高三数学总复习练习第六章 章末检测

第六章 章末检测 ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2011·茂名月考)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是 (  )‎ A.15 B.‎30 ‎ C.31 D.64‎ ‎2.各项均不为零的等差数列{an}中,若a-an-1-an+1=0 (n∈N*,n≥2),则S2 010等(  )‎ A.0 B.‎2 ‎ C.2 009 D.4 020‎ ‎3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于 (  )‎ A.66 B.‎65 ‎ C.61 D.56‎ ‎4.(2011·南阳模拟)等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则 (  )‎ A.a1=1 B.a3=‎1 ‎ C.a4=1 D.a5=1‎ ‎5.(2010·东北师大附中高三月考)由a1=1,an+1=给出的数列{an}的第34项(  )‎ A. B.‎100 ‎ C. D. ‎6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5S7>S5,有下列四个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中的最大项为S11.‎ 其中正确的命题是________.(将所有正确的命题序号填在横线上)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,S10=190.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)设p,q∈N*,试判断ap·aq是否仍为数列{an}中的项并说明理由.‎ ‎18.(12分)在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a‎3a8a13=28,求数列{an}的通项公式.‎ ‎19.(12分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且向量a=(n,Sn),b=(4,n+3)共线.‎ ‎(1)求证:数列{an}是等差数列;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎20.(12分)(2011·唐山月考)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.‎ ‎(1)设a为常数,求证:{an}成等比数列;‎ ‎(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=时,求Sn.‎ ‎21.(12分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同,且a1+‎2a2+‎22a3+…+2n-1an=8n对任意n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎(2)是否存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1)?请说明理由.‎ ‎22.(12分)为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2006年底,将当地沙漠绿化了40%,从2007年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg 2=0.3,最后结果精确到整数)‎ 答案 1.A [由{an}是等差数列知a7+a9=‎2a8=16,∴a8=8.又a4=1,∴a12=‎2a8-a4=15.]‎ ‎2.D [a=an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2.‎ ‎∴Sn=2n,S2 010=2×2 010=4 020.]‎ ‎3.A [当n=1时,a1=S1=-1;‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5,‎ ‎∴a2=-1,a3=1,a4=3,…,a10=15,‎ ‎∴|a1|+|a2|+…+|a10|‎ ‎=1+1+=2+64=66.]‎ ‎4.B [因为{an}是等比数列,所以a1·a5=a2·a4=a,代入已知式T5=1,得a=1,所以a3=1.]‎ ‎5.C [由an+1=知,=+3,‎ ‎∴是以1为首项,公差为3的等差数列.‎ ‎∴=1+(n-1)×3=3n-2.‎ ‎∴an=,a34==.]‎ ‎6.B [∵Sn=n2-9n,‎ ‎∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10,‎ a1=S1=-8适合上式,‎ ‎∴an=2n-10 (n∈N*),‎ ‎∴5<2k-10<8,得7.50(显然tan B≠0,若tan B<0,因为tan A>0且tan C>0,tan A+tan C>0,这与tan B<0矛盾),‎ 又tan B=-tan(A+C)=- ‎=-≠0,所以tan Atan C=3.‎ 又∵tan A+tan C≥2=2,‎ ‎∴tan B≥,∵B∈(0,π)‎ ‎∴B的取值范围是.]‎ ‎12.D [由题意知Sn=X,S2n=Y,S3n=Z.‎ 又∵{an}是等比数列,‎ ‎∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为等比数列,‎ 即X,Y-X,Z-Y为等比数列,‎ ‎∴(Y-X)2=X·(Z-Y),‎ 即Y2-2XY+X2=ZX-XY,‎ ‎∴Y2-XY=ZX-X2,‎ 即Y(Y-X)=X(Z-X).]‎ ‎13.624‎ 解析 an==-.‎ ‎∴(-1)+(-)+…+(-)=24,‎ ‎∴=25,∴n=624.‎ ‎14.52‎ 解析 ∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=23=8.‎ ‎∴S13====52.‎ ‎15.34 950‎ 解析 由“第n组有n个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,1为公差的等差数列,前99组数的个数共有=4 950个,故第100组中的第1个数是34 950.‎ ‎16.①②‎ 解析 由S6>S7得a7<0,‎ 由S6>S5得a6>0,‎ 由S7>S5得a6+a7>0.‎ 因为d=a7-a6,∴d<0;‎ S11=a1+a2+…+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+…+a6=‎11a6>0,S12=a1+a2+…+a12=(a1+a12)+(a2+a11)+…+(a6+a7)=6(a6+a7)>0;‎ ‎∵a6>0,a7<0,∴{Sn}中S6最大.‎ 故正确的命题为①②.‎ ‎17.解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,则 ,………………………………………………………………(4分)‎ 解得a1=1,d=4,∴an=4n-3.………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)apaq=(4p-3)(4q-3)=16pq-12(p+q)+9‎ ‎=4[4pq-3(p+q)+3]-3,‎ ‎∵4pq-3(p+q)+3∈N*,………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴ap·aq为数列{an}中的项.……………………………………………………………(10分)‎ ‎18.解 ∵a3+a13=‎2a8,a3+a8+a13=12,‎ ‎∴a8=4,…………………………………………………………………………………(2分)‎ 则由已知得 解得或…………………………………………………………(7分)‎ 由a3=1,a13=7,‎ 可知d===.‎ 故an=a3+(n-3)·=n-;……………………………………………………………(9分)‎ 由a3=7,a13=1,‎ 可知d===-.‎ 故an=a3+(n-3)· ‎=-n+.……………………………………………………………………………(11分)‎ 综上可得,an=n-,或an=-n+.……………………………………………(12分)‎ ‎19.(1)证明 ∵a=(n,Sn),b=(4,n+3)共线,‎ ‎∴n(n+3)-4Sn=0,∴Sn=.……………………………………………………(3分)‎ ‎∴a1=S1=1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,……………………………………………………(5分)‎ 又a1=1满足此式,∴an=.………………………………………………………(6分)‎ ‎∴an+1-an=为常数,‎ ‎∴数列{an}为首项为1,公差为的等差数列.………………………………………(7分)‎ ‎(2)解 ∵==2,…………………………………………………(9分)‎ ‎∴Tn=++…+.‎ ‎=2+2+…+2=.……………………………………(12分)‎ ‎20.(1)证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,…………………………………………(2分)‎ 即logaan=2n+2,可得an=a2n+2.‎ ‎∴== ‎=a2 (n≥2)为定值.………………………………………………………………………(4分)‎ ‎∴{an}为以a2为公比的等比数列.……………………………………………………(5分)‎ ‎(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2‎ ‎=(2n+2)a2n+2.…………………………………………………………………………(7分)‎ 当a=时,bn=(2n+2)()2n+2‎ ‎=(n+1)2n+2.‎ Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2,①‎ ‎2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3,②‎ ‎①-②,得 ‎-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3 …………………………………………(9分)‎ ‎=16+-(n+1)·2n+3‎ ‎=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.‎ ‎∴Sn=n·2n+3.……………………………………………………………………………(12分)‎ ‎21.解 (1)已知得a1+‎2a2+‎22a3+…+2n-1an ‎=8n(n∈N*),①‎ 当n≥2时,a1+‎2a2+‎22a3+…+2n-2an-1=8(n-1).②‎ 由①-②,得2n-1an=8.∴an=24-n.……………………………………………………(3分)‎ 在①中,令n=1,得a1=8=24-1,‎ ‎∴an=24-n(n∈N*).‎ 由题意知b1=8,b2=4,b3=2,‎ ‎∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,‎ ‎∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2.‎ ‎∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6.…………………………………………………(5分)‎ ‎∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)‎ ‎=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)‎ ‎=n2-7n+14(n∈N*).…………………………………………………………………(7分)‎ ‎(2)∵bk-ak=k2-7k+14-24-k,‎ 设f(k)=k2-7k+14-24-k,‎ 当k≥4时,f(k)=(k-)2+-24-k,单调递增,‎ 且f(4)=1.‎ ‎∴k≥4时,f(k)=k2-7k+4-24-k≥1.…………………………………………………(10分)‎ 又f(1)=f(2)=f(3)=0,…………………………………………………………………(11分)‎ ‎∴不存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1).………………………………………………(12分)‎ ‎22.解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a1=,经过n年后绿洲面积为an+1,设2006年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1,an+bn=1.…(3分)‎ 依题意an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn,‎ ‎∴an+1=92%·an+12%(1-an)‎ ‎=an+,………………………………………………………………………………(6分)‎ 即an+1-=(an-).‎ ‎∴{an-}是以-为首项,为公比的等比数列,‎ 则an+1=-·()n.………………………………………………………………………(9分)‎ ‎∵an+1>50%,∴-·()n>.‎ ‎∴()n<,n>=≈3.……………………………………………………(11分)‎ 则当n≥4时,不等式()n<恒成立.‎ ‎∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)‎
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