2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一12月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一12月月考数学试题（解析版）

2018-2019 学年甘肃省兰州第一中学高一 12 月月考数学试题（解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知异面直线 a，b 分别在平面 α，β 内，且 α∩β＝c，那么直线 c 一定(　　) A. 与 a，b 都相交 B. 只能与 a，b 中的一条相交 C. 至少与 a，b 中的一条相交 D. 与 a，b 都平行 【答案】C 【解析】 若 c 与 a，b 都不相交，则 c 与 a，b 都平行，根据公理 4，知 a∥b，与 a，b 异面矛盾．故选 C. 2.函数 的图象必经过点（ ） A. （0，1） B. （1，1） C. （2，1） D. （2，2） 【答案】D 【解析】 试题分析： 由 x-2=0 得，x=2,此时 y=2,所以此函数的图像必经过点(2,2). 考点：指数函数的图像及性质. 点评：根据指数函数 恒过（0，1）点,然后令指数 x-2=0,可得函数过(2,2)点. 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 2y 1 ( 0, 1)xa a a-= + > ¹且 ( 0, 1)xy a a a= > ¹ 【分析】 直接利用三视图的复原图求出几何体的体积． 【详解】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱． 如图所示： 故该几何体的体积为：V= ． 故选：C． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 4.已知函数 是幂函数，且在 递减，则实数 =（ ） A. 2 B. -1 C. 4 D. 2 或-1 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用幂函数的定义，得到 ，求得 或 ，之后再结合题中的条件函数在 递减，将 排除，从而求得结果. 【详解】根据幂函数的定义和性质，得 ， 解得 或 ， 时， 在 上是减函数，符合题意； 当 时， 在 上没有严格的单调性， 所以 ，故选 A. 【点睛】该题考查的是有关幂函数的定义和性质，涉及到的知识点是利用函数是幂函数，以及在某个区间 上的单调性，来确定参数的值的问题，正确理解幂函数的定义是解题的关键. ( )1 1 2 2 2 62 + × × = 22 2 3( ) ( 1) m mf x m m x - -= - - (0, )xÎ +¥ m 2 1 1m m- - = 2m = 1m = - ( )0,xÎ +¥ 1m = - 2 1 1m m- - = 2m = 1m = - 2m = 3( )f x x-= (0, )+¥ 1m = - 0( ) 1f x x= = (0, )+¥ 2m = 5.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 球的内接正方体的对角线的长就是球的直径，设出正方体的棱长，求出球的半径，求出两个表面积即可确 定比值． 【详解】设正方体边长为：a 则球的半径为 所以球的表面积 S1=4•π•R2=4π a2=3πa2 而正方体表面积为：S2=6a2 所以比值为： 故选：B． 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球 心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解 题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的 半径 ． 6.已知函数 ，若 ，则此函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 3 p 2 p 4 p p 3 2 a 3 4 1 2 2 S S p= 2( ) log ( 2 3)af x x x= + - (2) 0f < (1, ) ( , 3)+¥ È - ¥ - (1, )+¥ ( , 1)- ¥ - ( , 3)- ¥ - 试题分析： , ． 得 或 ．即函数的定义域为 ． 函数 的图像为开口向上以 为对称轴的抛物线, 又 ,所以函数 的单调增区间为 ．故 D 正确． 考点：复合函数的单调性． 7.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是 AB，AD，B1C1 的中点，那么正方体过 P，Q，R 的截面图形是(　　) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】 延长 QP，CB 交于 V，连接 RV，交 BB1 于 S．作 RT∥PQ，交 C1D1 于 M．延长 PQ，CD 交于 T，连接 TM，交 DD1 于 N．那么 PQNMRS 即为所求截面． 【详解】延长 QP，CB 交于 V，连接 RV，交 BB1 于 S． 作 RT∥PQ，交 C1D1 于 M．延长 PQ，CD 交于 T，连接 TM，交 DD1 于 N． 如图所示： 正方体过 P、Q、R 的截面图形是六边形， 且是边长是正方体棱长的 倍的正六边形． 故答案为：D ( ) ( )22 log 2 2 2 3 log 5 0 log 1a a af = + ´ - = < = 0 1a < < 3x < - 1x > ( ) ( ), 3 1,- ¥ - È +¥ 2 2 3y x x= + - 1x = - 0 1a< < 2( ) log ( 2 3)af x x x= + - ( ), 3- ¥ - 2 2 【点睛】本题主要考查平面公理 2，公理 2 指出：如果两 平面有一个公共点，那么有且只有一条通过 这个点的公共直线．其作用：①它是判定两平面相交的方法；②它说明了两平面交线与两平 面公共点之间的关系，交线必过公共点；③它是判别点在直线上，即证若干点共线的依据． 8.设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜c＜a 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1， b=log0.40.3＞log0.40.4=1， c=log80.4＜log81=0， ∴a，b，c 的大小关系是 c＜a＜b． 故选：C． 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形 式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数 或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来 比较大小． 9.已知空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则判断：①MN≥ (AC＋BD)； 0.40.5a = 0.4log 0.3b = 8log 0.4c = 0,1 1 2 ②MN＞ (AC＋BD)；③MN＝ (AC＋BD)；④MN＜ (AC＋BD)．其中正确的是(　 ) A. ①③ B. ④ C. ② D. ②④ 【答案】D 【解析】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,取 BC 的中点 E,连接 ME、NE, 则 ME= AC,NE= BD. 在△MNE 中,MNï= íï £î ( ) 0f x b- = b (1,10] 1( ,10]10 (1, )+¥ (0,10] ( ) 1 1 2 2 10 2x Ig x x x- ì + -ïíï £î ， ＞ ， f（x）﹣b=0 有三个不等实数根，即函数 y=f（x）的图象与 y=b 有 3 个不同交点， 由图可知，b 的取值范围是（1，10 ． 故选：A． 【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中 档题． 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ， ，则 __________． 【答案】 【解析】 试题分析：由 得 ，所以 ，解得 ，故答案为 . 考点：指数方程；对数方程. 14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 __________． 【答案】2：1 【解析】 【分析】 根据已知求出圆柱和圆锥的表面积，可得答案． 【详解】∵圆柱的轴截面是边长为 a 的正方形， 故圆柱的底面半径 r= a，母线长 l=a， 故圆柱的表面积 S=2πr（r+l）= ， 4 2a = lg x a= x = 10 4 2a = 1 2a = 1lg 2x = 10x = 10 1 2 23 2 a p ∵圆锥的轴截面是边长为 a 的正三角形， 故圆锥的底面半径 r= a，母线长 l=a， 故圆锥的表面积 S=πr（r+l）= ， 故它们的表面积之比为：2：1， 故答案为：2：1． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体的表面积，熟练掌握圆锥和圆柱表面积公式，是解答的关键． 15.一个半径为 2 的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 几何体为一个球切割掉 球体，根据几何体的体积为 球的体积，把数据代入球的体积公式计算可得答 案． 【详解】由已知中的三视图可得： 几何体为一个球切割掉 球体， 故几何体的体积 V= • =8π， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积和体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几 何量是解答此类问题的关键． 16.a、b、c 为三条不重合的直线，α、β、γ 为三个不重合的平面，现给出六个命题． ① ⇒a∥b； ② ⇒a∥b； ③ ⇒α∥β； 1 2 23 4 a p 8p 1 4 3 4 1 4 3 4 34 3 Rp 8p / / / / a c b c üïýïþ / / / / a b g g üïýïþ / / / / a c cb üïýïþ ④ ⇒α∥β； ⑤ ⇒a∥α； ⑥ ⇒a∥α， 其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①④ 【解析】 【分析】 在①中，由平行公理判断正误；在②中，a 与 b 相交、平行或异面；在③中，α 与 β 相交或平行；在④ 中，由面面平行的判定定理判断④的正误；在⑤中，a∥α，或 a⊂α；在⑥中，a∥α 或 a⊂α． 【详解】由 a，b，c 为三条不重合的直线，α，β，γ 为三个不重合的平面，知： ①∵a∥c，b∥c，∴由平行公理得 a∥b，故①正确； ②∵a∥γ，b∥γ，∴a 与 b 相交、平行或异面，故②错误； ③∵c∥α，c∥β，∴α 与 β 相交或平行，故③错误； ④∵α∥γ，β∥γ，∴由面面平行的判定定理得 α∥β，故④正确； ⑤∵c∥α，a∥c，∴a∥α，或 a⊂α，故⑤错误； ⑥∵a∥γ， ，∴a∥α 或 a⊂α，故⑥错误． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位 置关系的合理运用． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本大题共 70 分) 17.计算： （1） ； （2） ； （3）已知 ， 求 的值. 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 【解析】 / / / / a g b g üïýïþ / / / / c a c aüïýïþ / / / /a a g g üïýïþ / /a g 21 0 2321 3 3(2 ) ( 9.5) (3 ) ( )4 8 2 - -- - - + 5 4 log 2 3 27log lg 25 lg 4 53 + + + 1 1 2 2 5x x- + = 2 2 1 6 5 x x x x - - + - + - 1 2 15 4 1 2- 【分析】 （1）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值； （2）化根式为分数指数幂，然后利用对数的运算性质化简求值； （3）由已知可得：x+x﹣1= ﹣2，x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2，即可得出． 【详解】（1） ； （2） ； （3）由已知可得：x+x﹣1= ﹣2= =3． x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7． 原式= =﹣ ． 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了对数的运算性质，是基础的计算题． 18.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 为 的中点， 为 的中点．证明：直线 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】 试题分析：方法一，取 OB 的中点 G，连接 GN、GM。证明平面 MNG∥平面 OCD，从而可证得 MN∥平面 OCD。 方法二：取 OD 的中点 P，连接 MP、CP。可证得四边形 MNCP 为平行四边形，因此 MN∥PC，由线面平 行的判定定理可得 MN∥平面 OCD。 试题解析： 1 1 22 2( )x x- + ( ) 1 2 1 22 22 3 2 301 3 3 9 27 3 3 4 4 12 9.5 3 1 14 8 2 4 8 2 2 9 9 2 - - - -æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷- - - + = - - + = - - + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø è ø è ø 5 14 log 2 4 3 3 27 1 15log lg25 lg4 5 log 3 100 2 43 4 4lg- + + + = + + = - + = 1 1 22 2( )x x- + 2( 5) 2- 7 6 3 5 - - 1 2 O ABCD- ABCD M OA N BC / /MN OCD 方法一：如图，取 OB 的中点 G，连接 GN、GM。 ∵M 为 OA 的中点， ∴MG∥AB. ∵AB∥CD， ∴MG∥CD. ∵MG 平面 OCD，CD⊂平面 OCD， ∴MG∥平面 OCD。 又 G、N 分别为 OB、BC 的中点， ∴GN∥OC。 ∵GN 平面 OCD，OC⊂平面 OCD， ∴GN∥平面 OCD。 又 MG∩GN＝G， ∴平面 MNG∥平面 OCD。 ∵MN⊂平面 MNG， ∴MN∥平面 OCD。 方法二：如图，取 OD 的中点 P，连接 MP、CP。 ∵M 为 OA 的中点， ∴ 且 。 ∵N 为 BC 的中点， ∴ 且 ， Ë Ë MP AD 1 2MP AD= CN AD 1 2CN AD= ∴ 且 ， ∴四边形 MNCP 为平行四边形， ∴MN∥PC。 又∵MN 平面 OCD，PC⊂平面 OCD， ∴MN∥平面 OCD. 19.如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点． （1）求证：MN∥平面 PAD； （2）在 PB 上确定一个点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）取 PD 的中点 H,易证得 AMNH 为平行四边形，从而证得 MN∥AH，即证得结论； （2）由平面 MNQ∥平面 PAD,则应有 MQ∥PA，利用中位线定理可确定位置. 【详解】(1)如图,取 PD 的中点 H, 连接 AH、NH.由 N 是 PC 的中点,H 是 PD 的中点,知 NH∥DC,NH= DC. 由 M 是 AB 的中点,知 AM∥DC,AM= DC . ∴NH∥AM,NH=AM,所以 AMNH 为平行四边形. MP CN MP CN= Ë 1 2 1 2 ∴MN∥AH. 由 MN⊄平面 PAD,AH⊂平面 PAD, 知 MN∥平面 PAD. (2)若平面 MNQ∥平面 PAD,则应有 MQ∥PA, ∵M 是 AB 中点,∴Q 是 PB 的中点. 即当 Q 为 PB 的中点时,平面 MNQ∥平面 PAD. 【点睛】本题主要考查了线面平行及面面平行的证明，属于基础题. 20.如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点． 求证:（1）BE∥平面 DMF； （2）平面 BDE∥平面 MNG. 【答案】见解析 【解析】 试题分析：（1）欲证线面平行常转化为找线与面中的一条直线平行． 本题中可结合题中的中点条件，找线 BE 与面中的线 MO 平行得证． （2）证面面平行，需运用面与面平行的判定找线与面平行， 利用中点条件找出两条相交直线 DE 和 BD 与面 BDE 平行得证． 试题解析：（1）如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO， 则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO， 又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF． （2）因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DE∥GN， 又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG． 又 M 为 AB 中点，所以 MN 为△ABD 的中位线，所以 BD∥MN， 又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG，所以 BD∥平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直 线， 所以平面 BDE∥平面 MNG． 考点：线面平行与面面平行的判定方法． 21.设函数 f(x)＝ (a∈R)，若 . （1）求 f(x)的解析式； （2） ，若 时，f(x)≤g(x)有解，求实数 的取值集合． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 求得 a 的值，可得 f（x）的解析式； （2）由条件可得 ，根据 ，可得 x+1＞0．根据 h（x）=1﹣x2 在[ ， 上是减函 数，求得 h（x）的最大值，可得 2≤ ．又由 g（x）定义域知 ＞0，从而求得 的范围． 【详解】(1) ，即 ，解得 a＝1. ∴ . (2)∵ . 易知 f(x)的定义域为(－1,1)，∴1＋x>0,1－x>0，∴ 2≤1－x2. 令 h(x)＝1－x2，则 h(x)在 上单调递减，∴ h(x)max＝ ，∴只需 2≤ . 又由题意知 >0，∴0< ≤ . 【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，考查不等式有解问题，考查逻辑推理能力与计算能 2 1log ( )1 x ax + - 1( ) 13f - = - ( ) 2 1log xg x k += 1 2[ , ]2 3xÎ ( ) 2 1log 1 xf x x += - 30 2k £＜ 1 13f æ öç ÷- = -ç ÷è ø 21 1( )1 x x x k + +£- 1 2 2 3x£ £ 1 2 2 3 3 4 2 1 211 13 3log 13 21 13 3 f a a -æ öç ÷- = = - Þ =ç ÷è ø + + 4 13 3 a= + ( ) 2 1log 1 xf x x += - 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1log log 2log log1 1 x x x x x x x k k k x k æ ö æ ö+ + + + + +ç ÷ ç ÷£ = = Þ £ç ÷ ç ÷- -è ø è ø 1 2,2 3 é ùê úê úë û 1 3 2 4hæ öç ÷=ç ÷è ø 3 4 3 2 力，属于中档题． 22.已知函数 是定义在 上的奇函数. （1）求 的值； （2）求函数 的值域； （3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 试题分析：（1）根据函数的奇偶性求出 a 的值即可； （2）得到 ，求出 的范围即函数 的值域即可； （3）求出 ．设 2x=u，问题转化为 时， 恒成立，求出 的范围即可． 试题解析：（1） 是定义在 上的奇函数， 即 恒成立， 即 解得 ． （2）由（1）知 记 ，即 ， ，由 知 即 的值域为 ； （3）原不等式 ，即为 即 设 时 恒成立， 时， 恒成立， ( ) 41 ( 0 1)2 xf x a aa a= - > ¹+ 且 ( ),- ¥ +¥ a ( )f x (0,1]xÎ ( ) 2 2xt f x× ³ - t 2 ( )1,1- 0t ³ 12 1 x y y + - ＝ y ( )f x 22 1 •2 2 0x xt t- + + - £（ ）（ ） ． 2x u= ， 12]u Î（ ， 2 1 • 2 0u t u t- + + - £（ ） t f x（ ） ( ),- ¥ +¥ f x f x- = -（ ） （ ） 0 0f =（ ） ． 0 41 02 a a- ´ + ＝ ， 2a = 2 2 1( ) 1 2 1 2 1 x x xf x -- + + ＝ ＝ ， y f x= （ ） 2 1 2 1 x xy - + ＝ ， 12 1 x y y + - ＝ 2 0x＞ 1 0, 1 11 y yy + > -- ＜ ＜， f x（ ） 11-（ ，） 2 2xtf x ³ -（ ） 2 2 22 2 x x x t t× - ³ -+ ， 22 1 • 2 2 0x xt t- + + - £（ ）（ ） ． 2 01] 12]x u x u= Î Î， （ ，， （ ，， 01]xÎ（ ， 2 2xtf x ³ -，（ ） 12]u Î（ ， 2 1 • 2 0u t u t- + + - £（ ） ，解得 ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及求函数的值域问题，考查函数恒成立问题，转化思想，换元思想， 是一道中档题． ( ) ( ) 1 1 2 0 4 2 1 2 0 t t t t ì - + + - £ï í - + + - £ïî 0t ³