高三数学（文数）总复习练习专题十二 直线与圆的方程
1．(2012·浙江，4，易)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 若a＝1，则直线l1为x＋2y－1＝0，所以l1∥l2，反之，若l1∥l2，则＝≠，所以a＝1，故选C.
2．(2013·广东，7，易)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
【答案】 A 由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝＝1，故m＝，所以切线方程为x＋y－＝0，故选A.
3．(2013·辽宁，9，中)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋＝0
【答案】 C 若△OAB为直角三角形，则∠A＝90°或∠B＝90°.
当∠A＝90°时，有b＝a3；
当∠B＝90°时，有·＝－1，得b＝a3＋.
故(b－a3)＝0，选C.
4．(2014·四川，9，难)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )
A．[，2] B．[，2]
C．[，4] D．[2，4]
【答案】 B 直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)．
①当m＝0时，过定点A的直线方程为x＝0，过定点B的直线方程为y＝3，两条直线互相垂直，此时P(0，3)，
∴|PA|＋|PB|＝4.
②当m≠0时，直线x＋my＝0的斜率为－，直线mx－y－m＋3＝0的斜率为m.
∵－×m＝－1，∴两条直线互相垂直，即点P可视为以AB为直径的圆上的点．当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|有最小值.当点P不与点A，点B重合时，△PAB为直角三角形，且|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|＋|PB|≤2＝2，∴|PA|＋|PB|∈[，2]．
综合①②得|PA|＋|PB|∈[，2]．
5．(2011·浙江，12，易)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
【解析】 k1＝，k2＝－，∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，∴m＝1.
【答案】 1
6．(2013·四川，15，难)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
【解析】 由已知得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，
∴AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0，①
BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0，②
联立①②，解得
∴直线AC与直线BD的交点为P(2，4)，此点即为所求点．
∴|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，
取异于P点的任一点P′，
∴|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|
＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)
>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|.
故点P就是到A，B，C，D的距离之和最小的点．
【答案】 (2，4)
考向1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．
(2)范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
当α≠90°时，tan α表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tan α.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
倾斜角
0
斜率
取值
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
增减性
递增
递增
每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．
3．斜率公式
给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.
4．方向向量
经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线的方向向量是，其坐标为(x2－x1，y2－y1)，若直线的斜率为k，则直线的方向向量是(1，k)．
①直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为a＝(－B，A)；
②直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量为n＝(A，B)．
(1)(2015·山西四校联考，5)直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α<π B．0≤α≤或<α<π
C．0≤α≤ D.≤α<或<α<π
(2)(2014·辽宁沈阳联考，16)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 (1)直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.又直线l的倾斜角为α，则tan α≤1，又因为0≤α<π，所以<α<π或0≤α≤，故选B.
(2)如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－，
∴－≤－2或－≥，
解得0＜m≤或－≤m<0；
当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．
∴实数m的取值范围为－≤m≤.
【答案】 (1)B (2)
【点拨】 求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y＝tan x在x∈[0，π)上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为90°时，直线无斜率．
1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求斜率的常用方法
(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝(x1≠x2)来求斜率．
(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．此类问题经常与三角函数知识结合在一起，要注意三角函数公式的灵活运用．
(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－.
(1)(2015·天津模拟，5)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A. B．(0，π)
C. D.∪
(2)(2014·江苏苏州调研，6)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
(1)【答案】 D 直线x·sin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；
当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是.
(2)【解析】 如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
∴－1≤k≤1.
又当0≤k≤1时，0≤α≤；
当－1≤k<0时，≤α<π.
故倾斜角α的取值范围为
α∈∪.
【答案】 [－1，1] ∪
考向2 求直线方程
直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局 限 性
点斜式
过点(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)
＝
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线均适用
(1)(2014·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
(2)(2015·辽宁沈阳四校联考，14)若A(1，－2)，B(5，6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
【解析】 (1)已知圆的圆心为(0，3)，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，则所求直线的斜率为1.所以所求直线的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.
(2)方法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3，2)．
若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，
∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0；
若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
∵直线l过点M(3，2)，∴＋＝1，
∴a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二：易知M(3，2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－；
令x＝0，得y＝2－3k.
∴3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
【答案】 (1)D (2)x＋y－5＝0或2x－3y＝0
【点拨】 在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件，如(2)中方法一用截距式方程时，注意截距为0时的情况．
1.求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
2．求直线方程应注意的问题
(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，首先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，首先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在和是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B
不同时为0)．
(2015·山东烟台高三期中，17，12分)求适合下列条件的直线方程：
(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于点B且|AB|＝5.
解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意得
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
∴所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)方法一：过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求直线方程．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行)
则B点坐标为.
由已知得＋＝52，
解得k＝－，
∴直线方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程x＝1或3x＋4y＋1＝0.
方法二：设B(x0，6－2x0)，则
∵|AB|＝5，
∴＝5，
(x0－1)2＋(7－2x0)2＝25，
即x－6x0＋5＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴B(1，4)或(5，－4)，
∴所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
考向3 两直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
斜 截 式
一 般 式
方程
y＝k1x＋b1，
y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
或
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．
2．距离
距离类型
公式
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
(1)(2015·河南安阳高三调研，14)已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.①若l1∥l2，则α＝________；②若l1⊥l2，则α＝________.
(2)(2015·山西太原检测，17，12分)解答下列问题：
①求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
②求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线方程．
【解析】 (1)①方法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2；
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，
即sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
方法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sin α＝±.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0.
即sin α≠－1.
所以α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
②因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
(2)①设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，
则d＝＝1，
∴c＝3或c＝－7.
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
②设所求直线方程为3x－y＋c＝0，
则＝，
∴c＝－3或c＝9，
即所求直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.
【点拨】 解答本题的关键是根据两直线平行、垂直的条件列方程求解，题(1)注意不要忘记k∈Z；题(2)注意直线方程为两条，不要遗漏．
两直线的位置关系问题的解题策略
(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．
(2)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：
①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0；
③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0或A2x＋B2y＋C2＝0.
(2015·河北石家庄高三期中，17，12分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使其分别满足如下条件：
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)由题意得
解得
(2)当m＝0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，由＝≠，
得
∴或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2，
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
考向4 对称问题
1．中心对称
(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程．
2．轴对称
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，
由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
特别地，若直线l：Ax＋By＋C＝0满足|A|＝|B|，则P1(x1，y1)与P2(x2，y2)坐标关系为
(2)直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
(2014·河北石家庄高三检测，17，12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【思路导引】 (1)设点A关于直线l的对称点A′的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，列出方程组求解；(2)转化为点关于直线的对称来解决，求出直线m上一点的对称点，结合直线m与l的交点，用两点式求出直线方程；(3)转化为点关于点的对称问题．
【解析】 (1)设对称点A′的坐标为(m，n)，由已知可得
解得即A′.
(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必在m′上，设对称点为B′(a，b)，
则由得B′.
设m与l的交点为N，
由得N(4，3)．
设直线m′上的点为(x，y)，由两点式得直线m′的方程为＝，即9x－46y＋102＝0.
(3)方法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)．
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二：设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点P′(－2－x，－4－y)，
∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
对称问题的解题策略
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
(2015·山东省实验中学模拟，4)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】 B 方法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l2的交点(1，0)在l2上．
又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则
解得
即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.
方法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知解得
∵(x1，y1)在l1上，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.
1．(2015·山西太原质检，3)设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )
A．0°≤α≤180° B．0°≤α＜135°
C．0°≤α＜180° D．0°＜α＜135°
【答案】 D ∵
∴0°＜α＜135°，故选D.
2．(2014·吉林长春三校调研，4)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0
C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0
【答案】 B 因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－＞0，＜0，即m＞0，n＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn＜0.
3．(2015·广东汕头二模，5)已知l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )
A．0或2 B．0或－2 C．2 D．－2
【答案】 B 由l1⊥l2得(1－a)a＋a(2a＋1)＝0，
∴a＝0或a＝－2.
4．(2015·河北衡水一模，5)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
【答案】 A ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
∴直线l在y轴上截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
5．(2015·吉林通化二模，5)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于( )
A．1 B．2 C．2 D．2
【答案】 B ∵b>0，∴两条直线的斜率存在．∵直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，∴(b2＋1)－ab2＝0，ab＝b＋≥2，当且仅当b2＝1，即b＝1时等号成立．故选B.
6．(2014·福建泉州一模，5)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】 C 方法一：因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，
欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，
而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．
当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.
∴m2＋n2的最小，其值为4.
方法二：直线与两坐标轴交于A，B，
在直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，
斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，
∴S△OAB＝·OA·OB＝×AB×h，
∴h＝＝＝2，
∴m2＋n2的最小值＝h2＝4.
7．(2015·河南安阳调研，8)在直角坐标系中，定义P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.若点A(－2，4)，M为直线x－y＋8＝0上的动点，则d(A，M)的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B 由M为直线x－y＋8＝0上的动点可设M(x，x＋8)，
由题意d(A，M)＝|x＋2|＋|x＋8－4|
＝|x＋2|＋|x＋4|＝
显然当－4
b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b.
其中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
【解析】 ①当θ＝时，S中直线的斜率为k＝－＝－，故①错误；
②(0，0)不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，故②错误；
③当a＝b时，方程为xsin θ＋ycos θ＝a，存在定点(0，0)，该定点到S中的所有直线的距离均相等，故③正确；
④当a>b时，S中的两条平行直线间的距离为d＝≥2b，即最小值为2b，故④正确．
【答案】 ③④
11．(2015·四川德阳三模，19，12分)如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P
是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.
(1)证明：|PM|·|PN|为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
解：(1)证明：设P(x0＞0)，则|PN|＝x0，|PM|＝＝，
因此|PM|·|PN|＝1，
故|PM|·|PN|为定值．
(2)直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋，
解方程组
得x＝y＝x0＋，故M点的坐标为.连接OP，
S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM
＝|PN||ON|＋|PM||OM|
＝x0＋
＝＋≥＋1.
当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为＋1.
1．(2015· 北京，2，易)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 D 设半径为r，则r2＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，
∴圆心为(1，1)且过原点的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．(2015·安徽，8，易)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
【答案】 D 由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1，1)，半径为1.
根据直线与圆相切的几何意义得
＝1，∴b＝2或12.
3．(2015·课标Ⅱ，7，中)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】 B 圆心在线段BC的垂直平分线x＝1上，故设圆心为(1，b)．又圆过A(1，0)，所以圆的半径为b，故圆的方程为(x－1)2＋(y－b)2＝b2.代入点B的坐标得1＋(－b)2＝b2，解得b＝，故圆心到原点的距离为＝.
4．(2015·山东，13，中)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
【解析】 依题意，作出图象如图所示，则圆心O(0，0)，
∴|PO|＝＝2.
在Rt△BOP中，|PO|＝2，|BO|＝1，
则|BP|＝＝，sin∠BPO＝，∴∠BPO＝30°，同理|PA|＝，∠APO＝30°，∴·＝||||cos∠APB＝()2×cos 60°＝.
【答案】
5．(2015·江苏，10，中)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
【解析】 设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，
r＝＝＝，
当m<0时，1＋无最大值，且1＋<1；当m＝0时，r＝1；
当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取“＝”)，所以r≤＝.
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
【答案】 (x－1)2＋y2＝2
6．(2015·湖南，13，中)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
【解析】 如图．
因为∠AOB＝120°，所以θ＝60°.
在Rt△AOD中，OA＝2OD＝r，
又因为OD＝＝1，
所以r＝2.
【答案】 2
7．(2015·湖北，16，中)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
【解析】 (1)如图，过C作CD⊥y轴，则CD＝1.
∵AB＝2，∴BD＝1，
∴r＝BC＝，CT＝r＝，∴C(1，)．
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)∵B(0，＋1)，
∴kBC＝＝－1，
∴切线斜率k＝1.
∴切线方程为y＝x＋＋1，
∴当y＝0时，x＝－1－.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y－)2＝2
(2)－1－
8．(2015·课标Ⅰ，20，12分，中)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为l与C交于两点，所以<1.
解得0，
得k2>3，
所以k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，
则|OM|2＝(1＋k2)x，
|ON|2＝(1＋k2)x.
又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.
由(*)式可知，x1＋x2＝，
x1x2＝，
所以m2＝.
因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，
得5n2－3m2＝36.
由m2＝及k2>3，可知00，
所以n＝＝.
于是，n与m的函数关系为
n＝(m∈(－，0)∪(0，))．
考向1 求圆的方程
1．圆的方程
(1)圆的标准方程与一般方程
名称
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心
(a，b)
半径
r
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点M在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点M在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)20)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
(2)(2015·吉林长春模拟，18，12分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
①求的最大值和最小值；
②求y－x的最大值和最小值；
③求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】 (1)由已知圆心C(3，4)，半径r＝1，设圆上的点P(x0，y0)，则x0>0.
∵A(－m，0)，B(m，0)，m>0，
∴＝(x0＋m，y0)，＝(x0－m，y0)．
由已知∠APB＝90°，∴AP⊥BP，
即⊥，∴·＝0，
∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0.
即m2＝x＋y，m>0，
∴m＝，
∴m表示的几何意义为圆C上的点P(x0，y0)到原点(0，0)的距离．
∴mmax＝|OC|＋r＝5＋1＝6，故选B.
(2)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
①的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.(如图a)
所以的最大值为，最小值为－.
②方法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.(如图b)
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
方法二：令x＝2＋cos θ，y＝sin θ，θ∈R，
则y－x＝sin θ－cos θ－2＝sin－2.
∴y－x的最大值为－2，此时θ＝2kπ＋(k∈Z)，y－x的最小值为－－2，此时θ＝2kπ－(k∈Z)．
③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图c)
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
【点拨】 涉及与圆有关的最值问题，一般要充分考虑圆的几何性质，根据所求代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．关于圆上点的坐标的一次式，也可以考虑利用三角函数知识求解．
与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及
解法
(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
(2015·河南洛阳质检，19，12分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解：(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，
最小值为2－.
考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d>R＋r
d＝R＋r
R－r1.
又因为圆心(0，0)到直线的距离d＝<1＝r，
所以直线与圆相交．
(2)圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝.从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m
＝9，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
判断直线与圆、圆与圆位置关系的注意问题
(1)判断直线与圆位置关系的注意点：若两圆方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．
(2)判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含．
(1)(2012·山东，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)(2014·山东聊城二模，5)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1)【答案】 B 两圆心之间的距离为
d＝＝，
两圆的半径分别为r1＝2，r2＝3.
则r2－r1＝1＜d＜r1＋r2＝5，故两圆相交．
(2)【答案】 C 因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
考向4 圆的切线、圆的弦长的求法
1．圆与直线l相切的几何特征：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
3．圆与直线l相交的几何特征
(1)圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
(2)连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
(3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过该点的直径．
在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．
(1)(2014·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
(2)(2015·山东潍坊一模，15)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【解析】 (1)由题意知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，半径为r＝2，则点C到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，故所求弦长为l＝2＝2＝.
(2)方法一：圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设直线l上任意一点P(x，y)，则由x＋y＝1，得y＝1－x，
则|PC|＝＝＝.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ，
故|PQ|2＝|PC|2－r2＝(2x2－2x＋13)－1＝2x2－2x＋12＝2＋，所以当x＝时，|PQ|2取得最小值，此时切线长为|PQ|＝＝.
方法二：圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ，
故|PQ|＝＝，
故当|PC|取得最小值时，切线长最小．
显然，|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝＝，所以切线长的最小值为＝.
【答案】 (1) (2)
【点拨】 解题(1)的关键是从圆心作弦的垂线构造直角三角形；题(2)方法一体现了解析几何的基本方法，将问题转化为函数的最值求解；方法二体现了平面几何中有关结论和定理的应用，更为简捷．
1.圆的弦长的两种求法
(1)几何法：直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2.
(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.
2．求两圆公共弦长的步骤
(1)先求两圆公共弦所在的直线方程；
(2)利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．
3．过一点求圆的切线的方法
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
(1)(2015·山东实验中学模拟，6)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B. C．2 D．2
(2)(2013·山东，13)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(1)【答案】 D 圆C的方程化为x2＋(y－1)2＝1，分析图形可知，四边形PACB的面积最小时，CP垂直于直线kx＋y＋4＝0，此时易得切线长AP＝2，∴CP＝，∴＝，∴k＝2，故选D.
(2)【解析】 设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
【答案】 2
考向5 直线与圆的综合问题
(2014·课标Ⅰ，20，12分)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【思路导引】 (1)利用圆的几何性质转化为·＝0求解；(2)主要是将|OP|＝|OM|转化为O在线段PM的垂直平分线上．
【解析】 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，
＝(2－x，2－y)．
由题设知·＝0，
即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.
直线与圆综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
(2013·课标Ⅱ，20，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得
＝.
又P在双曲线y2－x2＝1上，
从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
1．(2015·湖北孝感一模，5)若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 B 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0
表示圆，必有a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
即－3a2－4a＋4＞0，
∴(3a－2)(a＋2)＜0，
∴－2＜a＜，∴a＝0，∴x2＋y2＝1，选B.
2．(2014·黑龙江大庆二模，6)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
【答案】 D 设圆心为(a，0)，且a＞0，则(a，0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，即＝2⇒3a＋4＝±10⇒a＝2或a＝－(舍去)，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.
3．(2014·河南平顶山三模，6)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或 B.
C．－或 D.
【答案】 A 因为直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，如图．
可得∠OPE＝30°，OE＝OPsin 30°＝，
即圆心O(0，0)到直线y＝kx＋1的距离d＝＝⇒k＝±.
4．(2015·湖南永州二模，6)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
【答案】 C ∵四边形OAMB为平行四边形，
∴四边形OAMB为菱形，
∴△OAM为等边三角形，且边长为2.
解得弦AB的长为2.又直线过定点N(0，1)且过N的弦的弦长最小值为2，
∴此时该弦平行于x轴，即k＝0.
5．(2014·山东潍坊一模，9)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】 C 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)与圆心的距离为
d＝
＝
＝
＝.
所以当a＝2时，d有最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C.
6．(2014·豫东、豫北十所名校联考，9)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋＝9
B．(x－3)2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋(y－3)2＝
D．(x－)2＋(y－)2＝9
【答案】 A 设所求圆的圆心坐标是(a＞0)，则点(a＞0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离
d＝＝
≥＝＝3，
当且仅当3a＝，即a＝±2时成立，
∵a＞0，∴a＝2时，d取最小值，即为所求圆的半径，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋＝9.
7．(2015·山东青岛一模，9)过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( )
A. B．2 C. D．4
【答案】 A 如图所示，
∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，
∴OA⊥AP.
∵P(1，)，O(0，0)，
∴|OP|＝＝2.
又∵|OA|＝1，在Rt△APO中，cos∠AOP＝，
∴∠AOP＝60°，
∴|AB|＝2|OA|sin∠AOP＝.
8．(2015·河南洛阳一模，12)在平面直角坐标系中，点P是直线l：x＝－上一动点，点F，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且＝λ(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A 设M(x，y)，由题意可得MP⊥l，所以P，由点Q为PF的中点知Q.
∵QM⊥PF，QM与PF斜率乘积为－1，
即＝－，
解得y2＝2x，
所以M的轨迹是抛物线．
设M(y2，y)到圆心(3，0)的距离为d，
则d2＝(y2－3)2＋2y2＝y4－4y2＋9
＝(y2－2)2＋5，
∴y2＝2时，dmin＝，
此时的切线长为＝，
所以切点距离为2×＝.
∴|ST|的最小值为.
9．(2014·江西南昌二中三模，14)过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________．
【解析】 把圆的方程化为标准方程得＋(y＋1)2＝16－k2，
所以16－k2＞0，解得－＜k＜.
由题易知点(1，2)在已知圆的外部，
把点代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15＞0，即(k－2)(k＋3)＞0，
解得k＞2或k＜－3，
则实数k的取值范围是
∪.
【答案】 ∪
易错点拨：本题易忽视圆本身成立的条件，而得到k>2或k<－3，导致错误．
10．(2014·山西太原二模，15)已知圆C：x2＋y2＝1，过点P(0，2)作圆C的切线，交x
轴正半轴于点Q.若M(m，n)为线段PQ上的动点，则＋的最小值为________．
【解析】 设切线为y＝kx＋2，则d＝＝1，
得k＝±，∵切线交x轴正半轴于Q，
∴k＝－.
∴y＝－x＋2，又M在PQ上，
∴m＋n＝2(m>0，n>0)，
∴＋＝(m＋n)
＝
≥(4＋2)＝2＋
(当且仅当m＝n＝－1时取等号)．
【答案】 2＋
11．(2015·广东十校联考，19，12分)已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
18．(14分)(2013·湖南，20)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左，右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．
解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．
设圆心的坐标为(x0，y0)，
由解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝.
所以b＝2＝.
由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.
设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
于是a＝
＝
＝
＝
＝.
从而ab＝
＝＝
≤＝2.
当且仅当＝，
即m＝±时等号成立．
故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.
