数学理卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

‎ 普宁一中2016--2017学年度第一学期高二级 期末考试 ‎ 理科数学试题卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。‎ ‎2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁。‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1、已知复数，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第3题图 ‎2、已知集合， 则集合B不可能是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3、若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于 ( )‎ A．6 B． C． D．‎ n ‎4、设奇函数的最小正周期是，则 （ ） ‎ A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递增 　　 D．在单调递增 ‎5.如图，该算法输出的结果是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎6.已知等比数列中，，则的值为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎ ‎ ‎7、在平面直角坐标系中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则 的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎8、定义在实数集R上的奇函数，对任意实数都有，且满足，，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． 或 B． ‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D E C． D．或 ‎9、长方体的底面是边长为2的正方形，若在侧棱 上至少存在一点,使得,则侧棱的长的最小值（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎10.若函数的图象如图所示，则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ 第11题 C． D．‎ ‎11.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠ADF的值等于( 　) ‎ A．3 B．－3 C. D. - ‎12、定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中 为的导数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. 若满足约束条件 则的最大值为 ‎ ‎14.已知命题：“在等差数列中，若则为定值”是真命题，由于印刷问题，括号处的数据模糊不清，可推得括号内的数为 ‎ ‎15.设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于B,则的面积为 ‎ ‎16.已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为_ ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分12分）如图，已知四点共面，且,,, ,. ‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）求.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：‎ 金额分组 ‎［1,5）‎ ‎［5,9）‎ ‎［9,13）‎ ‎［13,17）‎ ‎［17,21）‎ ‎［21,25］‎ 频数 ‎3‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎(I)求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；‎ ‎(Ⅱ)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(III)在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．‎ ‎(i)若红包金额在区间内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率； ‎ ‎(ii)随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者，设其手气金额分别为，求事件“”的概率．‎ A． ‎ (本小题满分12分） 如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点,连接.‎ ‎ (1) 求证：∥平面；‎ ‎ (2) 若，求三棱锥的体积.‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设经过的直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．‎ ‎22.（本小题12分）已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当有极大值与极小值时，求证函数在定义域内有唯一的零点 ‎22．（本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），．‎ ‎ (Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(Ⅱ)若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值及该点坐标。‎ 数学理科参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B C A ‎ B ‎ A B A A A 二、填空题： 13. 14.18 15. 16. 5:4‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）在△中，因为，所以．‎ 由正弦定理得，． …5分 ‎（Ⅱ）在△中，由得，‎ ‎． 所以．‎ ‎ 解得或（舍）． ……………………7分 ‎ 由已知得是锐角，又，所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎． ……………………10分 在△中，因为 ‎ ， 所以……………………12分 ‎ ‎18.解：(I)由题意得 ‎ 因此产生的手气红包的金额不小于9元的频率为………2分 ‎(Ⅱ) 手气红包金额的平均数为…6分 ‎(III) (i)红包金额在区间内有2人，所以抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率 ‎ …………………8分 ‎(ii)由频率分布表可知，红包金额在［1,5）内有3人，设红包金额分别为在［21,25］内有2人，设红包金额分别为若均在［1,5）内，有3种情况：若均在［21,25］内只有1种情况：；若分别在［1,5）和［21,25］内时，有6种情况，即因此基本事件的总数为10种，而事件“”所包含的基本事件个数有6种。所以事件“”的概率为 ‎ …………………12分 ‎19(1)证明：∵ △是等腰直角三角形，,点为的中点，‎ ‎ ∴ .∵ 平面平面，平面平面，∴ 平面 ∵ 平面, ∴ ∥‎ ‎ ∵ 平面,平面, ∴ ∥平面……………6分 ‎(2): 由(Ⅰ)知∥平面,‎ ‎∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ ‎∵ ，△是等边三角形，∴ ，. ‎ ‎ 连接, 则, .=‎ ‎∴ 三棱锥的体积为 . ……………………………12分 ‎…………5分 ‎（II）由题意知直线的斜率不为0，且经过右焦点（1,0），故设直线方程为 代入得 显然,设，‎ ‎ ………① ………②‎ 由 得………③‎ 解①②③得，所以，直线的斜率……………12分 ‎21.解: (1)=‎ 令或 当即时,恒成立, 则在上单调递增.‎ 当即时,令或,令,‎ 则在和递增,在递减.‎ 当即时,令或,令,‎ 则在和递增,在递减. ……………………………5分 ‎(2) 因为存在极大值与极小值,由(1)知或.‎ 当时,在和递增,在递减.‎ 若,,无零点;‎ 若,,有一个零点,‎ 则当时, 有唯一零点.‎ 当时, 则在和递增,在递减,‎ 若, ‎ 由于,,则,即在无零点;‎ 若,,即在有一个零点,‎ 则当时,有唯一零点.‎ 综上,原命题正确. ……………………………12分 ‎22.解析：（1）曲线的普通方程是：‎ 由得，代入得 ……（4分）‎ ‎（2）曲线的普通方程是：‎ 设点，由点到直线的距离公式得：‎ 其中 时，，此时……（10分）‎ ‎23．解：(1)原不等式等价于或或，‎ 得或或， ‎ ‎∴不等式的解集为． ……………………………5分 ‎(2) ∵，‎ ‎∴……………………10分