高中数学必修2教案：2_3_4 平面与平面垂直的性质

高中数学必修2教案：2_3_4 平面与平面垂直的性质

‎2. 3.4 平面与平面垂直的性质 ‎【教学目标】‎ ‎（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；‎ ‎（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.‎ ‎（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.‎ ‎【教学重难点】‎ 重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。‎ 难点：运用性质定理解决实际问题。‎ ‎【教学过程】‎ ‎ (一) 复习提问 ‎ ‎1.线面垂直判定定理：‎ 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.‎ ‎2.面面垂直判定定理：‎ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.‎ ‎(二)引入新课 已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！‎ ‎（三）探求新知 已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，‎ 求证：AB⊥β ‎(让学生思考怎样证明) ‎ 分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.‎ ‎ 证明：在平面β内过B作BE⊥a，‎ 又∵AB⊥a，‎ ‎∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，‎ 又∵α⊥β，‎ ‎∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE ‎ ‎ 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ‎ ‎∴AB⊥β 面面垂直的性质定理：‎ 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.‎ ‎（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, ABα, AB⊥a于 B，则 AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面 我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。‎ ‎（四）拓展应用 例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.‎ ‎ ‎ 例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,‎ 试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)‎ 分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)‎ 解：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，‎ ‎∵ α⊥β ∴b⊥β ‎ ‎∵ a⊥β ∴ a ∥b , ‎ 又∵aα ∴ a ∥α ‎ 课堂练习：‎ ‎ 练习 第1、2题 ‎ A组 第1题 ‎（四）当堂检测 ‎ ‎1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。‎ ‎(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD ‎ ‎2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由 参考答案 ‎2解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，‎ 连结AE，则AE为BD的中线 ‎∴AE⊥BD ‎ 又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD ‎ ‎∴AE⊥面BCD ‎（五）课堂小结 ‎ ‎1. 面面垂直判定定理：‎ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.‎ ‎2. 面面垂直的性质定理：‎ 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.‎ ‎② 利用性质定理解决问题 ‎【板书设计】‎ 一、平面与平面垂直的性质定理 二、三种形式表达 三、性质定理的应用 ‎【作业布置】课后练习与提高 ‎2.3.4‎‎ 平面与平面垂直的性质 课前预习导学案 一、预习目标 ‎ （1） 明确平面与平面垂直的判定定理。‎ （2） 直线与平面垂直的性质定理 二、 预习内容 ‎1、平面与平面垂直的判定定理 ‎2、直线与平面垂直的性质定理 ‎3、思考题：‎ ‎（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？‎ ‎（2）在长方体中，平面与平面垂直，直线垂直于其交线。平面内的直线与平面垂直吗？‎ 三． 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎ ‎（1）探究平面与平面垂直的性质定理 ‎（2）应用平面与平面垂直的性质定理解决问题 学习重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。‎ 学习难点：运用性质定理解决实际问题。‎ 二、学习过程 探究一 已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，‎ 求证：AB⊥β ‎(让学生思考怎样证明，小组间可以相互讨论)‎ 由证明结果的平面与平面垂直的性质定理（三种形式的表达）‎ 探究二、性质的应用 例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.‎ 证明（略）‎ 变式 练习 第1题 例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,‎ 试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)‎ 解：（略）‎ 变式 练习 2题（略）‎ ‎ A组 第1题（略）‎ 当堂检测 ‎ ‎1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。‎ ‎(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD ‎ ‎2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由 ‎ 课后练习与提高 ‎1．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）‎ ‎5对 6对 7对 8对 ‎2．平面⊥平面，=，点，点，那么是的（ ） ‎ 充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎3．若三个平面，之间有，，则与 （ ）‎ 垂直 平行 相交 以上三种可能都有 ‎4．已知，是两个平面，直线，，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )‎ ‎0 1 2 3‎ ‎5．在四棱锥中，底面，‎ 底面各边都相等，是上的一动点，‎ 当点满足__________时，平面平面。‎ ‎6．三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面 参考答案:1B ‎2C 3D ‎4C 5中点 6略