高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-4 平面与平面垂直的性质

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-4 平面与平面垂直的性质

一、选择题 ‎1．已知长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则(　　)‎ A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面AC C．ME∥平面AC D．以上都有可能 ‎[答案]　A ‎[解析]　由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.‎ ‎2．在空间中，下列命题正确的是(　　)‎ A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面 B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．‎ ‎3．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①和② B．②和③‎ C．③和④ D．②和④‎ ‎[答案]　D ‎4．在空间，下列命题正确的是(　　)‎ A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 ‎[答案]　D ‎[解析]　当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD‎1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD‎1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD‎1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．‎ ‎5．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β ‎[答案]　C ‎[解析]　l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；‎ l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；‎ l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；‎ 若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．‎ ‎6．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)‎ A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.‎ 又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.‎ ‎∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．‎ ‎7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，‎ 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，‎ ‎∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.‎ ‎8．在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC ‎[答案]　C ‎[解析]　∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.‎ ‎∴BC∥平面PDF，故A正确．‎ 又∵P－ABC为正四面体，‎ ‎∴P在底面ABC内的射影O在AE上．‎ ‎∴PO⊥平面ABC.‎ ‎∴PO⊥DF.‎ 又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，‎ ‎∴AE⊥DF.‎ 又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．‎ 又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，‎ ‎∴面PAE⊥面ABC，故D正确．‎ ‎∴四个结论中不成立的是C.‎ 二、填空题 ‎9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．‎ ‎[答案]　平行 ‎[解析]　取PD的中点F，连接EF，AF，在△PCD中，EF綊CD.‎ 又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，‎ ‎∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.‎ 又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，‎ ‎∴BE∥平面PAD.‎ ‎10．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，‎ ‎∴AA′⊥β，‎ ‎∴V＝S△A′BB′·AA′＝×(A′B′×BB′)×AA′＝××2×4×3＝4.‎ ‎11．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.‎ ‎[答案]　45°‎ ‎[解析]　如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.‎ ‎∵△PAD是等边三角形，‎ ‎∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，‎ ‎∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.‎ 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，‎ ‎∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.‎ ‎12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(，1)‎ ‎[解析]　如图，过D作DG⊥AF，‎ 垂足为G，连接GK，‎ ‎∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，‎ ‎∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.‎ ‎∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.‎ 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．所以t的取值范围是(，1)．‎ 三、解答题 ‎13．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠‎ BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.‎ ‎[证明]　⇒‎ ⇒平面ABD⊥平面ACD.‎ ‎14．S为△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求证：平面ASC⊥平面ABC.‎ ‎[解析]　如图，设SA＝SB＝SC＝a.‎ ‎∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，‎ ‎∴AC＝a，AB＝BC＝a，‎ 则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.‎ 取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B的平面角．‎ ‎∵SO＝OB＝a，∴SO2＋OB2＝SB2，‎ ‎∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.‎ ‎15．(2012·全国新课标)‎ 如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；‎ ‎(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．‎ ‎[分析]　本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．‎ ‎[解析]　(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC‎1A1，又∵DC1⊂面ACC‎1A1，∴DC1⊥BC，‎ 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，‎ 又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，‎ ‎∴平面BDC⊥平面BDC1；‎ ‎(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得，V1＝××1×1＝，由三棱柱ABC－A1B‎1C1的体积V＝1，‎ ‎∴(V－V1)V1＝11，‎ ‎∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为11.‎ ‎16．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：‎ ‎(1)DF⊥AP.‎ ‎(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC ‎？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．‎ ‎[证明]　(1)取AB的中点E，连结EF，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.‎ 由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，‎ 又EF∥PA，∴DF⊥PA.‎ ‎(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．‎ 取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为PB的中点，故GF⊥PB.‎ ‎∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，‎ ‎∴GO为GF在平面ABCD上的射影，‎ ‎∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，‎ ‎∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，‎ ‎∴GF⊥平面PBC.‎