2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 选修4-5 不等式选讲

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2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 选修4-5 不等式选讲

第二讲 选修4-5 不等式选讲 考点一 含绝对值不等式的解法 ‎1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 ‎(1)若c>0,则|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可;‎ ‎(2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R.‎ ‎2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)零点分段讨论法.‎ ‎(2)绝对值的几何意义.‎ ‎(3)数形结合法.‎ ‎[解] (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,‎ 即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-‎ ‎1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;‎ 若a>0时,则|ax-1|<1的解集为.‎ 所以≥1,故0x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.‎ 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,‎ 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3.‎ 绝对值恒成立问题应关注的3点 ‎(1)巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.‎ ‎(2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.‎ ‎(3)f(x)a有解⇔f(x)max>a.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)=|x+4|.‎ ‎(1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,求a的值;‎ ‎(2)求不等式f(x)>1-x的解集.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=|x+4|,‎ 所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a+4-(2x-a+4)|=|2a|,‎ 又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,‎ ‎∴|2a|=4,‎ ‎∴a=±2.‎ ‎(2)f(x)=|x+4|= ‎∴不等式f(x)>1-x等价于 解得x>-2或x<-10,‎ 故不等式f(x)>1-x的解集为{x|x>-2或x<-10}.‎ ‎2.[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.‎ ‎(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);‎ ‎(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪.‎ ‎(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,‎ 令h(x)=|2x+1|-|x|,‎ 则h(x)= 故h(x)min=h=-,‎ 所以实数a的取值范围为a≥-.‎ 考点三 不等式的证明 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理3:如果a,b,c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.‎ ‎[证明] (1)(a+b)(a5+b5)‎ ‎=a6+ab5+a5b+b6‎ ‎=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a2-b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3‎ ‎=2+3ab(a+b)‎ ‎≤2+(a+b)‎ ‎=2+,‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ 证明不等式的方法和技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法.‎ ‎(2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明,其简化的基本思路是化去绝对值号,转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据.‎ ‎[对点训练]‎ 已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1.‎ ‎(1)证明:(1+a)(1+b)(1+c)≥8;‎ ‎(2)证明:++≤++.‎ ‎[证明] (1)∵1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2,‎ ‎∴(1+a)(1+b)(1+c)≥2·2·2=8,‎ ‎∵abc=1,∴(1+a)(1+b)(1+c)≥8.‎ ‎(2)∵ab+bc≥2=2,‎ ab+ac≥2=2,‎ bc+ac≥2=2,‎ 上面三式相加得,‎ ‎2ab+2bc+2ca≥2+2+2,‎ 即ab+bc+ca≥++.‎ 又++=ab+bc+ac,‎ ‎∴++≤++.‎ ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①‎ 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;‎ 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;‎ 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而14;‎ ‎(2)若∀x∈,不等式a+14⇔ 或或 ‎⇔x<-2或01.‎ ‎∴不等式f(x)>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).‎ ‎(2)由(1)知,当x<-时,f(x)=-3x-2,‎ ‎∵当x<-时,f(x)=-3x-2>,‎ ‎∴a+1≤,即a≤.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎2.(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤2的解集;‎ ‎(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k 的取值范围.‎ ‎[解] (1)由f(x)≤2,得或或解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].‎ ‎(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3= 作出函数f(x)的图象,如图所示,‎ 易知直线y=kx-2过定点C(0,-2),‎ 当此直线经过点B(4,0)时,k=;‎ 当此直线与直线AD平行时,k=-2.‎ 故由图可知,k∈(-∞,-2)∪.‎ ‎3.(2018·大庆二模)已知f(x)=|x+3|+|x-1|,g(x)=-x2+2mx.‎ ‎(1)求不等式f(x)>4的解集;‎ ‎(2)若对任意的x1,x2,f(x1)≥g(x2)恒成立,求m的取值范围.‎ ‎[解] (1)解法一:不等式f(x)>4即|x+3|+|x-1|>4.‎ 可得或 或 解得x<-3或x>1,所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.‎ 解法二:|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4,‎ 当且仅当(x+3)(x-1)≤0,即-3≤x≤1时,等号成立.‎ 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.‎ ‎(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max,‎ 由(1)知f(x)min=4,‎ 因为g(x)=-x2+2mx=-(x-m)2+m2,‎ 所以g(x)max=m2.‎ 由m2≤4得m的取值范围是-2≤m≤2.‎ ‎4.(2018·西安一模)设a、b为正实数,且+=2.‎ ‎(1)求a2+b2的最小值;‎ ‎(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.‎ ‎[解] (1)由2=+≥2得ab≥,‎ 当a=b=时取等号.‎ 故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.‎ 所以a2+b2的最小值是1.‎ ‎(2)由+=2可得a+b=2ab,‎ ‎∵(a-b)2=(a+b)2-4ab=8a2b2-4ab≥4(ab)3,‎ ‎∴(ab)2-2ab+1≤0,即(ab-1)2≤0,‎ ‎∴ab-1=0,即ab=1.‎
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