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文档介绍
2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 选修4-5 不等式选讲
第二讲 选修4-5 不等式选讲 考点一 含绝对值不等式的解法 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可; (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R. 2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)零点分段讨论法. (2)绝对值的几何意义. (3)数形结合法. [解] (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为. (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax- 1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0时,则|ax-1|<1的解集为. 所以≥1,故0x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3. 绝对值恒成立问题应关注的3点 (1)巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值. (2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a. (3)f(x)a有解⇔f(x)max>a. [对点训练] 1.[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)=|x+4|. (1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,求a的值; (2)求不等式f(x)>1-x的解集. [解] (1)因为f(x)=|x+4|, 所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a+4-(2x-a+4)|=|2a|, 又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4, ∴|2a|=4, ∴a=±2. (2)f(x)=|x+4|= ∴不等式f(x)>1-x等价于 解得x>-2或x<-10, 故不等式f(x)>1-x的解集为{x|x>-2或x<-10}. 2.[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a. (1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x); (2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围. [解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪. (2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|, 令h(x)=|2x+1|-|x|, 则h(x)= 故h(x)min=h=-, 所以实数a的取值范围为a≥-. 考点三 不等式的证明 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a,b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立. 定理3:如果a,b,c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立. [证明] (1)(a+b)(a5+b5) =a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) ≤2+(a+b) =2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 证明不等式的方法和技巧 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法. (2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明,其简化的基本思路是化去绝对值号,转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据. [对点训练] 已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1. (1)证明:(1+a)(1+b)(1+c)≥8; (2)证明:++≤++. [证明] (1)∵1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2, ∴(1+a)(1+b)(1+c)≥2·2·2=8, ∵abc=1,∴(1+a)(1+b)(1+c)≥8. (2)∵ab+bc≥2=2, ab+ac≥2=2, bc+ac≥2=2, 上面三式相加得, 2ab+2bc+2ca≥2+2+2, 即ab+bc+ca≥++. 又++=ab+bc+ac, ∴++≤++. 1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. [解] (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1查看更多