2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

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2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点一 指数函数、对数函数及幂函数 ‎1.指数与对数式的运算公式 ‎2.指数函数、对数函数的图象和性质 指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况:当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b ‎[解析] 由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.‎ ‎[答案] D ‎3.(2018·山东潍坊一模)若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是(  )‎ ‎[解析] 因函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,故01或x<-1},x>1时函数y=loga(|x|-1)的图象可以通过函数y=logax的图象向右平移1个单位得到,故选D.‎ ‎[答案] D ‎4.(2018·江西九江七校联考)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[解析] 由题意得x2-ax-3a>0在区间(-∞,-2]上恒成立且函数y=x2-ax-3a在(-∞,-2]上递减,则≥-2且(-2)2-(-2)a-3a>0,解得实数a的取值范围是[-4,4).‎ ‎[答案] [-4,4)‎ ‎[快速审题] 看到指数式、对数式,想到指数、对数的运算性质;看到指数函数、对数函数、幂函数,想到它们的图象和性质.‎ ‎ 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 ‎(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>1和01时,两函数在定义域内都为增函数;当00和α<0两种情况的不同.‎ 考点二 函数的零点 ‎1.函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.‎ ‎2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.角 ‎ [解析] 当x≤0时,‎ 由f(x)=0,即x2+2017x-2018=0,‎ 得(x-1)(x+2018)=0,‎ 解得x=1(舍去)或x=-2018;‎ 当x>0时,设g(x)=x-2,h(x)=lnx,如图,分别作出两个函数的图象,‎ 由图可知,两函数图象有两个交点,所以函数f(x)在x>0时有两个零点.‎ 综上,函数f(x)有3个零点,故选C.‎ ‎[答案] C ‎[快速审题] 看到函数的零点,想到求方程的根或转化为函数图象的交点.‎ ‎[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,如图,而函数y=mx-恒过定点,设过点与函数y=lnx的图象相切的直线为l1,切点坐标为 ‎(x0,lnx0).因为y=lnx的导函数y′=,所以图中y=lnx的切线l1的斜率为k=,则=,解得x0=,所以k=.又图中l2的斜率为,故当方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根时,实数m的取值范围是.‎ ‎[答案]  ‎[探究追问] 将例2中“方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x)=m恰有三个不相等的实数根”,结果如何?‎ ‎[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,如图.函数y=m恒过定点,设过点与函数y=1-x2的图象相切的直线为l1,设切点坐标为(x0,1-x),因为y=1-x2(x≤1)的导函数y′=-2x0,所以切线l1斜率k=-2x0,则-2x0=,解得x0=或x0=2(舍).所以直线l1的斜率为-1,结合图可知,当方程f(x)=m恰有三个不相等的实根时,实数m的取值范围是(-1,0).‎ ‎[答案] (-1,0)‎ ‎(1)判断函数零点个数的3种方法 ‎(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法 ‎[对点训练]‎ ‎1.[角度1]已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ‎(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,4) D.(4,+∞)‎ ‎[解析] 易知f(x)是单调递减函数.∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-2<0,∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4).‎ ‎[答案] C ‎[解析] f(x)=k有三个不同的实数根,即函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象有三个交点,如图所示.‎ 当-10,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是________.‎ ‎[解析] 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:‎ 情况一:‎ 则∴40时,F(x)=x[x+(a-1)],‎ ‎∵函数F(x)有2个零点,∴1-a>0,∴a<1,故选C.‎ ‎[答案] C ‎5.(2018·湖南十三校二模)函数f(x)=lnx+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(  )‎ A. B. C.(1,e) D.(e,+∞)‎ ‎[解析] ‎ ‎ [答案] A ‎6.(2018·河南郑州模拟)已知函数f(x)=x2+m与函数g(x)=-ln-3x的图象上至少存在一对关于x轴对称的点,则实数m的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.[2-ln2,2]‎ ‎[解析] 由已知,得方程x2+m=ln+3x,∴m=-lnx+3x-x2在上有解.‎ 设h(x)=-lnx+3x-x2,‎ 求导,得h′(x)=-+3-2x=- ‎=- ‎∵≤x≤2,‎ 令h′(x)=0,解得x=或x=1.‎ 当h′(x)>0时,0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.∴f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4,∴a=;当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,∴a=-3.综上所述,a=或a=-3.‎ ‎[答案] 或-3‎ ‎9.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元.‎ ‎[解析] 设每辆车的月租金为x(x>3000)元,则租赁公司月收益为y=·(x-150)-×50,整理得y=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050.‎ 所以当x=4050时,y取最大值为307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.‎ ‎[答案] 4050‎ 三、解答题 ‎10.(2018·唐山一中期末)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;‎ ‎(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)∵f(x)=ex-x,‎ ‎∴f′(x)=ex+x,‎ ‎∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,‎ ‎∴f(x)在R上是增函数.‎ 又∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),‎ ‎∴f(x)是奇函数.‎ ‎(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则 f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤x2+x=2-对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+ ‎=2≤0,‎ 又2≥0,∴2=0,‎ ‎∴t=-.‎ ‎∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.‎ ‎11.(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ ‎[解] (1)依题意f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,其中 所以20≤x≤180.‎ 故f(50)=-×50+4+250=277.5.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=-x+4+250(20≤x≤180),‎ 令=t,则2≤t≤6,‎ y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,‎ 因此当t=8时,函数取得最大值282,此时x=128,‎ 故投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,最大总收益是282万元.‎ ‎12.(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f(x)= 若关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有三个不同的实数根,求实数t的取值范围.‎ ‎[解] 原问题等价于[f(x)]2+f(x)=-t有三个不同的实数根,‎ 即直线y=-t与y=[f(x)]2+f(x)的图象有三个不同的交点.‎ 当x≥0时,y=[f(x)]2+f(x)=e2x+ex为增函数,在x=0处取得最小值2,其图象与直线y=-t最多只有一个交点.‎ 当x<0时,y=[f(x)]2+f(x)=[lg(-x)]2+lg(-x),根据复合函数的单调性,其在(-∞,0)上先减后增,最小值为-.‎ 所以要使函数的图象有三个不同的交点,只需-t≥2,解得t≤-2.‎
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