专题33 数列求和-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题33 数列求和-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题33数列求和 最新考纲 ‎1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．‎ ‎2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.‎ ‎2．等比数列的前n项和公式 Sn＝ ‎3．一些常见数列的前n项和公式 ‎(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ ‎(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.‎ ‎(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．‎ ‎(4)12＋22＋…＋n2＝.‎ ‎【知识拓展】‎ 数列求和的常用方法 ‎(1)公式法 直接利用等差、等比数列的求和公式求和．‎ ‎(2)分组转化法 把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．‎ ‎(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．‎ 常见的裂项公式 ‎①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】分组转化法求和 ‎【典型例题】‎ 数列，，，…，的前n项和为Sn＝（　　）‎ A． B．2n ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：数列1，2，3，…的前n项和为Sn＝（1+2+3+…+n）+（）‎ ‎（）‎ ‎．‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}的通项公式是an（n∈N*），若|a1|+|a2|+…+|an|＝80，则n 的值是　 　．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an（n∈N*），‎ ‎∴n≤3时，an＝2n+4．‎ n≥4时，an＝﹣3+an﹣1，即an﹣an﹣1＝﹣3．‎ ‎∴此时数列{an}为等差数列，首项a4＝a3﹣3＝23+4﹣3＝9，公差为﹣3．‎ ‎∴an＝9﹣3（n﹣4）＝21﹣3n．‎ a5＝6，a6＝3，a7＝0，n≥8时，|an|＝3n﹣21．‎ ‎∵|a1|+|a2|+…+|an|＝80，‎ ‎∴2+4+22+4+23+4+9+6+3+0+（3×8﹣21）+（3×9﹣21）+……+（3n﹣21）＝80，‎ ‎（3×8﹣21）+（3×9﹣21）+……+（3n﹣21）＝36，‎ ‎∴36，‎ 化为：（n﹣12）（n﹣2）＝0，n≥8．‎ 解得n＝12．‎ 故答案为：12． ‎ 思维升华 分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．‎ ‎【题型二】错位相减法求和 ‎【典型例题】‎ 已知{an}为正项等比数列，a1+a2＝6，a3＝8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若bn，且{bn}前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）{an}为正项等比数列，公比设为q，q＞0，a1+a2＝6，a3＝8．‎ 可得a1+a1q＝6，a1q2＝8，‎ 解得a1＝q＝2，‎ 即an＝2n；‎ ‎（2）bnn•（）n，‎ Tn＝1•2•n•（）n，‎ Tn＝1•2•n•（）n+1，‎ 相减可得Tn（）n﹣n•（）n+1‎ n•（）n+1，‎ 化简可得Tn＝2﹣（n+2）•（）n． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知在数列{an}中，a1＝2，2n（an+an+1）＝1，设Tn＝a1+‎2a2+…+2n﹣1an，bn，数列{bn}的前n项和Sn＝　 　．‎ ‎【解答】解：由题意可知 因为Tn＝a1+‎2a2+…+2n﹣1an，所以2Tn＝‎2a1+‎22a2+…+2nan，‎ 两式相加3Tn＝a1+2（a1+a2）+22（a1+a2）+…+2n﹣1（an﹣1+an）+2nan ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ 从而．‎ 故答案为：2n+1﹣2． ‎ 思维升华 错位相减法求和时的注意点 ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ ‎【题型三】裂项相消法求和 命题点1　形如an＝型 ‎【典型例题】‎ ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可知：，‎ S30．‎ 故选：D． ‎ ‎【再练一题】‎ 在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列，数列{an}的前10项和为45．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列，‎ 可得a‎1a8＝a42，即有a1（a1+7d）＝（a1+3d）2，‎ 化为a1＝9d，‎ 数列{an}的前10项和为45，可得‎10a1+45d＝45，‎ 解得a1＝3，d，‎ 则an＝3（n﹣1）；‎ ‎（2）bn9（），‎ 则Tn＝9（）＝9（）‎ ‎． ‎ 命题点2　an＝型 ‎【典型例题】‎ 数列的前2017项的和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ 数列的前2017项的和为：‎ ‎1．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，对∀n∈N*有2Sn＝an2+an．令bn，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为　9　．‎ ‎【解答】解：∵2Sn＝an2+an，‎ ‎∴当n≥2时，2an＝2（Sn﹣Sn﹣1）＝（an2+an）﹣（an﹣12+an﹣1），‎ 整理得：（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝an+an﹣1，‎ 又∵数列{an}的每项均为正数，‎ ‎∴an﹣an﹣1＝1，‎ 又∵，即a1＝1，‎ ‎∴数列{an}是首项、公差均为1的等差数列，‎ ‎∴an＝n，‎ ‎∴bn•‎ ‎，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Tn＝11，‎ 要使得Tn为有理数，只需为有理数即可，即n+1＝t2，‎ ‎∵1≤n≤100，‎ ‎∴t＝3、8、15、24、35、48、63、80、99，‎ 即在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9个，‎ 故答案为：9． ‎ 思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝，裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．‎ 基础知识训练 ‎1．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　）‎ A． B． C．11 D．17‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，‎ 由，得，‎ 数列为等差数列；‎ ‎，‎ ‎.‎ 则数列的前17项和为.‎ 故选：D．‎ ‎2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以，‎ 因此，即，‎ 又为正项数列，所以，‎ 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，‎ 因此，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ 故选D ‎3．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】已知数列满足，数列的前项和为，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以，‎ 两式作差，可得，即，‎ 又当时，，即满足，因此；‎ 所以；‎ 因为数列的前项和为，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选B ‎4．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 第一行为，其和为，可以变形为：；‎ 第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；‎ 第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；‎ 依此类推：第行的和：；‎ 则前行共：个数 前行和为：‎ 满足 而第六行的第个数为：，则 满足的最小正整数的值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎5．【甘、青、宁2019届高三5月联考】已知正项数列的前项和为，满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时，，解得；当时，，两式相减可得， ，可得，所以，.‎ ‎ ，所以.故选A.‎ ‎6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷】定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题当当时，极大值点为1，极大值为1‎ 当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列 故.,故 设S=‎ ‎3S=‎ 两式相减得-2S=1+2()-‎ ‎∴S=‎ 故选：A ‎7．【河南省六市2019届高三第二次联考】已知数列中，，且对任意的，都有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，代入得：‎ 又 ‎.‎ ‎.‎ 所以 ‎.‎ 故选：D ‎8．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可知：‎ 令 又 于是有 ‎ 因此 所以 当且仅当时取等号 本题正确选项：‎ ‎9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试】已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，，成等比数列得，又是公比不为1的等比数列，‎ 设公比为q,则，整理得 ，，‎ 数列的前项和，‎ 数列是单调递增数列，则当n=1时取到最小值为，‎ 可得，即的最大值为，‎ 故选：C ‎10．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得，则，等差数列的公差，‎ ‎.‎ 由，‎ 得，‎ ‎ ‎ 则不等式恒成立等价于恒成立，‎ 而，‎ 问题等价于对任意的，恒成立。‎ 设，，‎ 则，即，‎ 解得或.‎ 故选:A.‎ ‎11．【山西省2019届高三考前适应性训练二（二模)】‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可知：，‎ ‎，‎ 故选D ‎12．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试】数列中，，且，则数列前2019项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：∵，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ ‎∴，又 ‎∴，‎ 可得：．‎ 则数列前2019项和为：．‎ 故选：B．‎ ‎13．【山东省德州市2019届高三第二次练习】设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，，‎ 两式相减可得，，（）‎ 即时，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 则数列，则的前10项和为 ‎ ‎ 故答案为：200‎ ‎14．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在数列中，，则的值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 因为 所以，‎ ‎,‎ ‎,‎ 各式相加，可得 ‎，‎ ‎，‎ 所以，，故答案为1.‎ ‎15．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试】在正项数列中，，其前项和满足，若数列，则数列的前项和为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,得，则 ，因为 ，则 ，又 ，即 ，故为等差数列，∴ ‎ ‎= ，则数列的前项和为 ‎ 故答案为 ‎16．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】若数列满足，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题，则 ‎……‎ 相加得,故=‎ 故答案为 ‎17．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)】数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）因为，所以当时，‎ ‎ .‎ 由于满足，所以求的通项公式为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以数列的前项和为 ‎ .‎ ‎18．【北京师范大学附属中学2019届高三高考模拟（三)】等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a15=17，S10=55．数列{bn}满足an=log2bn．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{an+bn}的前n项和Tn满足Tn=S32+18，求n的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）n=8‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，则有 解得,则an=n．又an=log2bn，即，所以．‎ ‎（2）依题意得：Tn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）‎ ‎==．‎ 又，则，‎ 因为在n∈N*上为单调递增函数，‎ 所以n=8．‎ ‎19．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】设数列是等差数列，数列的前项和，满足且．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得，，‎ ‎∴，即，‎ 又，故．‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可得 ‎∴‎ 令，其前项和记为，，其前项和记为，‎ ‎∴，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎20．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知数列中，，且.‎ ‎（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）当时，求数列的前2020项和.‎ ‎【答案】（1）①时，不是等比数列；②时，是等比数列；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ ‎，‎ ‎∴①当时，，故数列不是等比数列； ‎ ‎②当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.‎ ‎（2）由(1)且当时有：，即， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎21．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知数列的前项和为，，且是和的等比中项.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列并求其通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1） 由得 ， ‎ 所以 ， 又 所以， 故. ‎ 故数列是公差为的等差数列 ，且是和的等比中项， ‎ 即 ，得 ，‎ 解得， 所以 . ‎ ‎（2）由题得，‎ ‎ ‎ ‎22．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】已知数列有，是它的前项和，且．‎ ‎（1）求证：数列为等差数列.‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，‎ 所以，，‎ 两式对应相减得，‎ 所以 又n=2时，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以数列为等差数列.‎ ‎（2）当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 综上：‎ 能力提升训练 ‎1．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】已知数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选A ‎2．【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次质量检测（三模)】已知数列，的前 项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．49 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，‎ 由于是单调递增数列，，.‎ 故的最小值为，故选B.‎ ‎3．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为（ ）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 则,‎ 解得， ‎ 故选D.‎ ‎4．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知数列 的通项 ，若 ，则实数x可以等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 故选B.‎ ‎5．【河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有 ‎，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为.‎ 故选：C ‎6．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知数列：；，，；，，…，；…，，，，…；…，则此数列的前2036项之和为（ ）‎ A．1024 B．‎2048 ‎C．1018 D．1022‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；…；第组：.而由，得，所以.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.故选C.‎ ‎7．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】设数列满足，.‎ ‎（1）求证是等比数列，并求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴，故是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2），故 .‎ ‎8．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知正项数列的前项和为，且。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，当时，，又，∴，‎ 当时，由得，‎ 两式相减得，即，‎ 又，∴‎ ‎∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 两式相减得，‎ ‎∴‎ ‎9．【安徽省1号卷�A10联盟2019年高考最后一卷】已知等差数列满足，且是的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值 ‎【答案】（I）.（II）8.‎ ‎【解析】‎ 设等差数列的公差，，即，‎ ‎，，，‎ 是，的等比中项， ‎ ‎，即，解得.‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（II）由得.‎ 由，得.‎ 使得成立的最大正整数的值为.‎ ‎10．【天津市十二重点中学2018届高三下学期毕业班联考（二)】已知为正项等比数列，，且数列满足：．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和，并求使得恒成立的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为．‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）设正项等比数列的公比为．‎ ‎．‎ 又数列满足：．‎ ‎，可得．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ 化为：．‎ ‎，因此数列为单调递增数列．‎ 恒成立．‎ 为偶数时，．‎ 为奇数时，，解得．‎ 综上可得：的取值范围为．‎