【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第4讲数列求和学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第4讲数列求和学案

第4讲　数列求和 ‎[考纲解读]　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．(重点)‎ ‎2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预测2020年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题一般以解答题为主，以中档题型为主.‎ ‎1．基本数列求和公式法 ‎(1)等差数列求和公式：‎ Sn＝＝na1＋d.‎ ‎(2)等比数列求和公式：‎ Sn＝ ‎2．非基本数列求和常用方法 ‎(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．‎ 常见的裂项公式：‎ ‎①＝；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝；‎ ‎④＝(－)．‎ ‎3．常用求和公式 ‎(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；‎ ‎(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；‎ ‎(3)12＋22＋32＋…＋n2＝；‎ ‎(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.(　　)‎ ‎(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)‎ ‎(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)‎ ‎(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　B 解析　∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.‎ ‎(2)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 答案　A 解析　该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ‎＝n2＋1－.‎ ‎(3)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)‎ A．200 B．－200 C．400 D．－400‎ 答案　B 解析　设bn＝4n－3，则{bn}是公差为4的等差数列，‎ an＝(－1)n－1bn.‎ S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)‎ ‎＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋(b99－b100)‎ ‎＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.‎ ‎(4)数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2018等于(　　)‎ A．－1010 B．2018 C．505 D．1010‎ 答案　A 解析　易知a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….‎ 所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a2017＝0，a2018＝2018×cos＝－2018，∴S2018＝S2016＋a2018＝1008－2018＝－1010.故选A.‎ 题型 　分组转化法求和 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2018·信阳模拟)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)‎ A．1121 B．1122 C．1123 D．1124‎ 答案　C 解析　由题意知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.‎ ‎2．(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.‎ a1也满足an＝n，‎ 故数列{an}的通项公式为an＝n.‎ ‎(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.‎ 记数列{bn}的前2n项和为T2n，‎ 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．‎ 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，‎ 则A＝＝22n＋1－2，‎ B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.‎ 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.‎ 结论探究　在举例说明2条件下，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　由举例说明2知bn＝2n＋(－1)nn.‎ 当n为偶数时，‎ Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；‎ 当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－.‎ ‎∴Tn＝ 分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2‎ ‎＝4，b5＝32.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意得d＝＝2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.‎ 设等比数列{bn}的公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.‎ 因为b1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.‎ ‎(2)Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.‎ 题型 　裂项相消法求和 ‎1．已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．‎ 答案　120‎ 解析　因为an＝＝－，‎ 所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－1，又因为Sn＝10，‎ 所以－1＝10，解得n＝120.‎ ‎2．(2018·芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)Sn＝n2＋n＋2，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋2，②‎ ‎①－②得an＝2n，当n＝1时，a1＝4，an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由题意，bn＝ 当n＝1时，T1＝.‎ 当n≥2时，‎ Tn＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ Tn＝ 条件探究　举例说明2中，若an＝2n，bn＝‎ ，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　bn＝＝，‎ Tn＝＝＝－－.‎ 几种常见的裂项相消及解题策略 ‎(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)‎ ‎(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a4＝4，S5＝15，若数列的前m项和为，则m＝(　　)‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ 答案　C 解析　Sn为等差数列{an}的前n项和，设公差为d，a4＝4，S5＝15，则解得d＝1，‎ 则an＝4＋(n－4)＝n.‎ 由于＝＝－，‎ 则Sm＝1－＋－＋…＋－ ‎＝1－＝，解得m＝10.‎ ‎2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)因为数列{an}是递增的等比数列，‎ 且a1＋a4＝9，a2a3＝8.‎ 所以⇒⇒q3＝＝8⇒q＝2⇒an＝a1·qn－1＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)可知Sn＝＝＝2n－1，‎ 所以bn＝＝－，‎ 所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－ ‎＝1－.‎ 题型 　错位相减法求和 ‎(2018·安徽皖江最后一卷)设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且 解得d＝2，q＝2.所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.‎ ‎(2)＝.‎ Sn＝1＋＋＋…＋＋，①‎ ‎2Sn＝2＋3＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－＝2＋2×－＝2＋2×－＝6－.‎ 利用错位相减法的一般类型及思路 ‎(1)适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．‎ ‎(2)思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，(*)‎ 则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，(**)‎ ‎(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．如举例说明．‎ 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：‎ ‎(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．‎ ‎(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2018·兰州模拟)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，‎ 令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.①‎ 令n＝2，得＋＝，‎ 所以a2a3＝15.②‎ 由①②解得a1＝1，d＝2，‎ 所以an＝2n－1.经检验，符合题意．‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，‎ 所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，‎ 所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，‎ 两式相减，得 ‎－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1‎ ‎＝×4n＋1－.‎ 所以Tn＝×4n＋1＋＝.‎