2020届二轮复习数列求和学案（全国通用）

2020届二轮复习数列求和学案（全国通用）

培优点十二 数列求和 ‎1．错位相减法 例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，‎ ‎．‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）记，，求证：．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，的公比为，‎ 则，，‎ 即，解得：，‎ ‎，．‎ ‎（2），①‎ ‎，②‎ 得 ‎，‎ ‎∴所证恒等式左边，右边，‎ 即左边右边，所以不等式得证．‎ ‎2．裂项相消法 例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）时，，‎ 当时，符合上式，，‎ ‎∵为等比数列，，‎ 设的公比为，则，而，‎ ‎，解得或，‎ ‎∵单调递增，，．‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．已知等差数列中，，，则项数为（ ）‎ A．10 B．‎14 ‎C．15 D．17‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴，，故选C．‎ ‎2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列首项为，公差为，‎ 由题意可知，，，‎ 二次函数的对称轴为，开口向下，‎ 又∵，∴当时，取最大值．故选C．‎ ‎3．对于函数，部分与的对应关系如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎4‎ 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）‎ A．7554 B．‎7549 ‎C．7546 D．7539‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知：，，，，，‎ 点都在函数的图象上，则，，，，，‎ 则数列是周期为4的周期数列，‎ 由于，且，‎ 故．故选A．‎ ‎4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（ ）‎ A．8 B．‎9 ‎C．10 D．11‎ ‎【答案】C ‎【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，‎ 则，解得，则．‎ 由于，则，‎ 解得．故答案为10．故选C．‎ ‎5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于，， ∴可得，， 这样，，，，，，，而，， ∴在，，，中最大的是．故选C．‎ ‎6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．‎ ‎∴其前项和为．故选D．‎ ‎7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，，由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎∴恒成立，，故最小值为，故选D．‎ ‎8．数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．2018 B．‎1009 ‎C．2019 D．1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，数列满足，‎ ‎∴‎ ‎，故选B．‎ ‎9．已知数列中，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ 由，解得，‎ 令，故．故选A．‎ ‎10．已知函数，且，则（ ）‎ A．20100 B．‎20500 ‎C．40100 D．10050‎ ‎【答案】A ‎【解析】，当为偶数时，，‎ 当为奇数时，，‎ 故 ‎．故选A．‎ ‎11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎∴原式，‎ 当时，，‎ ‎∴整数部分为1，故选B．‎ ‎12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）‎ A．305 B．‎306 ‎C．315 D．316‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，，当时，可得，（1项）‎ 当时，可得，（2项）‎ 当时，可得，（4项）‎ 当时，可得，（8项）‎ 当时，可得，（16项）‎ 当时，可得，（项）‎ 则前项和为，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，此时，‎ 当时，对应的项为，即，故选D．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．‎ ‎【答案】440‎ ‎【解析】由可得：‎ 当时，有， ①‎ 当时，有， ②‎ 当时，有， ③‎ 有，有，‎ 则 ‎．‎ 故答案为440．‎ ‎14．表示不超过的最大整数．若，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，‎ 第二个等式，起始数为2，项数为，，‎ 第三个等式，起始数为3，项数为，，‎ 第个等式，起始数为，项数为，，，‎ 故答案为，．‎ ‎15．已知函数，则________；‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】∵‎ ‎，‎ 设， ①‎ 则， ②‎ 得，‎ ‎∴．故答案为2018．‎ ‎16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，‎ ‎∴，解得，∴，‎ 当时，，‎ 当时，上式成立，则，‎ ‎∴，，‎ 则．‎ 故答案为．‎ 三、解答题 ‎17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，‎ 又，解得或（舍去），，‎ ‎∴，‎ 又，，∴，∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 则．‎ ‎18．已知为数列的前项和，且，，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若对，，求数列的前项的和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ 当时，，化为，‎ ‎∵，∴，‎ 当时，，且，解得．‎ ‎∴数列是等差数列，首项为1，公差为3．∴；‎ ‎（2）．‎ ‎∴，‎ ‎∴的前项的和．‎