2020版高中数学 第2章 数列

2020版高中数学 第2章 数列

‎2.1.1　‎数　列 ‎1.理解数列的概念.(重点)‎ ‎2.掌握数列的通项公式及应用.(重点)‎ ‎3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(难点、易错点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　数列的定义及分类 阅读教材P25第一行～P25倒数第5行，及P26例1上面倒数第一、二自然段，完成下列问题.‎ ‎1.数列的概念及一般形式 ‎2.数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 9‎ 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列.(　　)‎ ‎(2){an}与an是一样的，都表示数列.(　　)‎ ‎(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列.(　　)‎ ‎(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列.‎ ‎(2)×.因为{an}代表一个数列，而an只是这个数列中的第n项，故{an}与an是不一样的.‎ ‎(3)×.因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列.‎ ‎(4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 教材整理2　数列与函数的关系 阅读教材P25倒数第5行～P26倒数第4自然段，完成下列问题.‎ ‎1.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ ‎2.数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：‎ 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})‎ 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 表示方法 ‎(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 ‎1.下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项(　　)‎ A.380 B.392‎ C.321 D.232‎ ‎【解析】　因为19×20＝380，‎ 9‎ 所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项.应选A.‎ ‎【答案】　A ‎2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是an＝(　　)‎ A.(10n－1) B. C.(10n－1) D.(10n－1)‎ ‎【解析】　1－＝0.9,1－＝0.99，…，故原数列的通项公式为an＝.应选B.‎ ‎【答案】　B ‎3.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, ， ， ，________，，….‎ ‎【解析】　据规律填写可知通项为an＝，∴a5＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎4.数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项.‎ ‎【解析】　令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.‎ ‎【答案】　3 ‎ ‎[小组合作型]‎ 数列的概念及分类 ‎　已知下列数列：‎ ‎①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；‎ ‎②1，，，…，，…；‎ ‎③1，－，，…，，…；‎ ‎④1,0，－1，…，sin，…；‎ ‎⑤2,4,8,16,32，…；‎ ‎⑥－1，－1，－1，－1.‎ 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________.(填序号)‎ 9‎ ‎【精彩点拨】　紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解.‎ ‎【自主解答】　①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.‎ ‎【答案】　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④‎ ‎1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：‎ ‎①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；‎ ‎②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；‎ ‎③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；‎ ‎④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.‎ ‎2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.给出下列数列：‎ ‎(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.‎ ‎(2)无穷多个构成数列， ， ， ，….‎ ‎(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….‎ 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.‎ ‎【解析】　(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列.‎ ‎【答案】　(1)　(2)(3)　(1)　(2)　(3)‎ 由数列的前几项求通项公式 ‎　写出下列数列的一个通项公式：‎ ‎(1)，2，，8，，…；‎ ‎(2)9,99,999,9 999，…；‎ 9‎ ‎(3)，，，，…；‎ ‎(4)－，，－，，….‎ ‎【精彩点拨】　先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式.‎ ‎【自主解答】　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋).‎ ‎(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋).‎ ‎(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋).‎ ‎(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N＋).‎ ‎1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：‎ ‎①分式中分子、分母的特征；‎ ‎②相邻项的变化特征； ‎ ‎③拆项后的特征；‎ ‎④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.‎ ‎2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.写出下列数列的一个通项公式： ‎ ‎【导学号：18082015】‎ ‎(1)0,3,8,15,24，…；‎ ‎(2)1，－3,5，－7,9，…；‎ ‎(3)1，2，3，4，…；‎ ‎(4)1,11,111,1 111，….‎ 9‎ ‎【解】　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋).‎ ‎(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋).‎ ‎(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋).‎ ‎(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋).‎ ‎[探究共研型]‎ 数列的通项公式的意义 探究1　数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？‎ ‎【提示】　由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝，当n＝7时，a7＝＝，若为该数列中的一项，则＝，解得n＝8，所以是该数列中的第8项.‎ 探究2　已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？‎ 试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.‎ ‎【提示】　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项.‎ ‎　已知数列.‎ ‎(1)求这个数列的第10项；‎ ‎(2)是不是该数列中的项，为什么？‎ ‎(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内.‎ ‎【精彩点拨】　(1)将n＝10代入数列的通项公式即可.(2)由＝求得n(‎ 9‎ n∈N＋)是否有正整数解即可.(3)求函数an＝的值域即可.‎ ‎【自主解答】　设f(n)＝ ‎＝＝.‎ ‎(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.‎ ‎(2)令＝，得9n＝300.‎ 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项.‎ ‎(3)证明：∵an＝＝＝1－，‎ 又n∈N＋，‎ ‎∴0<<1，∴00，∴an＋1>an.‎ ‎∴数列{an}是递增数列.‎ ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ A.数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示为1,3,5,7，…‎ B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}‎ ‎【解析】　A错，数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B错，数的次序不同就是两个不同的数列；C正确，ak＝＝1＋；D错，an＝2n－2.‎ ‎【答案】　C ‎2.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于(　　)‎ A.11 B.12‎ C.13 D.14‎ ‎【解析】　观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.‎ ‎【答案】　C ‎3.已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为 ‎(　　)‎ A.1,0,1,0 B.0,1,0,1‎ C.，0，，0 D.2,0,2,0‎ ‎【解析】　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.‎ ‎【答案】　A ‎4.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项. ‎ ‎【导学号：18082017】‎ ‎【解析】　令＝，解得n＝4或n＝－5(舍去)，所以是该数列的第4项.‎ ‎【答案】　4‎ ‎5.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.‎ 9‎ ‎(1)写出数列的第4项和第6项；‎ ‎(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.‎ ‎【解】　(1)因为an＝3n2－28n，‎ 所以a4＝3×42－28×4＝－64，‎ a6＝3×62－28×6＝－60.‎ ‎(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，‎ ‎∴n＝7或n＝(舍).‎ ‎∴－49是该数列的第7项，‎ 即a7＝－49.‎ 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，‎ ‎∴n＝－2或n＝.‎ ‎∵－2∉N＋，∉N＋，‎ ‎∴68不是该数列的项.‎ 9‎