2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二10月联考数学试题（解析版）

2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二10月联考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二10月联考数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角的大小为(　　)‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵直线的斜率等于，设倾斜角等于，则，且，∴，故选C.‎ ‎2．已知直线l1：x＋y＋1＝0,l2：2x＋2y－3＝0,则l1,l2之间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知平行直线与，则与间的距离，故选B.‎ ‎3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，对于选项A中，当时，直线在轴上的截距为在原点的上方，所以不成立的；对于选项B中，当时，直线在轴上的截距为在原点的上方，所以不成立的；当时，此时直线的斜率，直线在轴上的截距，此时选项C满足条件；对于选项D中，当直线 的斜率大于于，所以不正确，故选C.‎ ‎【考点】直线方程.‎ ‎4．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为， ，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎5．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的圆心，半径，∵直线和圆相交， 为等边三角形，∴圆心到直线的距离为，即，平方得，解得，故选D.‎ ‎6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，即，∴，即圆周上到已知直线的距离为1，同时存在和也满足题意，∴圆上的点到直线 的距离为1的点有3个，故选C.‎ 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题；由圆的方程找出圆心A的坐标和半径，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，根据图形可得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个.‎ ‎7．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝，则a等于(　　)‎ A. B. 2 C. －1 D. 2或－1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，原题等价于直线和平行，因为直线的斜率存在，故必有，解得，故选B.‎ ‎8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】把，代入圆，求得或 ，可得圆截轴所得线段长为2，故圆截直线所得线段的长为2，故圆心到直线的距离为1，即，∴，故选D.‎ ‎9．若直线y＝kx－1与曲线有公共点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】曲线表示圆心为，半径为1的轴下方的半圆，直线为恒过点的直线系，根据题意画出图形，如图所示：‎ ‎ ‎ 则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是，故选D.‎ 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，考查转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键；曲线表示圆心为，半径为1的轴下方的半圆，直线与曲线有公共点，即直线与半圆有交点，根据题意画出相应的图形，求出直线的斜率的取值范围.‎ ‎10．如图所示,定圆半径为,圆心为,则直线与直线的交点在(　　)‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎【答案】B ‎【解析】由，解得交点坐标为，由图可知， ，∴，∴交点在第三象限，故选B.‎ ‎11．在约束条件，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由⇒交点为， ， ， ， ‎ 当时可行域是四边形，此时， ，当时可行域是此时， ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎12．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是 (　 　)‎ A. a2－2a－2b－3＝0 B. a2＋2a＋2b＋5＝0‎ C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆始终平分的周长，∴两圆交点的直线过的圆心，两圆方程相减可得：，将代入可得，即，故选B.‎ 二、填空题 ‎13．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________；‎ ‎【答案】或 ‎【解析】∵两点和到直线距离相等，∴，解得或，故答案为或.‎ ‎14．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，又由于直线与直线关于点对称，∴直线恒过定点，故答案为.‎ ‎15．若点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，点适合不等式组，将坐标代入，得关于 ‎、的不等式组： ，在坐标系中，作出符合上不等式组表示的平面区域，如下图 ‎ 表示点到原点的距离的平方，根据图形得，当点与点重合时，这个平方和最大，即，而到直线的距离平方的最小值，即，因此的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，将的取值范围问题转化为区域内的点到原点距离平方的取值范围问题分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，已知圆C：，直线经过点，若对任意的实数m，直线被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：圆标准方程为，圆心为，半径为，圆心在直线上，点到直线的距离为 ‎，因此过且与直线平行的直线一定与圆C相交，由于圆的半径是定值，因此满足题意的的直线的斜率为，方程为，即．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．“直线被圆C截得的弦长都是定值”，由于弦长，因此在圆半径与圆心到直线的距离中有一个为定值时，另一个也要为定值，否则是为定值，本题圆的方程化为标准方程后，发现半径是定值，因此要求圆心到直线的距离也为定值，但是圆心又在直线上变化，因此只有直线与这条直线平行才能保证为定值，由此得解法．‎ 三、解答题 ‎17．菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1).求：‎ ‎(1)AD边所在直线的方程；‎ ‎(2)对角线BD所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出；（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出.‎ 试题解析：(1) ，∵，∴，∴直线方程为，即.‎ ‎(2) ，∵菱形对角线互相垂直，∴，∴，而中点，也是的中点，∴直线的方程为，即 ‎18．自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。‎ ‎【答案】已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d==1。整理得 ‎ 12k2+25k+12=0，解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3)，或y-3= -(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0。‎ ‎【解析】试题分析：已知圆关于轴的对称圆的方程为 ‎2分 如图所示．‎ 可设光线所在直线方程为， 4分 ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离＝， 6分 解得或. 10分 ‎∴光线所在直线的方程为或.…12分 ‎【考点】点关于直线的对称点；直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式。‎ 点评：本题也可以这样做：求出点关于x轴的对称点，则反射光线一定过点，由此设出直线方程，利用直线与圆相切求出即可。在设直线方程的点斜式时，要注意讨论直线的斜率是否存在。‎ ‎19．过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设圆的标准方程为： ，则分别代入原点和， 得到方程组，解出即可得到；（2）由（1）得到圆心为，半径，由于直线过点与圆相切，则设直线或，分别考虑运用直线与圆相切的条件： ，解方程即可得到所求直线方程.‎ 试题解析：(1)设圆C的标准方程为，则分别代入原点和， 得到 解得则圆的标准方程为 ‎(2)由(1)得到圆心为，半径， 由于直线过点与圆相切，则设直线或，当时， 到的距离为2，不合题意，舍去；当，由直线与圆相切，得到，即有，解得，故直线，即为 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法和直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题；圆的方程有一般形式与标准形式，在该题中利用待定系数法将其设为标准形式，列、解出方程组即可；当直线与圆相切时等价于圆心到直线的距离等于半径，已知直线上一点写出直线的方程需注意斜率不存在的情形.‎ ‎20．已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|．‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1: x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：(1) 利用两点间距离公式，结合|PA|=2|PB|可求；(2) 由题可知，|QM|=，当CQl1 时，|CQ|取最小值时，|QM|取最小值．‎ 解：（1）设P点的坐标为（x, y）, 由|PA|=2|PB|，得 ＝２, 化简，得,即为所求．‎ ‎(2)曲线C是以点（5,0）为圆心，4为半径的圆, 直线l2是圆的切线，连接CQ，则 ‎|QM|==,‎ 当CQl1 ，|CQ|取最小值，则．‎ 此时|QM|的最小值为．‎ ‎【考点】两点间距离公式，直线与圆的位置关系．‎ ‎21．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出、‎ 的坐标，表示出面积即可；（2）通过题意解出的方程，解出的值，直线与圆交于点， ，判断是否符合要求，可得圆的方程.‎ 试题解析：(1)证明：由题意知圆过原点， ，则圆的方程为，令，得， ；令，得， .∴，即的面积为定值．‎ ‎(2)∵， ，∴垂直平分线段.∵，∴，∴直线的方程为，∵在直线上，∴，解得或，当时，圆心的坐标为， ，此时圆心到直线的距离，∴圆与直线相交于两点；当时，圆心的坐标为， ，此时圆心到直线的距离，圆与直线不相交，∴不符合题意，应舍去．∴圆的方程为.‎ ‎22．如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.‎ ‎(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；‎ ‎(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)‎ ‎【答案】（1）；（2）5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程；（2）据条件列出不等式对恒成立，运用函数单调性解决恒成立问题.‎ 试题解析：(1)分别以、为轴、轴建立直角坐标系，依题意得， ，故， 、中点为．故线段的垂直平分线方程为： ．令得，故圆心的坐标为，半径，∴的方程为，∴的方程为．‎ ‎(2)设校址选在，则对恒成立，即对恒成立，整理得①对恒成立．∵，∴，令，则在上为减函数，故要使①式对恒成立，必须有即解得，即校址距点的最近距离为.‎