2017-2018学年山西省晋城一中高二上学期12月月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年山西省晋城一中高二上学期12月月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年山西省晋城一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎3．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知曲线C：y=（﹣2≤x≤0）与函数f（x）=loga（﹣x）及函数g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22的值为（　　）‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ ‎5．（5分）设α表示平面，a，b表示直线，给出下列四个命题：‎ ‎①a∥α，a⊥b⇒b∥α； ‎ ‎②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α； ‎ ‎④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②④ C．③④ D．①③‎ ‎6．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2‎ ‎，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．0°‎ ‎8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎9．（5分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（　　）‎ A．3﹣2 B．5 C． D．3‎ ‎10．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F1（﹣2，0），P为C上一点，满足|OP|=|OF1|且|PF1|‎ ‎=4，则椭圆C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1‎ C．+=1 D．+=1‎ ‎11．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．11π B．12π C．13π D．14π ‎12．（5分）对于函数f（x），若对于任意的x1，x2，x3∈R，f（x1），f（x2），f（x3）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构成三角形的函数”．已知函数f（x）=是“可构成三角形的函数”，则实数t的取值范围是（　　）‎ A． B．[0，1] C．[1，2] D．（0，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知椭圆+=1，求以p（﹣1，1）为中点的弦所在的直线方程为　 　．‎ ‎14．（5分）过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0 相切，则实数k的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）如图，△A′B′O是水平放置的△ABO按斜二测画法得到的直观图，其中O′A′=4，O′B′=3，则原三角形△ABO的面积是　 　．‎ ‎16．（5分）已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求常数a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎20．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣4x+2y=0与圆C2：x2+y2﹣2y﹣4=0．‎ ‎（1）求证两圆相交；‎ ‎（2）求两圆公共弦所在直线的方程；‎ ‎（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．‎ ‎21．（12分）在四棱锥P﹣ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．‎ ‎（1）求的值，使得CM∥平面AFG；‎ ‎（2）过点E作平面PCD的垂线，垂足为H，求四棱锥H﹣ABCD的体积．‎ ‎22．（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山西省晋城一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】解不等式组求出元素的个数即可．‎ ‎【解答】解：由，解得：或，‎ ‎∴A∩B的元素的个数是2个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞‎ ‎）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，‎ 当m≤0时，函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，‎ 若y=logmx在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，‎ 故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知曲线C：y=（﹣2≤x≤0）与函数f（x）=loga（﹣x）及函数g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22的值为（　　）‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ ‎【分析】通过函数与反函数，以及圆关于y=x对称，推出A，B的坐标关系，然后求出所求表达式的值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=loga（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a＞1）是互为反函数，图象关于y=﹣x对称，‎ 又圆也关于y=﹣x对称，所以圆C：x2+y2=4与函数f（x）=loga（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象，如图所示 在第二象限的交点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 满足y1=﹣x2，y2=﹣x1，‎ 所以x12+x22=4．‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查了反函数的性质，关于直线y=﹣x对称，关键是求出点在第二象限，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设α表示平面，a，b表示直线，给出下列四个命题：‎ ‎①a∥α，a⊥b⇒b∥α； ‎ ‎②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α； ‎ ‎④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②④ C．③④ D．①③‎ ‎【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．‎ ‎【解答】解：①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误； ‎ ‎②若a∥b，a⊥α，由收直线与平面垂直和判定定理得b⊥α，故②正确；‎ ‎③a⊥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故③错误； ‎ ‎④若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，排除A；得到正确选项．‎ ‎【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；‎ 故选B ‎【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．0°‎ ‎【分析】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I，J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等．AD为折成三棱锥的侧棱，则GH与IJ所成角的度数为60°．‎ ‎【解答】解：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，‎ I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，‎ 故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等；‎ AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，‎ 故GH与IJ所成角的度数为60°，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴k=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（　　）‎ A．3﹣2 B．5 C． D．3‎ ‎【分析】由对数函数的图象恒过点（1，0），可得定点A（﹣2，﹣1），可得2m+n=1，则=（2m+n）（），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，可得y=loga1﹣1=﹣1，‎ 即有定点A（﹣2，﹣1），‎ 可得﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，（m＞0，n＞0），‎ 则=（2m+n）（）=3++≥3+2‎ ‎=3+2，（当且仅当n=m时等号成立），‎ 则的最小值为3+2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查对数函数的图象的特点，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F1（﹣2，0），P为C上一点，满足|OP|=|OF1|且|PF1|=4，则椭圆C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1‎ C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】第一步：由|OP|=|OF1|及椭圆的对称性知，△PF1F2为直角三角形；‎ 第二步：由勾股定理，得|PF2|；‎ 第三步：由椭圆定义，得a；‎ 第四步：由b2=a2﹣c2，得b2；‎ 第五步：根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆的焦距为2c，连接PF2，如右图所示．‎ 由F（﹣，0），得c=2，‎ 又由|OF1|=|OF2|知，PF1⊥PF2，‎ 在△PF1F2中，由勾股定理，得|PF2|==，‎ 由椭圆定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，‎ 于是，‎ 所以椭圆的方程为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的定义及其几何特征，对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c，的三个方程，这样才能确定a2，b2．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．11π B．12π C．13π D．14π ‎【分析】该几何体是高为1的三棱锥，结合图中数据，过PC中点作面PAC垂线与过F作面ABC的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心．设面EMF交AC于H，则∠MEH=∠MFH=90°，∠EHF=135°，在△EHF中，由余弦定理可得EF=，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即MH=，即该棱锥的外接球的半径R=．即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意，该几何体是高为1的三棱锥，且俯视图是等腰直角三角形，‎ 可得PC=，AC=1，PA=，∴△PAC为Rt△．‎ 过PC中点作面PAC垂线与过F作面ABC的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心．‎ 设面EMF交AC于H，则∠MEH=∠MFH=90°，∠EHF=135°，‎ 在△EHF中，由余弦定理可得EF=，‎ 由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即MH=，‎ ‎∴MF=，‎ ‎∴=，即该棱锥的外接球的半径R=．‎ 则该棱锥的外接球的表面积为S=4=11π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）对于函数f（x），若对于任意的x1，x2，x3∈R，f（x1），f（x2），f（x3）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构成三角形的函数”．已知函数f（x）=是“可构成三角形的函数”，则实数t的取值范围是（　　）‎ A． B．[0，1] C．[1，2] D．（0，+∞）‎ ‎【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围 ‎【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，‎ 由于f（x）==是“可构成三角形的函数”，‎ ‎①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．‎ ‎②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，‎ 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，‎ 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．‎ ‎③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，‎ 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，‎ 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥．‎ 综上可得，≤t≤2，‎ 故实数t的取值范围是[，2]；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题 ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知椭圆+=1，求以p（﹣1，1）为中点的弦所在的直线方程为　3x﹣4y+7=0　．‎ ‎【分析】根据题意，设直线与椭圆相交于A、B两点，并设A（x1，y1），B（x2，y2）；分析可得直线的AB的斜率必定存在，设其斜率为k，将A、B的坐标代入椭圆的方程，利用点差法分析可得k的值，将k的值代入直线的方程，变形即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设直线与椭圆相交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 若AB的中点为P（﹣1，1），则直线AB的斜率必定存在，设其斜率为k，‎ 则AB的方程为：y﹣1=k（x+1）‎ 又由A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 则有+=1，①‎ ‎+=1，②‎ ‎①﹣②可得：=﹣，‎ 又由AB的中点为P（﹣1，1），则x1+x2=﹣2，y1+y2=2，‎ 则有k==，‎ 则直线AB的方程为y﹣1=（x+1），即3x﹣4y+7=0；‎ 故答案为：3x﹣4y+7=0．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，注意点差法分析、‎ ‎　‎ ‎14．（5分）过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0‎ ‎ 相切，则实数k的取值范围是　（﹣，﹣3）∪（2，）　．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，‎ 所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，‎ 又点（1，2）应在已知圆的外部，‎ 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，‎ 解得：k＞2或k＜﹣3，‎ 则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．‎ 故答案为：（﹣，﹣3）∪（2，）‎ ‎【点评】此题考查了点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，△A′B′O是水平放置的△ABO按斜二测画法得到的直观图，其中O′A′=4，O′B′=3，则原三角形△ABO的面积是　12　．‎ ‎【分析】先求出直观图的面积，再根据直观图和原图面积之间的关系求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意，直观图的面积为×4×3×sin45°=3，‎ 因为直观图和原图面积之间的关系为，‎ 故原△ABO的面积是3×2=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则的最小值为　　．‎ ‎【分析】如图所示，延长PO到点D，使得OD=OP，则=2=2．由于=1，利用基本不等式的性质可得：≤．再利用数量积的运算性质可得：=≥﹣2，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 延长PO到点D，使得OD=OP，‎ 则=2=2．‎ ‎∵=1，‎ ‎∴，‎ 化为≤．‎ ‎∴=≥﹣2=﹣2×=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）分别求出p，q为真时的x的范围，去交集即可；（2）根据q是p的充分不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，‎ 又a＞0，所以a＜x＜3a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 当a=1时，1＜x＜3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ 又|x﹣3|＜1得2＜x＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ 由p∧q为真．∴x满足即2＜x＜3．‎ 则实数x的取值范围是2＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（2）q是p的充分不必要条件，‎ 记A={x|a＜x＜3a，a＞0}，B={x|2＜x＜4}，‎ 则B是A的真子集，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴a≤2且4≤3a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ 则实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题考察了复合命题的判断，考察充分必要条件以及集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求常数a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f（x）=2sin（2x+）+a≤2+a=1，可得a=﹣1．‎ ‎（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 g（x）=2sin（2x+）﹣1．再根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a≤2+a=1，‎ ‎∴a=﹣1．‎ ‎（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，‎ ‎（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，‎ ‎∴g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+]﹣1=2sin（2x+）﹣1．‎ 当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为﹣1，‎ 当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣2﹣1=﹣3．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+‎ b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；‎ 再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．‎ 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，‎ 当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，‎ ‎，整理得：，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 因此 ‎，‎ 两式作差得：，‎ ‎（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣4x+2y=0与圆C2：x2+y2﹣2y﹣4=0．‎ ‎（1）求证两圆相交；‎ ‎（2）求两圆公共弦所在直线的方程；‎ ‎（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．‎ ‎【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交；‎ ‎（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；‎ ‎（3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．‎ ‎【解答】（1）证明：圆C1：x2+y2﹣4x+2y=0与圆C2：x2+y2﹣2y﹣4=0化为标准方程分别为圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2=5与圆C2：x2+（y﹣1）2=5‎ ‎∴C1（2，﹣1）与圆C2（0，1），半径都为 ‎∴圆心距为0＜=＜2‎ ‎∴两圆相交；‎ ‎（2）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 ‎（x2+y2﹣4x+2y）﹣（x2+y2﹣2y﹣4）=0‎ 即x﹣y﹣1=0‎ ‎（3）解：由（2）得y=x﹣1代入圆C1：x2+y2﹣4x+2y=0，化简可得2x2﹣4x﹣1=0‎ ‎∴‎ 当时，；当时，‎ 设所求圆的圆心坐标为（a，b），则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为 ‎【点评】‎ 本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在四棱锥P﹣ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．‎ ‎（1）求的值，使得CM∥平面AFG；‎ ‎（2）过点E作平面PCD的垂线，垂足为H，求四棱锥H﹣ABCD的体积．‎ ‎【分析】（1）由题意求出∠BAC的值，再由余弦定理可得BC，又BC=DE，则DE值可得，当时，AG∥DM，又AF∥CD，AF∩AG=A，则平面CDM∥平面AFG，CM⊂平面CDM，可得CM∥平面AFG；‎ ‎（2）过E作EH⊥PD，垂足为H，则△APD∽△EHD，由PA=AD=2，得△APD为等腰直角三角形，则△EHD也为等腰直角三角形，结合已知条件，可得CD⊥平面PAE，则EH⊥平面PCD，过H作DE的垂线，垂足为O，则HO⊥底面ABCE，可得HO的值，进一步求出四边形ABCD的面积，则四棱锥H﹣ABCD的体积可求．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC为直角，‎ tan∠CAD=，则∠CAD=60°，‎ 又AC平分∠BAD，∴∠BAC=60°，‎ ‎∵AB=3，AC=4，‎ ‎∴由余弦定理可得BC=，则DE=．‎ 当时，AG∥DM，‎ 又AF∥CD，AF∩AG=A，∴平面CDM∥平面AFG．‎ ‎∵CM⊂平面CDM，∴CM∥平面AFG；‎ ‎（2）过E作EH⊥PD，垂足为H，则△APD∽△EHD，‎ 由PA=AD=2，得△APD为等腰直角三角形，则△EHD也为等腰直角三角形，‎ ‎∵PA⊥底面ABCE，∴AP⊥CD，‎ ‎∵CD⊥AE，PA∩AE=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAE，则CD⊥EH，‎ 则EH⊥平面PCD，‎ 过H作DE的垂线，垂足为O，则HO⊥底面ABCE，‎ 可得HO=．‎ ‎∵四边形ABCD的面积为．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定，考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力以及计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．‎ ‎（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则 则故 所以，椭圆方程为．‎ ‎（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，‎ 故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由消去y得 ‎（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，‎ 则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，‎ 且，．‎ 故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．‎ 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，‎ 所以=k2，‎ 即+m2=0，又m≠0，‎ 所以k2=，即k=．‎ 由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得 ‎0＜m2＜2且m2≠1．‎ 设d为点O到直线l的距离，‎ 则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，‎ 所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．‎ ‎【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．‎ ‎　‎