指数 4

指数 4

‎ ‎ ‎§2.1.1 指数（第1—3课时）‎ 一．教学目标：‎ ‎1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；‎ ‎ （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；‎ ‎ （3）掌握分数指数幂的运算性质；‎ ‎ （4）培养学生观察分析、抽象等的能力.‎ ‎2．过程与方法：‎ 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.‎ ‎3．情态与价值 ‎ （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；‎ ‎（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；‎ ‎（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.‎ 二．重点、难点 ‎1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；‎ ‎ 　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；‎ ‎2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具 ‎ 1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 ‎2．教具：多媒体 四、教学设想：‎ 第一课时 一、 复习提问：‎ 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？‎ 归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.‎ 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.‎ n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称为根指数，a为被开方数.‎ 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？‎ 零的n次方根为零，记为 举例：16的次方根为，等等，而的4次方根不存在.‎ 小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.‎ 根据n次方根的意义，可得：‎ 肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？‎ 让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.‎ 通过探究得到：n为奇数，‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ n为偶数, ‎ 如 小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：‎ 例题：求下列各式的值 ‎（1） ‎ 分析：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.‎ 思考：是否成立，举例说明.‎ 课堂练习：1. 求出下列各式的值 ‎ ‎ ‎2．若.‎ ‎3．计算 三．归纳小结：‎ ‎1．根式的概念：若n＞1且，则 为偶数时，；‎ ‎2．掌握两个公式：‎ ‎3．作业：P69习题2.1 A组 第1题 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ 第二课时 提问：‎ ‎1．习初中时的整数指数幂，运算性质？‎ 什么叫实数？‎ 有理数，无理数统称实数.‎ ‎2．观察以下式子，并总结出规律：＞0‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④‎ 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.‎ 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：‎ 即：‎ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.‎ 即：‎ 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.‎ 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.‎ 即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.‎ 所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.‎ 当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) ‎ 所以，是一个确定的实数.‎ 一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.‎ 思考：的含义是什么？‎ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ ‎3．例题 ‎（1）．（P60，例2）求值 解：① ‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ ‎ ‎④‎ ‎（2）．（P60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.‎ 课堂练习：P63练习 第 1，2，3，4题 补充练习：‎ ‎1. 计算：的结果 ‎2. 若 小结：‎ ‎1．分数指数是根式的另一种写法.‎ ‎2．无理数指数幂表示一个确定的实数.‎ ‎3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ 作业：P69 习题 2.1 第2题 第三课时 一．教学目标 ‎1．知识与技能：‎ ‎（1）掌握根式与分数指数幂互化；‎ ‎（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.‎ ‎2．过程与方法：‎ 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.‎ ‎3．情感、态度、价值观 ‎（1）培养学生观察、分析问题的能力；‎ ‎（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.‎ 二．重点、难点：‎ ‎1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.‎ ‎2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.‎ 三．学法与教具：‎ ‎1．学法：讲授法、讨论法.‎ ‎2．教具：投影仪 四．教学设想：‎ ‎ 1．复习分数指数幂的概念与其性质 ‎2．例题讲解 例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）‎ 分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ ‎ 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.‎ 我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？‎ 其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.‎ 第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.‎ 解：（1）原式=‎ ‎ =‎ ‎ =4‎ ‎ （2）原式=‎ ‎ =‎ 例2．（P61 例5）计算下列各式 ‎（1）‎ ‎（2）＞0）‎ 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.‎ 解：（1）原式= ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ 第 9 页 （共 9页 ‎ ‎ ‎（2）原式=‎ 小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.‎ 课堂练习：‎ 化简：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3） ‎ 归纳小结：‎ 1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.‎ ‎2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.‎ 作业：P65 习题2.1‎ A组 第4题 B组 　第2题 第 9 页 （共 9页