2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

‎2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）‎ ‎1．“a =2， ”是“曲线C：经过点”的( A )．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 答案：A.‎ 解答：当a =2， 曲线C：经过；当曲线C：经过点时，即有，显然也满足上式。所以“a =2， ”是“曲线C：经过点”的充分不必要条件。‎ ‎2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为，则实数的取值范围为( B )．‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第3题图 答案：B.‎ 解答：由题意可知：‎ 解得。‎ ‎3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，‎ 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )．‎ A． B． C． D．‎ 答案：C.‎ 解答：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，且平面的法向量为，平面法向量为。因此，即二面角M-CD1-A 的余弦值为。‎ ‎4．若实数满足，则的最大值为 ( C )．‎ A． B． C． D． 2 ‎ 答案：C.‎ 解答：由满足的条件知，所以，当取等号。‎ ‎5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为( D )．‎ A． B． C． D． ‎ 参考答案：D.‎ 解答：如图5-1所示，‎ A B C P Q R H A B C P R Q ‎ 图5-1 图5-2‎ ‎（1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.‎ 过作于，则,所以,此时的最大值为.‎ ‎（2）当的直角顶点在的直角边上，如图5-2所示，设,则 ‎ 在中，‎ 在中，,‎ 由正弦定理, ‎ ‎，因此.‎ 这样，，当且仅当取等号，此时的最小值为.‎ ‎6. 已知数列的通项 ，，若，则实数等于（ D )．‎ A． B． C． D．‎ 答案：D.‎ 则，所以 ‎，经检验只有符合题意。‎ ‎7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )．‎ A． B． C． D． ‎ 答案：C.‎ 解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为，面积为过的直线的倾斜角为。‎ 当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，，此时正方形的面积。‎ 同理，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.‎ ‎8．若集合，则集合中的元素个数为( B )．‎ A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162‎ 答案：B.‎ 解答：由已知得，因为一奇一偶，所以两者之一为偶数，即为共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合共有4032个元素.‎ 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）‎ ‎9．已知函数满足，，且，则 ．‎ 答案：.‎ 解答：，所以 ‎10．若数列的前项和，，则= ．‎ 答案：.‎ 解答：又，故,‎ ‎.‎ ‎11． 已知F为抛物线的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当取最小值时，点M的坐标为 ．‎ 答案：.‎ 解答：设抛物线的准线为.过M作的垂线，垂足为则 ‎,当三点共线时取等号，此时M的坐标为。‎ ‎12．若，则 .‎ 答案：.‎ 解答:设，则，代入方程得或，即 或，所以。‎ ‎13. 设函数，其中表示中的最小者．若，则实数的取值范围为 ．‎ 答案：.‎ 解答：当时，此时有；‎ 当时，此时有；‎ 当时，此时有；‎ 当时，此时有；‎ 当时，此时有。‎ ‎14． 已知向量的夹角为， ，向量，的夹角为，，则的最大值为 ．‎ 答案：24.‎ 解答：，则又 此时共圆，由正弦定理得，则。在中，,由余弦定理得,即，所以，当时取“=”，因此的最大值为24.‎ ‎15．设，若对任意，都有，则 答案：.‎ 解答：首先令知.其次考虑过定点（0,2）的直线，与开口向上的抛物线，满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧，因此.又，故.‎ 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）‎ ‎16． 设，函数．若对任意实数，方程有两个相异的实根，求实数的取值范围．‎ 参考答案：‎ 因为方程有两个相异的实根，即方程有两个相异的实数根，所以 ………………………………4分 即对任意实数恒成立，所以 ‎，…………………………………………………12分 解得.…………………………………………………………………………16分 ‎17．已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心．‎ ‎(I)求椭圆的方程；‎ ‎(II)若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标．‎ 参考答案：（Ⅰ）设椭圆的半焦距长为，则，解得，所以椭圆方程为.………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线的率存在时，可设直线的方程为，点的坐标为，其中.‎ 联立方程，消去得…………（1）‎ 所以即 ‎……………………（2）……………………………………………8分 联立方程消去得 ‎………………（3）‎ 所以即 ‎……………………………（4）…………………………12分 ‎（2）-（4）得……………………………… （5）‎ ‎（5）代入（3）得………………（6）…………………………16分 ‎（6）代入得.‎ 经检验或符合题意，这样点的坐标为.…………18分 ‎18．已知数列满足．证明:．‎ 参考答案：‎ 证明：因为， 所以 ‎ ……………………8分 又，‎ 所以.……………………16分 所以.因此……18分 四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）‎ 附加1已知数列满足，，．‎ ‎(I) 证明：是正整数数列；‎ ‎(II) 是否存在，使得，并说明理由．‎ 参考答案：（Ⅰ）由得 ‎，……………………………… （1）‎ 同理可得 ，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，为方程的两根，又，即有，即 ‎ 因为所以为正整数.……………………………………………………10分 ‎（Ⅱ）不存在，使得.…………………………………………………15分 假设存在，使得，则.‎ 一方面，，所以,即 ‎，所以.‎ 由费马小定理知，所以…………………………20分 另一方面，.事实上，假设，则，即，所以，而，这样得到.矛盾. ‎ 所以，由费马小定理得.‎ 这样得到.矛盾.所以不存在，使得.………………25分 附加2 设k为正整数，称数字的排列为“N型”的，如果这些数满足 ‎（1）； （2）；（3）‎ ‎．‎ 记为所有“N型”排列的个数．‎ ‎(I)求，的值； (II)证明：对任意正整数k，均为奇数．‎ 参考答案：‎ 首先注意到的值只能取这些数字，因为必须有2k个值比它小，而的值只能取这些数字，因为必须有2k个值比它大。‎ ‎ 记（）时的N型排列个数为，则 ‎，.‎ 化简得 ‎.………………………………………………………10分 ‎(1) 计算可得 ………………………………………………………………15分 ‎(2) 易知 ， （），.‎ 当时，对于所有，是偶数。事实上对于，（）时的任何一个N型排列，此时数字只能放在的位置，数字只能放在 上（字母N的两头），和的数字可以互换得到一个新的N型排列，于是是偶数（）.……25分 ‎（也可以从表达式说明是偶数（），它的组合意义就是将m个白球，n个红球，n个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。‎ 于是 为奇数！………………………25分）‎