- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高中数学北师大版新教材必修一同步课件:1-3-2-2 基本不等式的应用
第 2 课时 基本不等式的应用 关键能力 · 合作学习 类型一 利用基本不等式求两个变量的最值问题 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 角度 1 常数代换法 【 典例 】 已知 a>0,b>0,a+b=1, 则 的最小值为 . 【 思路导引 】 把“ 1” 代换为“ a+b”( 或者在 上乘以 (a+b), 构造成基本 不等式的原型 , 进而求出最小值 . 【 解析 】 因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 即 的最小值为 4, 当且仅当 a=b= 时等号成立 . 答案 : 4 【 变式探究 】 (1) 本例的条件和结论互换即 : 已知 a>0,b>0, =4, 则 a+b 的最小值为 . 【 解析 】 由 =4, 得 =1. 所以 a+b= (a+b)= 当且仅当 a=b= 时取等号 . 答案 : 1 (2) 若本例条件变为 : 已知 a>0,b>0,a+2b=3, 则 的最小值为 . 【 解析 】 由 a+2b=3 得 所以 当且仅当 a=2b= 时 , 取等号 . 答案 : 角度 2 消元法 【 典例 】 已知 a>0,b>0, 且 2a+b=ab-1, 则 a+2b 的最小值为 . 【 思路导引 】 先把 2a+b=ab-1 变形为用 b 表示 a 的形式 , 再把 a+2b 中的 a 消去 , 配凑成能利用基本不等式求解的式子 . 【 解析 】 由 2a+b=ab-1, 得 a= , 因为 a>0,b>0, 所以 a= >0,b+1>0, 所以 b>2, 所以 a+2b= +2b= +2(b-2)+4 =2(b-2)+ +5≥ 当且仅当 2(b-2)= , 即 b=2+ 时等号成立 . 答案 : 5+2 【 解题策略 】 1. 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题 . 应用此种方法求解最值的基本步骤为 : (1) 根据已知条件或其变形确定定值 ( 常数 ). (2) 把确定的定值 ( 常数 ) 变形为 1. (3) 把“ 1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除 , 进而构造和或积的形式 . (4) 利用基本不等式求解最值 . 2. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题 , 若无法直接利用基本不等式求解 , 可尝试减少变量的个数 , 即用其中一个变量表示另一个 , 再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题 . 【 题组训练 】 1. 已知 a>0,b>0,a+b=2, 则 y= 的最小值是 ( ) A. B.4 C. D.5 【 解析 】 选 C. 依题意 , 得 ·(a+b) 当且仅当 即 a= ,b= 时取等号 , 即 的最小值是 . 2.(2020· 天津高考 ) 已知 a>0,b>0, 且 ab=1, 则 的最小值为 . 【 解析 】 因为 a>0,b>0, 所以 a+b>0, 又 ab=1, 所以 = = =4, 当且仅当 a+b=4 时取等号 , 结合 ab=1, 解得 a=2- ,b=2+ , 或 a=2+ ,b=2- 时 , 等号成立 . 答案 : 4 【 补偿训练 】 若正数 x,y 满足 x 2 +3xy-1=0, 则 x+y 的最小值是 ( ) 【 解析 】 选 B. 对于 x 2 +3xy-1=0 可得 y= 所以 x+y= ( 当且仅当 = , 即 x= 时等号成立 ). 类型二 利用基本不等式证明不等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 已知 a,b,c 为正实数 , 且 a+b+c=1, 求证 : ≥8. 【 解题策略 】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1) 策略 : 从已证不等式和问题的已知条件出发 , 借助不等式的性质和有关定理 , 经过逐步的逻辑推理 , 最后转化为所求问题 , 其特征是以“已知”看“可知” , 逐步推向“未知” . (2) 注意事项 : ① 多次使用基本不等式时 , 要注意等号能否成立 ; ② 利用同向不等式相加或相乘时要注意不等式成立的前提条件 ; ③ 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合 , 形成基本不等式模型再使用 . 【 跟踪训练 】 设 a,b,c 都为正数 , 求证 : ≥a+b+c. 【 证明 】 因为 a,b,c∈R + , 所以 ∈ R + , 所以 ≥ 2c, ≥2a, ≥2b, 所以 2 ≥2(a+b+c), 所以 ≥ a+b+c, 当且仅当 , 即 a=b=c 时取等号 . 类型三 基本不等式的实际应用 ( 数学建模 ) 【 典例 】 如图 , 动物园要围相同面积的长方形虎笼四间 , 一面可利用原有的墙 , 其他各面用钢筋网围成 . (1) 现有可围 36 m 长网的材料 , 每间虎笼的长、宽各设计为多少时 , 可使每间虎笼面积最大 ? (2) 要使每间虎笼面积为 24 m 2 , 则每间虎笼的长、宽各设计为多少时 , 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 ? 【 思路导引 】 若 a>0,b>0,(1) 已知 a+b 为定值 , 可以求 ab 的最大值 ;(2) 已知 ab 为定值 , 可以求 a+b 的最小值 . 【 解析 】 设每间虎笼长 x m, 宽 y m, 则由条件知 :4x+6y=36, 即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S, 则 S=xy. (1) 方法一 : 由于 2x+3y≥ 所以 2 ≤18, 得 xy≤ , 即 S≤ , 当且仅当 2x=3y 时 , 等号成立 . 由 解得 故每间虎笼长 4.5 m, 宽 3 m 时 , 可使面积最大 . 方法二 : 由 2x+3y=18, 得 x=9- y. 因为 x>0, 所以 9- y>0, 所以 0查看更多
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