高考数学专题复习：课时达标检测(四十一) 利用空间向量求空间角

高考数学专题复习：课时达标检测(四十一) 利用空间向量求空间角

课时达标检测(四十一) 利用空间向量求空间角 一、全员必做题 ‎1．已知直三棱柱ABCA1B‎1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B‎1C1的中点，求异面直线BD和A‎1C所成角的余弦值．‎ 解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，‎ ‎∴＝(0，－1,2)，＝(－2,0，－2)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－.‎ ‎∴异面直线BD与A‎1C所成角的余弦值为.‎ ‎2．(2016·大连二模)如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝2.M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝QC1.‎ ‎(1)证明：PQ∥平面ABC；‎ ‎(2)若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为，求∠BAC的大小．‎ 解：(1)取MC的中点，记为点D，连接PD，QD.‎ ‎∵P为MA的中点，D为MC的中点，‎ ‎∴PD∥AC.‎ 又CD＝DC1，BQ＝QC1，‎ ‎∴QD∥BC.‎ 又PD∩QD＝D，‎ ‎∴平面PQD∥平面ABC.‎ 又PQ⊂平面PQD，‎ ‎∴PQ∥平面ABC.‎ ‎(2)∵BC，BA，BB1两两互相垂直，∴以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设BC＝a，BA＝b，则各点的坐标分别为B(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，b,0)，A1(0，b,2)，M(a,0,1)，‎ ‎∴＝(0，b,2)，＝(0，b,0)，＝(a,0,1)．‎ 设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则 ‎∴ 取x＝1，则可得平面ABM的一个法向量为n＝(1,0，－a)，‎ ‎∴|cos〈n，〉|＝＝，‎ 又a2＋b2＝8，∴a4＋‎4a2－12＝0，‎ ‎∴a2＝2或－6(舍)，即a＝.‎ ‎∴sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝.‎ ‎3.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，△ABC≌△ADC，PA＝AC＝2AB＝2，E是线段PC的中点．‎ ‎(1)求证：DE∥平面PAB；‎ ‎(2)求二面角DCPB的余弦值．‎ 解：(1)证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．‎ 则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，‎ ‎∴＝(－1,0,1)，＝(1,0,2)，＝(1,0,0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，‎ 则∴ ‎∴n＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量．‎ 又·n＝0，DE⊄平面PAB，‎ ‎∴DE∥平面PAB.‎ ‎(2)由(1)易知＝(0，，0)，＝，＝，设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则 ‎∴令x1＝2，则y1＝0，z1＝－1，‎ ‎∴n1＝(2,0，－1)为平面PBC的一个法向量．‎ 设平面DPC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则∴ 令x2＝1，则y2＝，z2＝1，‎ ‎∴n2＝(1，，1)为平面DPC的一个法向量．‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 故二面角DCPB的余弦值为.‎ 二、重点选做题 ‎1.如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2.‎ ‎(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；‎ ‎(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．‎ 解：(1)证明：连接BE.‎ 在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED，‎ 所以PE⊥AD.‎ 又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PE⊥平面ABCD，‎ 又BD⊂平面ABCD，故PE⊥BD.‎ 在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，‎ 又BC＝CD，‎ 所以四边形BCDE为菱形，‎ 故BD⊥CE，‎ 又PE∩EC＝E，‎ 所以BD⊥平面PEC，‎ 又BD⊂平面PBD，‎ 所以平面PEC⊥平面PBD.‎ ‎(2)取BC的中点F，连接EF.‎ 由(1)可知，△BCE是一个正三角形，所以EF⊥BC，‎ 又BC∥AD，所以EF⊥AD.‎ 又PE⊥平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设PE＝t(t>0)，则D(0,2,0)，A(0，－2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，－1,0)．‎ 因为BD⊥平面PEC，‎ 所以＝(－，3,0)是平面PEC的一个法向量，‎ 又＝(，－1，－t)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝.‎ 由已知可得sin＝|cos〈，〉|＝，得t＝2(负值舍去)．‎ 故P(0,0,2)，＝(，－1，－2)，＝(，1,0)．‎ 设平面APB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由可得 取y＝－，则x＝，z＝，‎ 故n＝(，－，)为平面APB的一个法向量，‎ 所以cos〈，n〉＝＝＝－.‎ 设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ，‎ 则cos θ＝|cos〈，n〉|＝.‎ ‎2．如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图2.‎ ‎(1)求证：AG⊥平面BCE；‎ ‎(2)求二面角CAEF的余弦值．‎ 解：(1)证明：连接BG，‎ 因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，‎ 所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，‎ 所以BC⊥AG，‎ 因为AB綊EG，AB＝AE，‎ 所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，‎ 又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，‎ 所以AG⊥平面BCE.‎ ‎(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，‎ 设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，‎ 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则O(0,0,0)，A(－2,0,0)，E(0，－2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(－2,0,4)，‎ 所以＝(2,2，4)，＝(2，－2，0)，‎ 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 所以 令y＝1，则x＝，z＝－，‎ 即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，‎ 易知平面AEF的一个法向量为＝(0,0,4)，‎ 设二面角CAEF的大小为θ，由图易知θ∈，‎ 所以cos θ＝＝＝.‎ 三、冲刺满分题 ‎1．(2016·四川高考)如图，在四棱锥 PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ 解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：‎ 由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，‎ 所以∠PDA是二面角PCDA的平面角，‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，作Ay⊥平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)．‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 令x＝2，则n＝(2，－2,1)．‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝＝＝，‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎2.如图，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，已知AB⊥侧面BB‎1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝.‎ ‎(1)求证：BC1⊥平面ABC；‎ ‎(2)设＝λ (0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．‎ 解：(1)证明：因为AB⊥侧面BB‎1C1C，BC1⊂侧面BB‎1C1C，故AB⊥BC1，‎ 在△BCC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，‎ 所以BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos＝3，‎ 所以BC1＝，‎ 故BC2＋BC＝CC，‎ 所以BC⊥BC1，而BC∩AB＝B，‎ 所以BC1⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1，0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．‎ 所以＝(－1,0, )，‎ 所以＝(－λ，0, λ)，E(1－λ，0, λ)，‎ 则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．‎ 设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 即 令z＝，则x＝，y＝，‎ 故n＝是平面AB1E的一个法向量．‎ 因为AB⊥平面BB‎1C1C，‎ 所以＝(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，‎ 所以|cos〈n，〉|＝＝‎ ＝.‎ 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，‎ 所以λ＝1或λ＝(舍去)．故λ的值为1.‎