高考数学专题复习练习：考点规范练48

高考数学专题复习练习：考点规范练48

考点规范练48　直线与圆锥曲线 ‎　考点规范练B册第35页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.‎3‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎2‎ 答案A 解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.‎ 又2c=4,c=2,∴e=ca=2.‎ ‎2.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1的交点个数为(　　)‎ A.至多一个 B.2 C.1 D.0‎ 答案B 解析∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,‎ ‎∴‎4‎m‎2‎‎+‎n‎2‎>2.∴m2+n2<4.‎ ‎∴m‎2‎‎9‎‎+n‎2‎‎4‎0,m>-‎1‎‎2‎.‎ 又AB的中点‎-‎1‎‎2‎,m+1‎在直线l上,即m+1=-‎1‎‎4‎+b,得m=b-‎5‎‎4‎,将m=b-‎5‎‎4‎代入4+8m>0,得b>‎3‎‎4‎,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是‎3‎‎4‎‎,+∞‎.‎ ‎4.已知动点P(x,y)在椭圆C:x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1,且MP‎·‎MF=0,则|PM|的最小值为(　　)‎ A.‎3‎ B.3 C.‎12‎‎5‎ D.1〚导学号74920528〛‎ 答案A 解析由题意得F(3,0),|PM|2=|PF|2-|MF|2≥(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.所以|PM|min=‎3‎.‎ ‎5.斜率为1的直线l与椭圆x‎2‎‎4‎+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)‎ A.2 B.‎4‎‎5‎‎5‎ C.‎4‎‎10‎‎5‎ D.‎8‎‎10‎‎5‎〚导学号74920529〛‎ 答案C 解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,‎ 由x‎2‎‎+4y‎2‎=4,‎y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.‎ 则x1+x2=-‎8‎‎5‎t,x1x2=‎4(t‎2‎-1)‎‎5‎.‎ 所以|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|‎ ‎=‎‎1+‎k‎2‎‎·‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎‎2‎‎·‎‎-‎8‎‎5‎t‎2‎‎-4×‎‎4(t‎2‎-1)‎‎5‎ ‎=‎4‎‎2‎‎5‎‎·‎‎5-‎t‎2‎,‎ 当t=0时,|AB|max=‎4‎‎10‎‎5‎.‎ ‎6.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-‎1‎‎2‎,则m的值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.2 D.3〚导学号74920530〛‎ 答案A 解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,‎ 所以抛物线的方程为y=2x2.‎ 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,‎ 所以y1=2x‎1‎‎2‎,y2=2x‎2‎‎2‎,‎ 两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),‎ 不妨设x1b>0)的离心率为‎2‎‎2‎,且右焦点F到直线l:x=-a‎2‎c的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ 解(1)由题意,得ca‎=‎‎2‎‎2‎且c+a‎2‎c=3,‎ 解得a=‎2‎,c=1,则b=1,‎ 所以椭圆的标准方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时,AB=‎2‎,又CP=3,不合题意.‎ 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,‎ 则x1,2=‎2k‎2‎±‎‎2(1+k‎2‎)‎‎1+2‎k‎2‎,C的坐标为‎2‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎‎,‎‎-k‎1+2‎k‎2‎,‎ 且AB=‎‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎(1+k‎2‎)(x‎2‎-‎x‎1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎‎1+2‎k‎2‎.‎ 若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与直线l:x=-a‎2‎c平行,不合题意.‎ 从而k≠0,故直线PC的方程为y+k‎1+2‎k‎2‎=-‎1‎kx-‎‎2‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎,则P点的坐标为‎-2,‎‎5k‎2‎+2‎k(1+2k‎2‎)‎,‎ 从而PC=‎2(3k‎2‎+1)‎‎1+‎k‎2‎‎|k|(1+2k‎2‎)‎.‎ 因为PC=2AB,‎ 所以‎2(3k‎2‎+1)‎‎1+‎k‎2‎‎|k|(1+2k‎2‎)‎‎=‎‎4‎2‎(1+k‎2‎)‎‎1+2‎k‎2‎,解得k=±1.‎ 此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.〚导学号74920532〛‎ ‎10.(2016全国乙卷,文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求‎|OH|‎‎|ON|‎;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ 解(1)由已知得M(0,t),Pt‎2‎‎2p‎,t.‎ 又N为M关于点P的对称点,‎ 故Nt‎2‎p‎,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,‎ 解得x1=0,x2=‎2‎t‎2‎p.因此H‎2‎t‎2‎p‎,2t.‎ 所以N为OH的中点,即‎|OH|‎‎|ON|‎=2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.‎ 理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=p‎2tx,即x=‎2tp(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,‎ 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.〚导学号74920533〛‎ 能力提升组 ‎11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)〚导学号74920534〛‎ 答案D 解析如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),‎ 则y‎1‎‎2‎‎=4x‎1‎,‎y‎2‎‎2‎‎=4x‎2‎,‎ 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).‎ 当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.‎ 当l的斜率k存在,即x1≠x2时,‎ 有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=‎2‎y‎0‎.‎ 由CM⊥AB,得kCM=y‎0‎x‎0‎‎-5‎=-y‎0‎‎2‎,即x0=3.‎ 因为点M在抛物线内部,所以y‎0‎‎2‎<4x0=12,‎ 又x1≠x2,所以y1+y2≠0,即0|F1F2|2,‎ 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>‎7‎‎2‎,‎ 所以‎7‎‎2‎0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为　　　　　　　　.〚导学号74920536〛 ‎ 答案2+‎‎3‎ 解析不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(x0,y0).‎ ‎∵x0=2a,∴y0=ba(2a-c).‎ 又P(x0,y0)在双曲线C上,∴‎(2a‎)‎‎2‎a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎‎(2a-c‎)‎‎2‎b‎2‎=1.‎ ‎∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,‎ 故1-4e+e2=0.‎ ‎∴e1=2-‎3‎(舍去),e2=2+‎3‎.‎ 即双曲线C的离心率为2+‎3‎.‎ ‎14.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若OM‎·‎ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.‎ 解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.‎ 因为l与C交于两点,所以‎|2k-3+1|‎‎1+‎k‎2‎<1.‎ 解得‎4-‎‎7‎‎3‎b>0),‎ 则由题意得a‎2‎‎-b‎2‎=1,‎‎1‎a‎2‎‎+‎3‎‎2‎‎2‎b‎2‎=1,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=3,‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)由(1)知F(-1,0),M(1,0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 设过点F的直线方程为x=my-1,联立椭圆方程消去x得(3m2+4)y2-6my-9=0,‎ ‎∴y1+y2=‎6m‎3m‎2‎+4‎,y1y2=-‎9‎‎3m‎2‎+4‎.‎ ‎∴|y1-y2|=‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎‎=‎‎12‎m‎2‎‎+1‎‎3m‎2‎+4‎.‎ ‎∴△MAB的面积S=‎1‎‎2‎|MF||y1-y2|‎ ‎=|y1-y2|=‎‎12‎m‎2‎‎+1‎‎3m‎2‎+4‎ ‎=12‎m‎2‎‎+1‎‎[3(m‎2‎+1)+1‎‎]‎‎2‎ ‎=12‎m‎2‎‎+1‎‎9(m‎2‎+1‎)‎‎2‎+6(m‎2‎+1)+1‎ ‎=12‎1‎‎9(m‎2‎+1)+‎1‎m‎2‎‎+1‎+6‎.‎ ‎∵m2+1≥1,而函数y=9t+‎1‎t在区间[1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴9(m2+1)+‎1‎m‎2‎‎+1‎+6≥16,m=0时取“=”,‎ ‎∴S≤‎12‎‎4‎=3.‎ ‎∴当m=0时,△MAB的面积取得最大值,且最大值为3.〚导学号74920538〛‎