高考数学专题复习练习：7_3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学专题复习练习：7_3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一 侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标 系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线 画成实线． (2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所 得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0＋By0 ＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或 (1,0)来验证． 【知识拓展】 1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0，则有 (1)当 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方； (2)当 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方． 2．最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多 个． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　√　) (2)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．(　×　) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线 Ax＋By＋C＝0 同侧的充要条件是(Ax 1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋ C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　) (4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示．(　√　) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　√　) (7)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距．(　×　) 1．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的是(　　) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 答案　C 解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选 C. 2．(教材改编)不等式组Error!表示的平面区域是(　　) 答案　C 解析　用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为 C. 3．(2016·北京)若 x，y 满足Error!则 2x＋y 的最大值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令 z＝2x＋y，则 y＝－2x＋z，作直线 2x ＋y＝0 并平移，当直线过点 A 时，截距最大，即 z 取得最大值， 由Error!得Error!所以 A 点坐标为(1,2)，可得 2x＋y 的最大值为 2×1＋2＝4. 4．(教材改编)已知 x，y 满足Error!则 z＝－3x＋y 的最小值为________． 答案　0 解析　画出可行域为阴影部分． z＝－3x＋y，即 y＝3x＋z 过交点 A 时，z 最小． 解Error!得Error! ∴zmin＝－3×1＋3＝0. 5．(教材改编)投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米；投 资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米．现某单位可使用资 金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用 x， y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨)． 答案　Error! 解析　用表格列出各数据 A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地 200x 100y 900 所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点 1　不含参数的平面区域问题 例 1　(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下 列图形中的(　　) (2)不等式组Error!所表示的平面区域的面积等于(　　) A.3 2 B.2 3 C.4 3 D.3 4 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒Error! 或Error!画出平面区域后，只有 C 符合题意． (2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，4 3)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC 的 面积为1 2×1×8 3＝4 3.故选 C. 命题点 2　含参数的平面区域问题 例 2　(1)(2015·重庆)若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于4 3，则 m 的值 为(　　) A．－3 B．1 C.4 3 D．3 (2)若不等式组Error!所表示的平面区域被直线 y＝kx＋4 3分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ______________________________． 答案　(1)B　(2)7 3 解析　(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中 A 点纵坐标 yA＝1＋m，B 点纵坐标 y B＝ 2m＋2 3 ， C 点横坐标 xC＝－2m， ∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝1 2×(2＋2m)×(1＋m)－1 2×(2＋2m)×2m＋2 3 ＝ (m＋1)2 3 ＝4 3， ∴m＝1 或 m＝－3， 又∵当 m＝－3 时，不满足题意，应舍去，∴m＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线 y＝kx＋4 3过定点(0，4 3 ).因此只有直线过 AB 中点时，直线 y＝kx＋4 3能平分平面区域． 因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 D(1 2，5 2 ). 当 y＝kx＋4 3过点(1 2，5 2 )时，5 2＝k 2＋4 3， 所以 k＝7 3. 思维升华　(1)求平面区域的面积： ①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等 式组问题，从而再作出平面区域； ②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)， 可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 　(1)若函数 y＝2 x 图象上存在点(x，y)满足约束条件Error!则实数 m 的最大值为 (　　) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 (2)已知约束条件Error!表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－2 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)在同一直角坐标系中作出函数 y＝2x 的图象及Error!所表示的平面区域，如图阴影 部分所示． 由图可知，当 m≤1 时， 函数 y＝2x 的图象上存在点(x，y)满足约束条件， 故 m 的最大值为 1. (2)由于 x＝1 与 x＋y－4＝0 不可能垂直，所以只可能 x＋y－4＝0 与 kx－y＝0 垂直或 x＝1 与 kx－y＝0 垂直． ①当 x＋y－4＝0 与 kx－y＝0 垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为 1，即符合要求． ②当 x＝1 与 kx－y＝0 垂直时，k＝0，检验不符合要求． 题型二　求目标函数的最值问题 命题点 1　求线性目标函数的最值 例 3　(2016·全国丙卷)若 x，y 满足约束条件Error! 则 z＝x＋y 的最大值为________． 答案　3 2 解析　满足约束条件Error!的可行域为以 A(－2，－1)，B(0,1)，C (1，1 2 )为顶点的三角形内 部及边界，则 y＝－x＋z 过点 C (1，1 2 )时 z 取得最大值3 2. 命题点 2　求非线性目标函数的最值 例 4　实数 x，y 满足Error! (1)若 z＝y x，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围； (2)若 z＝x2＋y2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围． 解　由Error!作出可行域， 如图中阴影部分所示． (1)z＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率， 因此y x的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)． 由Error!得 B(1,2)， ∴kOB＝2 1＝2，即 zmin＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)． (2)z＝x2＋y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此 x2＋y2 的最小值为 OA2，最大值为 OB2. 由Error!得 A(0,1)， ∴OA2＝( 02＋12)2＝1，OB2＝( 12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是[1,5]． 引申探究 1．若 z＝y－1 x－1，求 z 的取值范围． 解　z＝y－1 x－1可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率． ∴z 的取值范围是(－∞，0]． 2．若 z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求 z 的最大值、最小值． 解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1， 而(x－1)2＋(y－1)2 表示点 P(1,1)与 Q(x，y)的距离的平方 PQ2，PQ 2max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， PQ 2min＝( |1－1＋1| 12＋(－1)2)2＝1 2， ∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝1 2＋1＝3 2. 命题点 3　求参数值或取值范围 例 5　(1)已知实数 x，y 满足Error!如果目标函数 z＝x－y 的最小值为－1，则实数 m＝ ________. (2)已知 a>0，x，y 满足约束条件Error!若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝________. 答案　(1)5　(2)1 2 解析　(1)显然，当 m<2 时，不等式组表示的平面区域是空集； 当 m＝2 时，不等式组表示的平面区域只包含一个点 A(1,1)．此时 zmin＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意． 故必有 m>2，此时不等式组Error!所表示的平面区域如图所示， 平面区域为一个三角形区域， 其顶点为 A(1,1)，B(m－1,1)，C(m＋1 3 ，2m－1 3 )． 由图可知，当直线 y＝x－z 经过点 C 时，z 取得最小值， 最小值为m＋1 3 －2m－1 3 ＝2－m 3 . 由题意，得2－m 3 ＝－1，解得 m＝5. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值， 由Error!得Error! ∴zmin＝2－2a＝1，解得 a＝1 2. 思维升华　(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意 义： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离， (x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离； ② y x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－b x－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件． 　(1)变量 x，y 满足约束条件Error!若 z＝2x－y 的最大值为 2，则实数 m 等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)当实数 x，y 满足Error!时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 答案　(1)C　(2)[1，3 2] 解析　(1)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确； 对于选项 B，当 m＝－1 时，mx－y≤0 等同于 x＋y≥0，可行域如图②，直线 y＝2x－z 的截 距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 B 不正确； 对于选项 C，当 m＝1 时，可行域如图③，当直线 y＝2x－z 过点 A(2,2)时截距最小，z 最大为 2，满足题意，故 C 正确； 对于选项 D，当 m＝2 时，可行域如图④，直线 y＝2x－z 与直线 OB 平行，截距最小值为 0， z 最大为 0，不符合题意，故 D 不正确． (2)画可行域如图所示，设目标函数 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z，要使 1≤z≤4 恒成立，则 a>0， 数形结合知，满足Error!即可，解得 1≤a≤3 2.所以 a 的取值范围是[1，3 2]． 题型三　线性规划的实际应用问题 例 6　某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵 需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小 时．若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元． (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解　(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－x－y， 所以利润 ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. (2)约束条件为 Error! 整理得Error! 目标函数为 ω＝2x＋3y＋300， 作出可行域，如图所示， 作初始直线 l0：2x＋3y＝0，平移 l0，当 l0 经过点 A 时，ω 有最大值， 由Error!得Error! ∴最优解为 A(50,50)，此时 ωmax＝550 元． 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元． 思维升华　解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形 理清变量之间的关系． (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目 标函数． (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈． 　某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台 A 型或 B 型电 视机所得利润分别为 6 和 4 个单位，而生产一台 A 型和 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个 单位，所需工时分别为 4 和 2 个单位，如果允许使用的原料为 100 个单位，工时为 120 个单 位，且 A 型和 B 型电视机产量分别不低于 5 台和 10 台，应当生产每种类型电视机多少台， 才能使利润最大？ 解　设生产 A 型电视机 x 台，B 型电视机 y 台， 则根据已知条件知线性约束条件为 Error!即Error! 线性目标函数为 z＝6x＋4y. 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示， 作直线 l0：3x＋2y＝0，当直线 l0 平移至点 A 时，z 取最大值， 解方程组Error!得Error! 所以生产两种类型电视机各 20 台时，所获利润最大． 8．含参数的线性规划问题 典例　(1)在直角坐标系 xOy 中，若不等式组Error!表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范 围是________． (2)已知 x，y 满足约束条件Error!若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝________. 错解展示 解析　(1)如图，直线 y＝k(x－1)－1 过点(1，－1)，作出直线 y＝2x，当 k<－1 或 02 时，不等式组表示一个三角形区域． (2)由不等式组表示的可行域，可知 z＝ax＋y 在点 A(1,1)处取到最大值 4， ∴a＋1＝4，∴a＝3. 答案　(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)　(2)3 现场纠错 解析　(1)直线 y＝k(x－1)－1 过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与 y 轴的 交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域． (2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 由Error!得 A(1,1)． z＝ax＋y 等价于 y＝－ax＋z， 因为 z 的最大值为 4， 即直线 y＝－ax＋z 的纵截距最大为 4. 若 z＝ax＋y 在 A(1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于 2， 故只有直线 y＝－ax＋z 过点(2,0)且－a<0 时符合题意， ∴4＝a×2＋0，即 a＝2. 答案　(1)(－∞，－1)　(2)2 纠错心得　(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解 答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据 z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号． 1．若点(m,1)在不等式 2x＋3y－5>0 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m<1 D．m>1 答案　D 解析　由 2m＋3－5>0，得 m>1. 2．若函数 y＝log2x 的图象上存在点(x，y)，满足约束条件Error!则实数 m 的最大值为(　　) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 答案　B 解析　如图，作出不等式组表示的可行域，当函数 y＝log2x 的图象过点(2,1)时，实数 m 有最 大值 1. 3．直线 2x＋y－10＝0 与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有(　　) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个 答案　B 解析　由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)． 直线 2x＋y－10＝0 恰过点 A(5,0)，且其斜率 k＝－20)仅在点(3,0)处取得最 大值，则 a 的取值范围是__________． 答案　(1 2，＋∞) 解析　画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z＝ax＋y 仅在点(3,0)处取 得最大值，则直线 y＝－ax＋z 的斜率应小于直线 x＋2y－3＝0 的斜率，即－a<－1 2， ∴a>1 2. 12．(2016·宜春中学、新余一中联考)设 x，y 满足约束条件Error!则 x＋2y＋3 x＋1 的取值范围是 ________． 答案　[3,11] 解析　设 z＝x＋2y＋3 x＋1 ＝x＋1＋2(y＋1) x＋1 ＝1＋2·y＋1 x＋1， 设 z′＝y＋1 z＋1，则 z′的几何意义为动点 P(x，y)到定点 D(－1，－1)的斜率．画出可行域如图 阴影部分所示，则易得 z′∈[kDA，kDB]，易得 z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]． *13.给定区域 D：Error!令点集 T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是 z＝x＋y 在 D 上取得最 大值或最小值的点}，则 T 中的点共确定________条不同的直线． 答案　6 解析　作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域 D，其中 A(0,1)是 z 在 D 上取得最小值 的点，B，C，D，E，F 是 z 在 D 上取得最大值的点，则 T 中的点共确定 AB，AC，AD，AE， AF，BF 共 6 条不同的直线． 14. 已知 D 是以点 A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内 部)．如图所示． (1)写出表示区域 D 的不等式组； (2)设点 B(－1，－6)，C(－3,2)在直线 4x－3y－a＝0 的异侧，求 a 的取值范围． 解　(1)直线 AB，AC，BC 的方程分别为 7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0. 原点(0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为Error! (2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0， 即(14－a)(－18－a)<0， 解得－18

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