高考数学专题复习练习第八章 第五节 直线、圆的位置关系

高考数学专题复习练习第八章 第五节 直线、圆的位置关系

第八章 第五节 直线、圆的位置关系 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 直线与圆的位置关系 ‎1、4‎ ‎5、7‎ ‎11‎ 圆的切线、弦长问题 ‎2、3‎ ‎8、9‎ ‎12‎ 圆与圆的位置关系 ‎6‎ 一、选择题 ‎1．“k＝‎1”‎是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的 (　　)‎ A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 解析：当k＝1时，圆心到直线的距离d＝＝＜1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d＝＜1，|k|＜，不一定k＝1，所以必要性不成立．‎ 答案：A ‎2．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　)‎ A．1 B．‎2 C. D．2 解析：本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相应的弦长．注意到圆x2＋y2－2x－2＝0，即(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标是(1,0)，半径是，因此|AB|＝2＝2.‎ 答案：D ‎3．(2010·安徽师大附中模拟)直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量v＝ (　　)‎ A．(2，－2) B．(1,1) C．(－3,2) D．(1，)‎ 解析：由圆知圆心(1,1)，r＝.‎ ‎∴＝，∴k＝－1，可知A符合题意．‎ 答案：A ‎4．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)‎ A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D ．不能确定 解析：根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，＜2，即a2＋b2＞4，所以点P(a，b)在圆x2＋y2＝4的外部．‎ 答案：A ‎5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为 (　　)‎ A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0‎ 解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.‎ 答案：A ‎6．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－4y＋1＝0 B．x－y＝0‎ C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0‎ 解析：由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，－2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y＋1＝x－1⇒y＝x－2，即直线l的方程为x－y－2＝0.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7.若射线y=x+b(x≥0)与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围 ‎ 为　　　　.‎ 解析：数形结合可以得到．‎ 答案：[-,1]‎ ‎8．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________________．‎ 解析：设圆心为N，点N的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l与MN垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.‎ 答案：x－2y＋3＝0‎ ‎9．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为________．‎ 解析：记圆心为点C，圆心C为(1,1)，则|PC|2＝5，‎ ‎∴切线长＝＝2.‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎10．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．‎ ‎(1)求实数k的取值范围；‎ ‎(2)求证：·为定值．‎ 解：(1)法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，‎ ‎∴直线l的方程为y＝kx＋1.‎ 将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，‎ 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，‎ 由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7＞0，‎ 得＜k＜.‎ 法二：同法一得直线方程为y＝kx＋1，‎ 即kx－y＋1＝0.‎ 又圆心到直线距离d＝＝，‎ ‎∴d＝＜1，‎ 解得＜k＜.‎ ‎(2)证明：设过A点的圆的切线为AT，T为切点．‎ 则|AT|2＝|AM|·|AN|，‎ ‎|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，‎ ‎∴·＝7.‎ 根据向量的运算：‎ ‎·＝||·||·cos0°＝7为定值．‎ ‎11．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝‎4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.‎ ‎(1)求直线l斜率的取值范围；‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ 解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，‎ 因为|m|≤(m2＋1)，‎ 所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．‎ 所以斜率k的取值范围是[－，]．‎ ‎(2)不能．‎ 由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.‎ 圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.‎ 圆心C到直线l的距离d＝.‎ 由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.‎ 从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.‎ 所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．‎ ‎12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．‎ ‎(1)如果|AB|＝，求直线MQ的方程；‎ ‎(2)求证直线AB恒过一个定点；‎ ‎(3)求动弦AB的中点P的轨迹方程．‎ 解：(1)由P是AB的中点，|AB|＝，‎ 可得|MP|＝ ＝ ＝.‎ 由射影定理，得|MB|2＝|MP|·|MQ|，得|MQ|＝3，‎ 在Rt△MOQ中，‎ ‎|OQ|＝＝＝.‎ 故Q点的坐标为(，0)或(－，0)‎ 所以直线MQ的方程是：2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.‎ ‎(2)证明：设Q(a,0)，由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，设R(x，y)是该圆上任一点，‎ 由·＝0得，x(x－a)＋(y－2)y＝0.‎ 即x2＋y2－ax－2y＝0. ①‎ ‎①式与x2＋(y－2)2＝1联立，消去x2＋y2项得两圆公共弦AB的方程为－ax＋2y＝3，‎ ‎∴无论a取何值，直线AB恒过点(0，)．‎ ‎(3)连结MB，MQ，设P(x，y)，Q(a,0)，点M、P、Q在一条直线上，当a≠0时，得＝. ②‎ 由射影定理有|MB|2＝|MP|·|MQ|，‎ 即·＝1. ③‎ 由②及③消去a，并注意到y＜2，可得 x2＋(y－)2＝(y＜2)．‎ 当a＝0时，易得P点为(0，)，满足方程x2＋(y－)2＝(y＜2)．‎ 即中点P的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(y＜2)．‎