高考数学专题复习练习第二章 第三节 函数的单调性 课下练兵场
第二章 第三节 函数的单调性
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
函数单调性的判定
与证明
1、2、4
6、9、10
求函数的单调区间
3
5、7
12
函数的最值
8
11
一、选择题
1.(2010·长沙模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是 ( )
A.y＝log0.5(1－x) B.y＝x0.5 C.y＝0.51－x D.y＝(1－x2)
解析：y＝log0.5(1－x)在(0,1)上为增函数；
y＝x0.5在(0,1)上是增函数；
y＝0.51－x在(0,1)上为增函数；
函数y＝(1－x2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，
∴函数y＝(1－x2)在(0,1)上是减函数.
答案：D
2.函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是 ( )
A.1 B.3 C.5 D.－1
解析：依题意可得对称轴x＝＝1，∴a＝5.
答案：C
3.函数y＝的递增区间是 ( )
A.(－∞，－2) B.[－5，－2] C.[－2,1] D.[1，＋∞)
解析：由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为
{x|－5≤x≤1}.
∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，
对称轴方程为x＝－2，拋物线开口向下，
∴函数的递增区间为[－5，－2].
答案：B
4.(2009·福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
f(x2)”的是 ( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝(x－1)2 C.f(x)＝ex D.f(x)＝ln(x＋1)
解析：由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
在A中，由f′(x)＝－<0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)<0得x<1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数.
在C中，由f′(x)＝ex>0，知f(x)在R上为增函数.
在D中，由f′(x)＝且x＋1>0知，f′(x)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.
答案：A
5.(2009·天津高考)已知函数若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)
C.(－2,1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：
由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－20，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b).
其中正确命题的序号是 .
解析：①函数y＝2x2＋x＋1的对称轴为x＝－，故在(0，＋∞)上是增函数，∴①错；
②函数y＝的单调减区间为(－∞，－1)、(－1，＋∞)，但单调区间不能并起来写，不符合减函数定义，∴②错；
③要研究函数y＝的单调区间，首先要求函数的定义域，由被开方数5＋4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，而[－2，＋∞)不是上述区间的子区间，∴③错；
④∵f(x)在R上是增函数，且a>－b，
∴b>－a，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
f (a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，因此④是正确的.
答案：④
三、解答题
10.函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围.
解：f(x)＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>，
即实数a的取值范围是(，＋∞).
11.已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，
设00，x2－x1>0.
f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－
＝<0.∴f(x1)0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
解：(1)证明：任取x10.
∴f(x2－x1)>1.
∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数.
(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴f(3m2－m－2)<3＝f(2).
又由(1)的结论知，f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2<2，∴－1
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