2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-6双曲线课件新人教B版

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第六节　双　曲　线 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 双曲线的定义 (1) 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离 _____________ 等于常数 ( 小于 |F 1 F 2 | 且不等于 零 ) 的点的轨迹叫做双曲线 . 这两个定点叫做双曲线的 _____ ，两焦点的距离叫做 双曲线的 _____. (2) 集合 P={M|||MF 1 |-|MF 2 ||=2a} ， |F 1 F 2 |=2c ，其中 a ， c 为常数且 a>0 ， c>0. ① 当 2a<2c 时， M 点的轨迹为 _______ ； ② 当 2a=2c 时， M 点的轨迹为 _________ ； ③ 当 2a>2c 时， M 点的轨迹 _______. 的差的绝对值 焦点 焦距 双曲线 两条射线 不存在 2. 双曲线的标准方程与几何性质 【常用结论】 1. 双曲线中的几个常用结论 (1) 焦点到渐近线的距离为 b. (2) 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 . (3) 双曲线为等轴双曲线 ⇔ 双曲线的离心率 e= ⇔ 双曲线的两条渐近线互相垂直 ( 位置关系 ). (4) 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 (5) 过双曲线焦点 F 1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F 2 构成的 △ABF 2 的周长为 4a+2|AB|. (6) 双曲线的离心率公式可表示为 e= 　 2. 巧设双曲线方程 (1) 与双曲线 =1(a>0 ， b>0) 有共同渐近线的方程可表示为 =t(t≠0). (2) 过已知两个点的双曲线方程可设为 mx 2 +ny 2 =1(mn<0). 3. 直线与双曲线的位置关系 判断直线 l 与双曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A ， B 不同 时为 0) 代入双曲线 C 的方程，消去 y( 也可以消去 x) 得到一个关于变量 x( 或变 量 y) 的一元方程，即 消去 y ，得 ax 2 +bx+c=0. (1) 当 a≠0 时，设一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的判别式为 Δ ，则 Δ>0⇔ 直线与双曲线 C 相交； Δ=0⇔ 直线与双曲线 C 相切； Δ<0⇔ 直线与双曲线 C 相离 . (2) 当 a=0 ， b≠0 时，即得到的是一次方程，则直线 l 与双曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行 . 【知识点辨析】 　 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 平面内到点 F 1 (0,4),F 2 (0,-4) 距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 . ( 　　 ) (2) 双曲线 =λ(m>0,n>0,λ≠0) 的渐近线方程是 =0, 即 =0. ( 　　 ) (3) 与双曲线 =1(mn>0) 共渐近线的双曲线方程可设为 =λ(λ≠0). ( 　　 ) (4) 等轴双曲线的离心率等于 , 且渐近线互相垂直 . ( 　　 ) (5) 若双曲线 =1(a>0,b>0) 与 =1(a>0,b>0) 的离心率分别是 e 1 ,e 2 , 则 =1( 此结论中的两条双曲线称为共轭双曲线 ). ( 　　 ) 提示 : (1)×. 由双曲线的定义知 , 当该常数小于 |F 1 F 2 | 时 , 其轨迹才是双曲线 , 而本 题中 |F 1 F 2 |=8, 故本题中点的轨迹为两条射线 . (2)√. 渐近线方程的求法即为令等式右边常数等于 0, 然后开方即得 . (3)√. 易知双曲线 =1 与 =λ(λ≠0) 渐近线相同 , 且 =λ(λ≠0) 可表示渐近线为 y=± x 的任意双曲线 . (4)√. 因为是等轴双曲线 , 所以 a=b,c= a, 离心率等于 , 渐近线方程为 y=±x, 互相垂直 . (5)√. 由已知 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不能熟练应用平面几何知识进行条件转化 考点一、 T1 2 条件考虑不全 , 不能正确求解范围 ( 例如本题容易漏掉 Δ>0 对 k 的限定 ) 考点二、 T2 3 易出现条件转化不全 考点三、角度 3T1 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P51 练习 AT2(2) 改编 ) 双曲线 =1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离 是 6, 则点 P 的坐标是 ________.  【解析】 设 P(x,y), 由已知得 解得 所以 P(8,± ). 答案 : (8,± ) 2.( 选修 2-1P51 练习 BT2 改编 ) 以椭圆 =1 的焦点为顶点 , 顶点为焦点的双曲 线方程为 ________.  【解析】 由已知得 a=3,c=5, 则双曲线方程为 =1. 答案 : =1 3.( 选修 2-1P58 习题 2-3BT1 改编 ) 已知方程 =1 表示双曲线 , 则 m 的取值 范围是 ________.  【解析】 因为该方程表示双曲线 , 所以 (m+2)(m+5)>0, 即 m>-2 或 m<-5, 即 m 的取值 范围为 (-∞,-5)∪(-2,+∞). 答案 : (-∞,-5)∪(-2,+∞)