2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-4直线与圆圆与圆的位置关系练习新人教B版
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
核心考点·精准研析
考点一 直线与圆的位置关系
1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系
是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线与圆O相交.
2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=
0或m<0.
3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.
4.选C.如图所示,因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.
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判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【秒杀绝招】 第3题中,直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.
考点二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.9
2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为 ( )
A.2- B.2± C.3- D.3±
3.已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为 ( )
A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50
C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50
【解题导思】
序号
联想解题
1
由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切
2
由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称
3
由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程
【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以
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=2-1,即4a2+b2=1.所以+=·(4a2+b2)=
5++≥5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.
2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.
3.选C.依题意,得O(0,0),R=,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,
|OC|==1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,
所以由直角三角形射影定理得:
|OA|2=|OC|×|OO1|,
即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,
r=|AO1|==2,
由=5,
得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)2+y2=20.
1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
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2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.
4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,
两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,
所以|r1-r2|
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